Đến nội dung


Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Phương trình vô tỉ - Hệ phương trình


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 434 trả lời

#1 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2287 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:#HNBMG
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 22-02-2014 - 21:04

*
Phổ biến

Chú ý: Có một số phương pháp giải phương trình vô tỉ mình đăng ở phía sau:

+PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT 

(#83 ở trang 5 của TOPIC)

 

+CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

(#87 ở trang 5 của TOPIC)

 

+Chuyên đề: Hệ phương trình 
(#137 ở trang 7 của TOPIC)

 

+Phương pháp UCT giải hệ phương trình

(#333 ở trang 17 của TOPIC)

I. Chuyên đề : Phương trình vô tỉ 

1) Định nghĩa:
- Phương trình vô tỉ là phương trình chứa biến ở trong căn.

2) Những điều cần lưu ý khi giải phương trình vô tỉ:

  • Phải chú ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình vô tỉ.
  • Phải thành thạo các phép biến đổi đồng nhất.
  • Nắm vững các tính chất của tam thức.
  • Sử dụng thành thạo các bất đẳng thức (BĐT) quan trọng.

3) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ thường gặp:
3.1) Phương pháp dùng định nghĩa:

  • $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}f(x)\geq 0 & & \\ g(x)\geq 0 & & \end{bmatrix} & & \\ f(x)=g(x) & & \end{matrix}\right.$
  • $\sqrt[2k+1]{f(x)}=\sqrt[2k+1]{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$
  • $\sqrt[2k]{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g(x)\geq 0 & & \\ f(x)=g^{2k}(x) & & \end{matrix}\right.$
  • $\sqrt[2k+1]{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow f(x)=g^{2k+1}(x)$

3.2) Đưa phương trình vô tỉ về dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Vd1: Giải pt: $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2$ (*)

ĐKXĐ: $x\geq 1$
PT (*) $\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=2$

$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+|\sqrt{x-1}-1|=1$ (Do $\sqrt{x-1}+1>0$) (1)
$\cdot$ Nếu $\sqrt{x-1}-1\geq 0\Rightarrow x\geq 2$
(1) $\Leftrightarrow 2\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow x=2$ (thỏa)
$\cdot$ Nếu $\sqrt{x-1}-1<0 \Rightarrow x<2$
(1) $\Leftrightarrow 2=2$
$\Rightarrow$ Pt có vô số nghiệm $x<2$

Kết hợp ĐKXĐ và 2 trường hợp trên ta có: Pt có vô số nghiệm $1\leq x\leq 2$

Vd2: Giải pt: $\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}+\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}=\sqrt{6}$ (*)
ĐKXĐ: $x\geq \frac{3}{2}$
PT (*) $\Leftrightarrow x+\sqrt{6x-9}+x-\sqrt{6x-9}+2\sqrt{(x+\sqrt{6x-9})(x-\sqrt{6x-9})}=6\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{(x-3)^2}=6\Leftrightarrow 2x+2|x-3|=6\Leftrightarrow |x-3|=3-x\Leftrightarrow x-3\leq 0\Leftrightarrow x\leq 3$

Kết hợp với ĐKXĐ ta có: $\frac{3}{2}\leq x\leq 3$


3.3) Đặt ẩn phụ, đưa phương trình vô tỷ về phương trình bậc cao hoặc hệ phương trình
(Bài viết của L Lawlietđây)
 

 

 

1. Phương trình dạng $ax^2+bx+c\pm \sqrt{mx^2+nx+p}=q$ với $an=bm$. Đặt $t=\sqrt{mx^2+nx+p}$. Điều kiện nói chung là $t\geq 0$
2. Phương trình vô tỉ dạng $\sqrt{a+mx}+\sqrt{b-mx}+c\sqrt{(a+mx)(b-mx)}+d=0$
Điều kiện phương trình có nghiệm là $\sqrt{a+mx}\geq 0$ và $\sqrt{b-mx}\geq 0$ $(c,m\neq 0)$
Đặt $t=\sqrt{a+mx}+\sqrt(b-mx)\geq 0\Rightarrow \sqrt{(a+mx)(b-mx)}=\frac{t^2-a-b}{2}$
3. Phương trình dạng $aP(x)+bQ(x)+c\sqrt{P(x).Q(x)}=0(a,b,c\neq 0)$
Nếu $P(x)=0$ thì $Q(x)=0$
Nếu $P(x)\neq 0$ thì chia hai vế của phương trình cho $P(x)\neq 0$ rồi đặt $t=\frac{Q(x)}{P(x)}\geq 0$
4. Trong phương trình vô tỉ đặt $\sqrt{f(x)}=t\geq 0$ nhưng không tính được tất cả các số hạng của phương trình theo ẩn $t$ thì ta giải phương trình vô tỉ theo ẩn $t$
Đó là các phương pháp cơ bản cần nắm vững còn phương pháp nhân lượng liên hợp rất dài nên mình không nói ở đây.

Vd1: Giải pt: $3x^2+21x+28+2\sqrt{x^2+7x+7}=2$ (*)
ĐKXĐ: $x^2+7x+7\geq 0$ (Sau khi tìm được $x$ thì thay vào xem có thỏa mãn không, nếu không có thể giải chi tiết ĐKXĐ này)

Đặt $x^2+7x+7=a\geq -5,25$
PT (*) $\Leftrightarrow 3a+2\sqrt{a}+7=2\Leftrightarrow a+\frac{2}{3}\sqrt{a}+\frac{5}{3}=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\frac{1}{3})^2=\frac{-14}{9}$ (Vô lý)
Vậy PT đã cho vô nghiệm.

$S=\left \{ \phi \right \}$

Vd2: Giải pt: $\sqrt{2x+3+\sqrt{x+2}}+\sqrt{2x+2-\sqrt{x+2}}=1+2\sqrt{x+2}$
ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix}x\geq -2 & & \\ 2x+3\pm \sqrt{x+2}\geq 0 & & \end{matrix}\right.$
Đặt $\sqrt{2x+3+\sqrt{x+2}}=a;\sqrt{2x+2-\sqrt{x+2}}=b$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a^2-b^2=1+2\sqrt{x+2} & & \\ a+b=1+2\sqrt{x+2} & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a+b=a^2-b^2\Leftrightarrow a-b=1$ (Do $a+b>0$)
$\Leftrightarrow a=b+1$
Mà $a+b=1+2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow b+1+b=1+2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow 2b=2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=\sqrt{x+2} & & \\ a=\sqrt{x+2}+1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+2-\sqrt{x+2}}=\sqrt{x+2} (1) & & \\ \sqrt{2x+3+\sqrt{x+2}}=\sqrt{x+2} (2) & & \end{matrix}\right.$
(1) $\Leftrightarrow 2x+2-\sqrt{x+2}=x+2\Leftrightarrow x=\sqrt{x+2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 0 & & \\ x^2=x+2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$

Thay $x=2$ thấy thỏa mãn.
Vậy $x=2$ là nghiệm của pt trên.


3.4) Dùng bất đẳng thức:
Vd1: Giải pt: $\sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}=\sqrt{3x-2}$

ĐKXĐ: $x\geq 1$
$\Rightarrow x<5x\Rightarrow x-1<5x-1\Leftrightarrow \sqrt{x-1}<\sqrt{5x-1}\Rightarrow \sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}<0$
$\Leftrightarrow \sqrt{3x-2}<0$ (Vô lý với mọi $x$ thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy PT trên vô nghiệm.

Vd2: Giải pt: $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$
Ta thấy: $VT=\sqrt{3(x+1)^2+4}+\sqrt{5(x+1)^2+9}\geq 2+3=5$
Mà $VP=5-(x+1)^2\leq 5$
$\Rightarrow VT=VP=5$
Dấu = có khi: $x=-1$

Vd3: $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x}=1$
Ta thấy: $x=0$ là một nghiệm của pt.
$\cdot$ Nếu $x>0\Rightarrow 2x+1>1\Rightarrow \sqrt[3]{2x+1}>1$
Mà $\sqrt[3]{x}>0\Rightarrow VT>1=VP$
$\Rightarrow$ Mọi $x>0$ không là nghiệm của pt.
$\cdot$ Nếu $x<0\Rightarrow 2x+1<1\Rightarrow \sqrt[3]{2x+1}<1$
Mà $\sqrt[3]{x}<0\Rightarrow VT<1=VP$
$\Rightarrow$ Mọi $x<0$ không là nghiệm của pt.


Vậy pt đã cho nghiệm $x=0$ là duy nhất.

Vd4: $\frac{x}{\sqrt{3x-2}}+\frac{\sqrt{3x-2}}{x}=2$
ĐKXĐ: $x>\frac{2}{3}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
$\frac{x}{\sqrt{3x-2}}+\frac{\sqrt{3x-2}}{x}\geq 2$
Dấu = xảy ra khi: $x=\sqrt{3x-2}\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=1 & & \\ x=2 & & \end{bmatrix}$ (thỏa)
Vậy $x=1$; $x=2$ là nghiệm của pt.

Bài tập:
Giải pt:
1) $3+\sqrt{2x-3}=x$

2) $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-4}=1$
3) $\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$
4) $\sqrt{10-x}+\sqrt{x+3}=5$
5) $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x+5}=1$
6) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}=1$
7) $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1$
8) $(x+5)(x-2)-4(x+5)\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}+3=0$




3.5) Tách thành tổng hoặc hiệu của các bình phương:

Vd1: Giải pt: $x^2+4x+5=2\sqrt{2x+3}$
ĐK: $x\geq -\frac{3}{2}$
$PT\Leftrightarrow x^2+2x+1+2x+4-2\sqrt{2x+3}=0\Leftrightarrow (x+1)^2+(\sqrt{2x+3}-1)^2=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1=0 & & \\ 2x+3=1 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=-1$ (thỏa)
Vậy $x=-1$ là nghiệm của pt.

Vd2: Giải pt: $x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=1,5xy$
ĐK: $x\geq 1; y\geq 1$
$PT\Leftrightarrow 2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}-3xy=0$
$\Leftrightarrow 2x\sqrt{y-1}-xy+4y\sqrt{x-1}-2xy=0$
$\Leftrightarrow x(y-2\sqrt{y-1})+2y(x-2\sqrt{x-1})=0$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{y-1}-1)^2+2y(\sqrt{x-1}-1)^2=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{y-1}=1 & & \\ \sqrt{x-1}=1 & & \end{matrix}\right.$ (Do ĐKXĐ)
$\Rightarrow x=y=2$ (thỏa)
3.6) Nhân liên hợp:
Vd: Giải pt: $PT\Leftrightarrow \sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{3x^2-5x-1}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}$
ĐKXĐ: 4 biểu thức trong căn $\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{3x^2-5x-1})(\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1})}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{(\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4})(\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4})}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$
$\Leftrightarrow \frac{3x^2-7x+3-3x^2+5x+1}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{x^2-2-x^2+3x-4}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$
$\Leftrightarrow \frac{4-2x}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{-6+3x}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$
$\Leftrightarrow (2-x)(\frac{2}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}+\frac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}})=0$
$\Leftrightarrow x=2$
Bài tập:
Giải pt:
9) $2012x^2-4x+3=2011x\sqrt{4x-3}$
10) $\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}=181-14x$
11) $\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{1-x}}=1$
12) $\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}}=\sqrt{x}-1$
13) $\sqrt{x^2+6}=x-2\sqrt{x^2-1}$

P/s: Các bài làm rồi sẽ được tô màu đỏ, các bạn khi giải bài nhớ trích dẫn và ghi số thứ tự bài nha.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 17-08-2014 - 07:37


#2 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 22-02-2014 - 21:19

Giải pt:
1) $3+\sqrt{2x-3}=x$


1.
chuyển 3 sang VP, BP ta được: $2x-3=x^2-6x+9\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=6 & \\ x=2& \end{bmatrix}$ (ĐK các bạn tự đặt nhé!)




2) $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-4}=1$


2.
chuyển $\sqrt{x-4}$ sang VP rồi BP 2 lần là OK!

câu 3,4,5 làm tương tự!



6) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}=1$


6.
pttd: $\left | \sqrt{x-1} -1\right |-\sqrt{x-1}=1$ đến đây xét 2 trường hợp là OK!

7) $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1$

7.

ta có: $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1\Leftrightarrow \left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |=1$

đến đây ta xét khoảng...., hoặc dùng bdt như thế này:
$\left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |\geq \left | x-2+3-x \right |=1."="\Leftrightarrow (x-2)(3-x)\geq 0\Leftrightarrow 2\leq x\leq 3$

8) $(x+5)(x-2)-4(x+5)\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}+3=0$

8.

ta đặt: $\left ( x+5 \right )\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}=t$
$\Rightarrow t^2=(x+5)(x-2)$

pttt: $t^2-4t+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=3 & \\ t=1 & \end{bmatrix}$ đến đây thay t vào rồi BP là được!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-04-2014 - 21:48


#3 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2287 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:#HNBMG
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 24-02-2014 - 12:00

 

Giải pt:
1) $3+\sqrt{2x-3}=x$

2) $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-4}=1$

3) $\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$

4) $\sqrt{10-x}+\sqrt{x+3}=5$

5) $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x+5}=1$

6) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}=1$

7) $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1$

8) $(x+5)(x-2)-4(x+5)\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}+3=0$

 

 

1) chuyển 3 sang VP, BP ta được: $2x-3=x^2-6x+9\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=6 & \\ x=2& \end{bmatrix}$ (ĐK các bạn tự đặt nhé!)

Ghi số thứ tự bài vào nhé bạn.

BP 2 vế cần ĐK: $x\geq 3$. Vậy ta chọn được $x=6$ là nghiệm.

 

 

2)

chuyển $\sqrt{x-4}$ sang VP rồi BP 2 lần là OK!

 

câu 3,4,5 làm tương tự!

 

2) Kết quả: $x=13$
3) Kết quả: $x=-1$
4) Kết quả: $x=1;6$

5) Kết quả: $x=20$

 

 

6) pttd: $\left | \sqrt{x-1} -1\right |-\sqrt{x-1}=1$ đến đây xét 2 trường hợp là OK!

6) Kết quả: $x=1$



#4 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2287 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:#HNBMG
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 24-02-2014 - 12:15

7) ta có: $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1\Leftrightarrow \left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |=1$

 

đến đây ta xét khoảng...., hoặc dùng bdt như thế này:

$\left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |\geq \left | x-2+3-x \right |=1."="\Leftrightarrow x-2=3-x\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$

Xem lại lý thuyết phần đầu ở đây nha bạn.
$|a|+|b|\geq |a+b|$ xảy ra dấu = khi: $ab\geq 0$
Vậy bài 7 dấu = có khi: $(x-2)(3-x)\geq 0$

Từ đó có: $2\leq x\leq 3$

 

 

8)

ta đặt: $\left ( x+5 \right )\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}=t$

$\Rightarrow t^2=(x+5)(x-2)$

 

pttt: $t^2-4t+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=3 & \\ t=1 & \end{bmatrix}$  đến đây thay t vào rồi BP là được!

 

8) Kết quả: $\begin{bmatrix}x=\frac{1}{2}(-3\pm \sqrt{53}) & & \\ x=\frac{1}{2}(-3\pm \sqrt{85}) & & \end{bmatrix}$



#5 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 24-02-2014 - 13:01


Bài tập:

Giải pt:
9) $2012x^2-4x+3=2011x\sqrt{4x-3}$

9.

 

để dẽ nhìn hơn ta đặt: $\left\{\begin{matrix} x=a & \\ \sqrt{4x-3}=b& \end{matrix}\right.$

pt trở thành: $2012a^2-2011ab-b^2=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=b & \\ a=\frac{-1}{2012}.b& \end{bmatrix}$

 

nghiệm: $x=1;x=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 24-02-2014 - 13:19


#6 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 24-02-2014 - 13:06


Giải pt:
 

10) $\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}=181-14x$

 

 

 

10.

đăt: $\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}=a\Rightarrow 14x+2\sqrt{49x^2+7x-42}=a^2-1$

pttt: $a^2+a-182=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=13 & \\ a=-14(loai)& \end{bmatrix}$

đến đây là OK rôi.

 

nghiệm: $x=6$

 

C2: trục căn thức.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 24-02-2014 - 13:22


#7 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 24-02-2014 - 13:17


11) $\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{1-x}}=1$

 

11.

 

C1: đăt:

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}=a & \\
 \sqrt{1-x}=b&
\end{matrix}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a^2+b^2=1 & \\
a+\sqrt{a+b}=1 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a=0 & \\
 b=1&
\end{matrix}\right.
\Rightarrow x=0$

 

C2: trục căn thức:

pttt:$\sqrt{x}+\frac{x(\sqrt{1-x}+1)-x}{(\sqrt{1-x}+1)(\sqrt{x+\sqrt{1-x}+1})}=0\Rightarrow \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 24-02-2014 - 13:22


#8 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2287 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:#HNBMG
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 24-02-2014 - 13:29

11.

 

C1: đăt:

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}=a & \\
 \sqrt{1-x}=b&
\end{matrix}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a^2+b^2=1 & \\
a+\sqrt{a+b}=1 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a=0 & \\
 b=1&
\end{matrix}\right.
\Rightarrow x=0$

 

C2: trục căn thức:

pttt:$\sqrt{x}+\frac{x(\sqrt{1-x}+1)-x}{(\sqrt{1-x}+1)(\sqrt{x+\sqrt{1-x}+1})}=0\Rightarrow \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0$

Bạn ghi số thứ tự bài vào.

C1: Giải rõ ra cái hệ kia tìm $a;b$

Mặt khác bài 11 mình làm ra 2 nghiệm

11) 
ĐKXĐ: $0\leq x\leq 1$
$\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{1-x}}=1\Leftrightarrow x+\sqrt{1-x}=1-2\sqrt{x}+x\Leftrightarrow 1-x=1+4x-4\sqrt{x}\Leftrightarrow 5x-4\sqrt{x}=0\Leftrightarrow \sqrt{x}(5\sqrt{x}-4)=0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 & & \\ x=\frac{16}{25} & & \end{matrix}\right.$ (thỏa)

Thử lại: Nhận nghiệm $x=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 24-02-2014 - 18:21


#9 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 24-02-2014 - 13:35


12) $\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}}=\sqrt{x}-1$

 

 

 

12.

 

pttd:$\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}}-\frac{1}{4}=\sqrt{x}-\frac{5}{4}
\Rightarrow \frac{x-\frac{25}{16}}{\sqrt{x}+\frac{5}{4}}+\frac{(x-\frac{25}{16})(x+\frac{9}{16})}{(\sqrt{x^2-x}-\frac{15}{16})(\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}+\frac{1}{4}})}=0\Rightarrow x=\frac{25}{16}$

 

 

C2: đăt: $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}=a & \\
 \sqrt{1-x}=b&
\end{matrix}\right.$

pttt: $\sqrt{1-ab}=a-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & \\ a-2=b& \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 24-02-2014 - 13:49


#10 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 24-02-2014 - 13:43


13) $\sqrt{x^2+6}=x-2\sqrt{x^2-1}$

 

13.

 

pt này chắc là:  $\sqrt{x^2+6}=x+2\sqrt{x^2-1}$ (nếu ko thì pt vô nghiệm)

 

pttd: $\frac{x^2-\frac{25}{16}}{\sqrt{x^2+6}+\frac{11}{14}}=x-\frac{5}{4}+2(\frac{x^2-\frac{25}{16}}{\sqrt{x^2-1}-\frac{3}{4}})\Rightarrow x=\frac{5}{4}$



#11 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2287 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:#HNBMG
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 24-02-2014 - 18:25

13.

 

pt này chắc là:  $\sqrt{x^2+6}=x+2\sqrt{x^2-1}$ (nếu ko thì pt vô nghiệm)

 

pttd: $\frac{x^2-\frac{25}{16}}{\sqrt{x^2+6}+\frac{11}{14}}=x-\frac{5}{4}+2(\frac{x^2-\frac{25}{16}}{\sqrt{x^2-1}-\frac{3}{4}})\Rightarrow x=\frac{5}{4}$

 

 

 

13) $\sqrt{x^2+6}=x-2\sqrt{x^2-1}$

Thì nó vô nghiệm đó:

13)

ĐKXĐ: $x\geq 1$

$\Rightarrow x^2+6>x^2\Leftrightarrow VT=\sqrt{x^2+6}>x$

Mà $VP=x-2\sqrt{x^2-1}\leq x$

Vậy ta có pt vô nghiệm.



#12 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2287 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:#HNBMG
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 24-02-2014 - 21:30

Giải pt:
14) $x=(3+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^2$

15) $2(x^2+2)=5\sqrt{x^3+1}$

16) $\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}=x^2-16x+66$

17) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1}$

18) $\sqrt{3x+15}-\sqrt{4x+17}=\sqrt{x+2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 04-04-2014 - 23:27


#13 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 633 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 24-02-2014 - 22:22

15 pt$\Leftrightarrow 2(x^{2}+2)=5\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

đặt $a= x+1$,$b= x^{2}-x+1$

pt trở thành 

$2(a^{2}+b^{2})=5ab$

đến đây xét th là ra

16 áp dụng bđt BCS ta có

$\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}\leq \sqrt{2(x-7+9-x)}2$

$x^{2}-16x+66= (x-8)^{2}+2\geq 2$

vậy pt có nghiệm x=2



#14 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 24-02-2014 - 22:26


16) $\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}=x^2-16x+66$

 

 

 

16.

ta có: $VT=\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}\leq \sqrt{2(x-7+9-x)}=2$   (Áp dụng BCS)

;$VP=x^2-16x+66=(x-8)^2+2\geq 2$

 

$"="\Leftrightarrow x=8$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 04-04-2014 - 23:23


#15 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 24-02-2014 - 22:30

Giải pt:


17) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1}$

 

 

 

17.chuyển $\sqrt{x-2}$ sang VP. rồi BP ta được.

$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\Leftrightarrow -2\sqrt{(x+1)(x-2)}=0\Leftrightarrow x=2$

$x=-1$ loại vì không thoả mãn ĐK.



#16 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 633 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 24-02-2014 - 22:31

Giải pt:
14) $x=(3+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^2$

15) $2(x^2+2)=5\sqrt{x^3+1}$

16) $\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}=x^2-16x+66$

17) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1}$

18) $\sqrt{3x+15}-\sqrt{4x+17}=\sqrt{x+2}$

17 đặt $\sqrt{2x-1}=a,\sqrt{x-2}=b$

pt$\Leftrightarrow a+b=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

đến đây xét các th

18 do 4x+17-3x-15=x+2$\geq$0

$\Rightarrow \sqrt{4x+17}\geq \sqrt{3x+15}$

$\sqrt{3x+15}-\sqrt{4x+17}\leq 0\leq \sqrt{x+2}$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=-2



#17 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 24-02-2014 - 22:39

Giải pt:


18) $\sqrt{3x+15}-\sqrt{4x+17}=\sqrt{x+2}$

C2: $\sqrt{3x+15}+\sqrt{x+2}=\sqrt{4x+17}\Leftrightarrow 2\sqrt{(3x+15)(x+2)}=0\Leftrightarrow x=-2$



#18 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 24-02-2014 - 23:00

Giải pt:
14)  $x=(3+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^2$

nhân lại ta được:$2x=6-3\sqrt{x}-6\sqrt{1-\sqrt{x}}+2\sqrt{x}-2\sqrt{x-x\sqrt{x}}$

đặt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=a & \\ \sqrt{1-\sqrt{x}}=b& \end{matrix}\right.$

PTTT: $$2a^2-2a(1-b)-3b^2+6b-3=0. \rightarrow \Delta'=7(b-1)^2 \Rightarrow \begin{bmatrix} a=1-b+\sqrt{7}(b-1) & \\ a=1-b-\sqrt{7}(b-1) & \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ x=\frac{11-4\sqrt{7}}{4}& \end{bmatrix}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 24-02-2014 - 23:03


#19 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2287 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:#HNBMG
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 04-04-2014 - 23:32

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 06-04-2014 - 17:39


#20 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 633 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 05-04-2014 - 16:48

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

20 đặt $\sqrt[3]{24+x}=a,\sqrt{12-x}=b$

ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} & a^{3}+b^{2}=36 & \\ & a+b=6& \end{matrix}\right.$

đến đây rút thế là ra






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh