Bài 1 : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của :
$$P=x^2y^3z^4$$
Ta có:
$\frac{256}{27}P^{2}=(2x^{2})(2x^{2})(\frac{4}{3}y^{2})(\frac{4}{3}y^{2})(\frac{4}{3}y^{2}).z^{2}.z^{2}.z^{2}.z^{2}\leq (\frac{4(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{9})^{9}$
$=>P^{2}\leq \frac{2^{18}.3^{3}}{3^{18}.2^{8}}=>P\leq \frac{2^{5}.\sqrt{3}}{3^{8}}$
Vậy gtln P=$\frac{2^{5}.\sqrt{3}}{3^{8}}$.Dấu bằng khi: $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ z=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$
Bài 3 : Cho tam giác $ABC$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $AB+BD=AC+CD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABD,ACD$. Chứng minh nếu tứ giác $EFCB$ nội tiếp thì $AB=AC$.
Do k biết đưa hình lên diễn đàn nên mọi người tự vẽ hình nha
Gọi K là trung điểm âD
Do E,F là trọng tâm ABD,ACD nên BE,CF đi qua K
Dễ thấy: $\frac{BE}{BK}=\frac{CF}{CK}=\frac{2}{3}=>EF\left | \right |BC=>\angle KEF=\angle KBC$
Mà BECF nội tiếp nên $\angle KEF=\angle KCB$$=>\angle KBC= \angle KCB$$=>$KBC là tam giác cân ở K $=>$ KB=KC
Đặt $AB=c;AC=b;BD=x;CD=y$
Áp dụng định lí trung tuyến ta có: $x^{2}+c^{2}=y^{2}+b^{2}$
Vậy ta có hệ sau: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+c^{2}=y^{2}+b^{2} (1)\\ c+x=y+b (2) \end{matrix}\right.=>(c-x)^{2}=(y-b)^{2}=>\begin{bmatrix} c-x=y-b\\ c-x=y+b \end{bmatrix}$
TH1: $c-x=y-b$. Kết hợp với (2) $=>\left\{\begin{matrix} c=y\\ b=x \end{matrix}\right.=>AB+AC=BC$ (vô lý)
TH2: $c-x=b-y=>b=c$
Vậy nếu BECF nội tiếp thì AB=AC
Anh Hoàn :
thì e nói là e chuẩn bị tinh thần từ lâu rồi mà, có khi không đậu lại dễ xử hơn với bạn bè, em thấy vậy
Đ.Huy đừng chém gió nữa, đậu chắc rồi mà cứ nói k đậu