CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT
Bài toán 1: Giải pt:
$\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ $(I)$ với $ac\neq 0$
Lời giải: Đặt $\sqrt{ax+b}=\alpha y+\beta$
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =cx^2+dx+e & & \\ ax+b=\alpha ^2y^2+2\alpha \beta y+\beta ^2 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}cx^2+dx-\alpha y=\beta -e (1) & & \\ \alpha ^2y^2+2\alpha \beta y-ax=b-\beta ^2 (2) & & \end{matrix}\right.$
Ta cần tìm các số $\alpha ;\beta$ để sau khi biến đổi $(1);(2)$ rồi trừ theo vế ta được một pt có dạng $(x\pm y)F(x,y)=0$, từ đó giúp giải được pt ban đầu.
Thí dụ 1: Giải pt:
$\sqrt{x+1}=x^2+4x+5$
Phân tích:
Đặt $\sqrt{x+1}=\alpha y+\beta$ ($\alpha \neq 0$)
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =x^2+4x+5 & & \\ x+1=\alpha ^2y^2+2\alpha \beta y+\beta ^2 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+4x-\alpha y=\beta -5 (1) & & \\ \alpha ^2y^2+2\alpha \beta y-x=1-\beta ^2 (2) & & \end{matrix}\right.$ $(*)$
Chọn $\alpha ^2=1$. Khi đó:
$(2)\Leftrightarrow y^2+2\alpha \beta y-x=1-\beta ^2 (3)$
Trừ theo vế của $(1)$ cho (3) ta được:
$(x^2-y^2)+5x-(\alpha +2\alpha \beta )y=\beta ^2+\beta -6$
Chọn $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}\alpha +2\alpha \beta =\pm 5 & & \\ \beta ^2+\beta -6=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =2 & & \end{matrix}\right.$
Chúng ta có thể hiểu và làm gọn hơn như sau:
$(*)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^2=1 & & \\ 2\alpha \beta =4 & & \\ \alpha =1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =2 & & \end{matrix}\right.$ (Hệ số của $x^2$ giống hệ số của $y^2$; hệ số của $x$ giống hệ số của $y$)
Lời giải: ĐK: $x\geq 1$
Đặt $\sqrt{x+1}=y+2$ ($y\geq -2$)
Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}x^2+4x-y=-3 (1) & & \\ y^2+4y-x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$
Trừ theo vế của $(1)$ và $(2)$ ta được: $(y-x)(y+5+x)=0$
$\Rightarrow \begin{bmatrix}y=x & & \\ y=-5-x & & \end{bmatrix}$
Thay ngược trở lại $(1)$ hoặc $(2)$ để tìm nghiệm.
Thí dụ 2: Giải pt:
$\sqrt{3x+1}+4x^2-13x+5=0$
Lời giải: ĐK: $x\geq -\frac{1}{3}$
Làm tương tự Thí dụ 1 tìm được $\left\{\begin{matrix}\alpha =2 & & \\ \beta =-2 & & \end{matrix}\right.$
Đặt $\sqrt{3x+1}=2y-2$ ($y\geq 1$)
Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}4x^2-13x+2y=-3 (1) & & \\ 4y^2-8y-3x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$
Trừ theo vế của $(1)$ và $(2)$ rồi làm tương tự thí dụ 1.
Bài toán 2: Giải pt:
$\sqrt[3]{ax+b}=cx^3+dx^2+ex+f$ ($II$) với $ac\neq 0$
Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=\alpha y+\beta$
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =cx^3+dx^2+ex+f & & \\ ax+b=\alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3a\beta ^2y-ax=b-\beta ^3 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}cx^3+dx2+ex-\alpha y=\beta -f (3) & & \\ \alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y-ax=b-\beta ^3 (4) & & \end{matrix}\right.$
Tương tự bài toán 1, ta cần tìm các số $\alpha ;\beta$ để sau khi biến đổi $(1);(2)$ rồi trừ theo vế ta được một pt có dạng $(x\pm y)F(x,y)=0$, từ đó giúp giải được pt ban đầu.
Thí dụ 3: $\sqrt[3]{x+1}=x^3-15x^2+75x-131$
Phân tích: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=\alpha y+\beta$
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =x^3-15x^2+75x-131 & & \\ x+1=\alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y+\beta ^3 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3-15x^2+75x-\alpha y=\beta +131 (3) & & \\ \alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y-x=1-\beta ^3 (4) & & \end{matrix}\right.$ $(**)$
Trừ theo vế của $(3)$ và $(4)$ ta được:
$x^3-\alpha ^3y^3-(15x^2+3\alpha ^2\beta y^2)+76x-(\alpha +3\alpha \beta ^2)y=\beta ^3+\beta +130$
Ta chọn $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}\alpha ^3=\pm 1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \alpha +3\alpha \beta ^2=\pm 76 \\ \beta ^3+\beta +130=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =-5 & & \end{matrix}\right.$
Dễ hiểu hơn:
$(**)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^3=1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \end{matrix}\right.$ (Hệ số giống nhau, có lẽ chỉ cần hệ 2 pt này là đủ)
Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=y-5$