Đến nội dung

Hình ảnh

Chọn đội tuyển HSG lớp 10 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Time : 90'

 

Bài 1 : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=x^2y^3z^4$$

 

Bài 2 : Tìm các số nguyên tố $p,q$ sao cho với số tự nhiên $n$ chẵn thì ta có :

$$p^{n}+p^{n-1}+...+1=q^2+q+1$$

 

Bài 3 : Cho tam giác $ABC$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $AB+BD=AC+CD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABD,ACD$. Chứng minh nếu tứ giác $EFCB$ nội tiếp thì $AB=AC$.

 

Bài 4 : Giải phương trình $$2x^2-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$$

 

Bài 5 : Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ là ba nghiệm của đa thức $P(x)=x^3-x-1$. Tính giá trị biểu thức :

$$A=\dfrac{1-\alpha }{1+\alpha }+\dfrac{1-\beta }{1+\beta }+\dfrac{1-\gamma }{1+\gamma }$$

 

Xin lỗi caybutbixanh, đề đã sửa :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 22-02-2014 - 12:37

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#2
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

Bài 4 : Giải phương trình $$2x^2-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$$

 

 

 

$PT\Leftrightarrow \frac{1}{8}(4x-4)^2-\frac{7}{4}(4x-4)+12=3\sqrt[3]{4x-4}$

Đặt $t=\sqrt[3]{4x-4}$

PT trở thành: $t^6-14t^3-24t+96=0 (*)$

$\Leftrightarrow (t-2)^2(t^4+4t^3+12t^2+18t+24)=0 $

 + Nếu $t\leq 0$ thì $VT (*)>0$

 + Nếu $t>0$ thì $t^4+4t^3+12t^2+18t+24>0$

$\Rightarrow t=2$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{4x-4}=2\Leftrightarrow x=3$



#3
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

 

Time : 90'

 

 

Bài 2 : Tìm các số nguyên tố $p,q$ sao cho với số tự nhiên $n$ chẵn thì ta có :

$$p^{n}+p^{n-1}+...+1=p^2+p+1$$

 

 

$q$ ở đâu vậy cậu ?


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#4
mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Bài phương trình còn có 2 cách tiếp cận nữa là:

1)Dùng bđt AM-GM cho 3 số:$2,2,x-1$.(chứng minh $x-1 \geq 0$

2)Đặt ẩn đưa về hệ đối xứng.


:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#5
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Bài phương trình còn có 2 cách tiếp cận nữa là:

1)Dùng bđt AM-GM cho 3 số:$2,2,x-1$.(chứng minh $x-1 \geq 0$

2)Đặt ẩn đưa về hệ đối xứng.

Chết e rồi, quên chứng minh $x\geq 1$. Á Á á á.  :wacko:  :wacko:  :wacko:  :wacko:  :wacko:

 

Em đã chuẩn bị tinh thần lâu rồi. Bây giờ mà có văng ra thì cũng không sao ? :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 22-02-2014 - 12:52

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#6
mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Chết e rồi, quên chứng minh $x\geq 1$. Á Á á á.  :wacko:  :wacko:  :wacko:  :wacko:  :wacko:

Thôi không sao.Chú làm thế chắc đậu rồi.


:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#7
mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Bài số:

Có lẽ đây là bài buồn cười nhất.

Từ giả thiết:$q(q+1)=p(p^{n-1}+..+p+1).$

TH1:$q \vdots (p^{n-1}+..+p+1)$ thì $q(q+1) \geq (p^{n-1}+..+p+1)((p^{n-1}+..+p+2).$

TH2:$(q+1) \vdots (p^{n-1}+..+p+1)$ thì $q(q+1) \geq (p^{n-1}+..+p+1)((p^{n-1}+..+p)$

Tất cả các TH đều thay $q(q+1)=p(p^{n-1}+..+p+1)$ đồng nhất hệ số

@@


:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#8
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

 

 

 

Bài 5 : Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ là ba nghiệm của đa thức $P(x)=x^3-x-1$. Tính giá trị biểu thức :

$$A=\dfrac{1-\alpha }{1+\alpha }+\dfrac{1-\beta }{1+\beta }+\dfrac{1-\gamma }{1+\gamma }$$

 

Xin lỗi caybutbixanh, đề đã sửa :))

 

Cho em chuyển các nghiệm $x;y;z$ cho dễ gõ ạ !! :P
Áp dụng định lí Viét cho đa thức $P(x)$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & \\ xy+yz+zx=-1 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$
$gt\Rightarrow P(x)=\frac{-3xyz-xy-yz-zx+x+y+z+3}{xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1}=\frac{-3+1+3}{1-1+1}=1$
Vậy : $A=1$

P/s : Anh Huy làm bài được không, được bao nhiêu bài !? :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 22-02-2014 - 16:31

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#9
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Bài số:

Có lẽ đây là bài buồn cười nhất.

Từ giả thiết:$q(q+1)=p(p^{n-1}+..+p+1).$

TH1:$q \vdots (p^{n-1}+..+p+1)$ thì $q(q+1) \geq (p^{n-1}+..+p+1)((p^{n-1}+..+p+2).$

TH2:$(q+1) \vdots (p^{n-1}+..+p+1)$ thì $q(q+1) \geq (p^{n-1}+..+p+1)((p^{n-1}+..+p)$

Tất cả các TH đều thay $q(q+1)=p(p^{n-1}+..+p+1)$ đồng nhất hệ số

@@

Ôi, em làm như anh khúc đánh giá $VT>VP$ nhưng mà vì trong bài có chỗ $q+1 \vdots p^{n-1}+p^{n-2}+...+1\not{a}\vdots p$, thấy dòng này sai nên gạch luôn bài. 

 

Cho em chuyển các nghiệm $x;y;z$ cho dễ gõ ạ !! :P
Áp dụng định lí Viét cho đa thức $P(x)$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & \\ xy+yz+zx=-1 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$
$gt\Rightarrow P(x)=\frac{-3xyz-xy-yz-zx+x+y+z+3}{xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1}=\frac{-3+1+3}{1-1+1}=1$
Vậy : $A=1$

P/s : Anh Huy làm bài được không, được bao nhiêu bài !? :)

Anh làm bài cũng tàm tạm thôi, được 4 bài nhưng mà bài PT thì quên đặt đk @@

 

Anh Hoàn : :)) thì e nói là e chuẩn bị tinh thần từ lâu rồi mà, có khi không đậu lại dễ xử hơn với bạn bè, em thấy vậy :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 22-02-2014 - 17:02

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#10
mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Ôi, em làm như anh khúc đánh giá $VT>VP$ nhưng mà vì trong bài có chỗ $q+1 \vdots p^{n-1}+p^{n-2}+...+1\not{a}\vdots p$, thấy dòng này sai nên gạch luôn bài. 

 

Anh làm bài cũng tàm tạm thôi, được 4 bài nhưng mà bài PT thì quên đặt đk @@

chú thế nào chả đậu.Mà không đậu thì có sao.Anh cũng có thi cử được gì đâu.Vẫn vui vẻ.được học toán là vui rồi. :))

Chú nói đúng đấy,Không đậu nhẹ nhàng hơn.Đậu càng tốt thôi,có cơ hội học hỏi thêm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 22-02-2014 - 17:08

:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#11
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

 

Time : 90'

 

Bài 1 : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=x^2y^3z^4$$

 

Quất bài này vậy.

Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi $x=a,y=b,z=c$ ta có $a^2+b^2+c^2=1$.

Theo BĐT $AM-GM$ :

$$\dfrac{2x}{a}+\dfrac{3y}{b}+\dfrac{4z}{c}\geq 9.\sqrt[9]{\dfrac{x^2y^3z^4}{a^2b^3c^4}}$$

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$$\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\left ( \dfrac{4}{a^2} +\dfrac{9}{b^2}+ \dfrac{16}{c^2}\right )\geq \left ( \dfrac{2x}{a}+\dfrac{3y}{b}+ \dfrac{4z}{c}\right )^{2}$$.

Ở đây thì đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{ax}{2}=\dfrac{by}{3}=\dfrac{cz}{4}\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{b^2}{3}=\dfrac{c^2}{4}$

Như vậy ta chọn $a,b,c$ thỏa mãn hệ :

$$\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=1\\ \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{b^2}{3}=\dfrac{c^2}{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}}{3},b=\dfrac{\sqrt{3}}{3},c=\dfrac{2}{3}$$

Từ đó dẫn đến lời giải bài toán.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#12
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Bài 1

Có $1 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{z^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{4}$

$\geq$ $9. \sqrt[9]{\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )^{2}. \left ( \frac{y^{2}}{3} \right )^{3}. \left ( \frac{z^{2}}{4} \right )^{4}}$

$\Rightarrow$ $1 \geq 9^{9}. x^{4}. y^{6}. z^{8}. \frac{1}{4}. \frac{1}{27}. \frac{1}{256}$

$\Rightarrow P = x^{2}y^{3}z^{4} \leq$ $\sqrt{\frac{4. 27. 256}{9^{9}}}$ = $\frac{32}{\sqrt{3^{15}}}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

$\frac{x^{2}}{2} = \frac{y^{2}}{3} = \frac{z^{2}}{4} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2 + 3 + 4} = \frac{1}{9}$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} = \frac{2}{9}\\y^{2} = \frac{3}{9} \\z^{2} = \frac{4}{9} \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{2}}{3}\\y = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ z = \frac{2}{3} \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 22-02-2014 - 20:36

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#13
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Bài 1 : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=x^2y^3z^4$$

Ta có:

$\frac{256}{27}P^{2}=(2x^{2})(2x^{2})(\frac{4}{3}y^{2})(\frac{4}{3}y^{2})(\frac{4}{3}y^{2}).z^{2}.z^{2}.z^{2}.z^{2}\leq (\frac{4(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{9})^{9}$

$=>P^{2}\leq \frac{2^{18}.3^{3}}{3^{18}.2^{8}}=>P\leq \frac{2^{5}.\sqrt{3}}{3^{8}}$

Vậy gtln P=$\frac{2^{5}.\sqrt{3}}{3^{8}}$.Dấu bằng khi: $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ z=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

 

Bài 3 : Cho tam giác $ABC$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $AB+BD=AC+CD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABD,ACD$. Chứng minh nếu tứ giác $EFCB$ nội tiếp thì $AB=AC$.

Do k biết đưa hình lên diễn đàn nên mọi người tự vẽ hình nha :lol:

Gọi K là trung điểm âD

Do E,F là trọng tâm ABD,ACD nên BE,CF đi qua K

Dễ thấy: $\frac{BE}{BK}=\frac{CF}{CK}=\frac{2}{3}=>EF\left | \right |BC=>\angle KEF=\angle KBC$

 

Mà BECF nội tiếp nên $\angle KEF=\angle KCB$$=>\angle KBC= \angle KCB$$=>$KBC là tam giác cân ở K $=>$ KB=KC

Đặt $AB=c;AC=b;BD=x;CD=y$

Áp dụng định lí trung tuyến ta có: $x^{2}+c^{2}=y^{2}+b^{2}$

Vậy ta có hệ sau: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+c^{2}=y^{2}+b^{2} (1)\\ c+x=y+b (2) \end{matrix}\right.=>(c-x)^{2}=(y-b)^{2}=>\begin{bmatrix} c-x=y-b\\ c-x=y+b \end{bmatrix}$

TH1: $c-x=y-b$. Kết hợp với (2) $=>\left\{\begin{matrix} c=y\\ b=x \end{matrix}\right.=>AB+AC=BC$ (vô lý)

TH2: $c-x=b-y=>b=c$

Vậy nếu BECF nội tiếp thì AB=AC

 

Anh Hoàn : :)) thì e nói là e chuẩn bị tinh thần từ lâu rồi mà, có khi không đậu lại dễ xử hơn với bạn bè, em thấy vậy :(

Đ.Huy đừng chém gió nữa, đậu chắc rồi mà cứ nói k đậu



#14
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
Từ giả thiết:$q(q+1)=p(p^{n-1}+..+p+1).$

TH1:$q \vdots (p^{n-1}+..+p+1)$ thì $q(q+1) \geq (p^{n-1}+..+p+1)((p^{n-1}+..+p+2).$

TH2:$(q+1) \vdots (p^{n-1}+..+p+1)$ thì $q(q+1) \geq (p^{n-1}+..+p+1)((p^{n-1}+..+p)$

Tất cả các TH đều thay $q(q+1)=p(p^{n-1}+..+p+1)$ đồng nhất hệ số

Ví dụ p = 2, q = 5, n = 4 thì $ 5. (5 + 1) = 2. 15 = 2( 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1) $ (thỏa mãn)

$\Rightarrow 5 \vdots 15$ hoặc $6 \vdots 15$ ???


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 24-02-2014 - 10:28

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#15
mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Ví dụ p = 2, q = 5, n = 4 thì $ 5. (5 + 1) = 2. 15 = 2( 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1) $ (thỏa mãn)

$\Rightarrow 5 \vdots 15$ hoặc $6 \vdots 15$ ???

Đó là hướng giải thôi bạn.Từ những điều đó chỉ ra mâu thuẫn rồi đi đến lời giải.


:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh