Chủ đề này có 1 trả lời

[phuocthinh02]

Nhận dạng tam giác biết:

 

 

$2(acosA+bcosB+ccosC)=a+b+c$

[VodichIMO]

Ta có:  $2(acosA+bcosB+ccosC)=a+b+c$

 

$\Leftrightarrow$ $\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{bc}+\frac{b(a^2+c^2-b^2)}{ac}+\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{ab}=a+b+c$

 

$\Leftrightarrow$ $2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)=abc(a+b+c)$ $\leq$ $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

 

$\Leftrightarrow$ $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ $\leq$ $a^4+b^4+c^4$ (BĐT này hiển nhiên đúng)

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$ $\Leftrightarrow$ Tam giác $ABC$ đều