Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Phương trình vô tỉ - Hệ phương trình


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 446 trả lời

#61 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-04-2014 - 11:59

51.

ĐK:

$\left\{\begin{matrix} 4x-y^2\geq 0(1)& \\ y+2\geq 0(2)& \\ 4x^2+y\geq 0(3)& \end{matrix}\right.\Rightarrow (3)-(1)+(2)\Leftrightarrow (2x-1)^2+(y+1)^2\geq 0$

vậy $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2} & \\ y=-1 & \end{matrix}\right.$

(3)-(1)+(2) là sao? Trừ BĐT cùng chiều à?

51.
Cách 2:

$\sqrt{4x-y^2}=\sqrt{4x^2+y}+\sqrt{y+2}\Leftrightarrow 4x-y^2=4x^2+y+y+2+2\sqrt{(4x^2+y)(y+2)}\Leftrightarrow (2x-1)^2+(y+1)^2+2\sqrt{(4x^2+y)(y+2)}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2} & & \\ y=-1 & & \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-04-2014 - 12:06


#62 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 07-04-2014 - 12:08


55) $\sqrt{4-x^2}+\sqrt{1+4x}+\sqrt{x^2+y^2-2y-3}=\sqrt{x^4-16}+5-y$

 

55.

giải ĐKXD ta được: $x=2$ (xem bài 50)

thế vào pt ta được: $\left | y-1 \right |=2-y\Rightarrow y=\frac{3}{2}$



#63 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 07-04-2014 - 12:11


56) $\sqrt[3]{\frac{x+1}{2x-5}}+\sqrt[3]{2-\frac{7}{x+1}}=\frac{5}{2}$

 

56.

pttd: $\sqrt[3]{\frac{x+1}{2x-5}}+\sqrt[3]{\frac{2x-5}{x+1}}=\frac{5}{2}$

đăt: $\sqrt[3]{\frac{x+1}{2x-5}}=t$

pttt: $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$



#64 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 07-04-2014 - 12:13



57) $\sqrt{4x-1}+\sqrt{4x^2-1}=1$

 

57.

ĐK: $x\geq \frac{1}{2}$

với $x\geq \frac{1}{2}$ thì $VT\geq 1$

vậy $x= \frac{1}{2}$ là nghiệm của pt.



#65 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 07-04-2014 - 12:18


58) $x^4+4x^3+4x^2+x-\sqrt{2x+4}+\frac{5}{2}=0$

 

 

58.

pttd:

$2x^2(x+2)^2+\left ( \sqrt{2x+4}-1 \right )^2=0
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
x=0 & \\
 x=-2&
\end{bmatrix} & \\
 x=\frac{-3}{2}&
\end{matrix}\right.
\Rightarrow PTVN.$



#66 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-04-2014 - 13:51

Giải pt:
59) $\sqrt[4]{3x+9}+\sqrt[4]{3x+74}=5$

 

60) $x+3+\sqrt{1+x}=\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^2}$

 

61) $\sqrt{x(3x+1)}-\sqrt{x(x-1)}=2\sqrt{x^2}$

 

62) $4x^2+12x\sqrt{x+1}=27(x+1)$

 

63) $x^2-5x+14=4\sqrt{x+1}$

 

64) $\sqrt[3]{x^2-2}-\sqrt{2-x^3}=0$

 

65) $x^4+\sqrt{x^2+2}=2$

 

66) $\frac{2013x^4+x^4\sqrt{x^2+2013}+x^2}{2012}=2013$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-04-2014 - 21:53


#67 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 07-04-2014 - 15:57

I. Chuyên đề : Phương trình vô tỉ


3.2) Đưa phương trình vô tỉ về dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
 

Vd1: Giải pt: $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2$ (*)
ĐKXĐ: $x\geq 1$
PT (*) $\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=2$3

$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+|\sqrt{x-1}-1|=1$ (Do $\sqrt{x-1}+1>0$) (1)
$\cdot$ Nếu $\sqrt{x-1}-1\geq 0\Rightarrow x\geq 2$
(1) $\Leftrightarrow 2\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow x=2$ (thỏa)
$\cdot$ Nếu $\sqrt{x-1}-1<0 \Rightarrow x<2$
(1) $\Leftrightarrow 2=2$
$\Rightarrow$ Pt có vô số nghiệm $x<2$

Kết hợp ĐKXĐ và 2 trường hợp trên ta có: Pt có vô số nghiệm $1\leq x\leq 2$

Vd2: Giải pt: $\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}+\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}=\sqrt{6}$ (*)
ĐKXĐ: $x\geq \frac{3}{2}$
PT (*) $\Leftrightarrow x+\sqrt{6x-9}+x-\sqrt{6x-9}+2\sqrt{(x+\sqrt{6x-9})(x-\sqrt{6x-9})}=6\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{(x-3)^2}=6\Leftrightarrow 2x+2|x-3|=6\Leftrightarrow |x-3|=3-x\Leftrightarrow x-3\leq 0\Leftrightarrow x\leq 3$

Kết hợp với ĐKXĐ ta có: $\frac{3}{2}\leq x\leq 3$


3.3) Đặt ẩn phụ, đưa phương trình vô tỷ về phương trình bậc cao hoặc hệ phương trình

Vd1: Giải pt: $3x^2+21x+28+2\sqrt{x^2+7x+7}=2$ (*)
ĐKXĐ: $x^2+7x+7\geq 0$ (Sau khi tìm được $x$ thì thay vào xem có thỏa mãn không, nếu không có thể giải chi tiết ĐKXĐ này)

Đặt $x^2+7x+7=a\geq -5,25$
PT (*) $\Leftrightarrow 3a+2\sqrt{a}+7=2\Leftrightarrow a+\frac{2}{3}\sqrt{a}+\frac{5}{3}=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a+\frac{1}{3}})^2=\frac{-14}{9}$ (Vô lý)
Vậy PT đã cho vô nghiệm.

$S=\left \{ \phi \right \}$

3.5) Tách thành tổng hoặc hiệu của các bình phương:



Vd2: Giải pt: $x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=1,5xy$
ĐK: $x\geq 1; y\geq 1$
$PT\Leftrightarrow 2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}-3xy=0$
$\Leftrightarrow 2x\sqrt{y-1}-xy+4y\sqrt{x-1}-2xy=0$
$\Leftrightarrow x(2\sqrt{y-1}-y)+2y(x-2\sqrt{x-1})=0$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{y-1}-1)^2+2y(\sqrt{x-1}-1)^2=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{y-1}=1 & & \\ \sqrt{x-1}=1 & & \end{matrix}\right.$ (Do ĐKXĐ)
$\Rightarrow x=y=2$ (thỏa)

 

$1$> số $3$ dư kìa.

 

$2$> phải là $\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\frac{1}{3})^2=\frac{-14}{9}$

 

$3$> Viết ngược. Phải là $x(y-2\sqrt{y-1})+2y(x-2\sqrt{x-1})=0$

Đã fix 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-04-2014 - 16:20

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#68 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-04-2014 - 16:35

Giải pt:
59) $\sqrt[4]{3x+9}+\sqrt[4]{3x+74}=5$

 

60) $x+3+\sqrt{1+x}=\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^2}$

 

63) $x^2-5x+14=4\sqrt{x+1}$

 

59) Đặt $\left\{\begin{matrix}\sqrt[4]{3x+9}a & & \\ \sqrt[4]{3x+74}=b & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a^4-b^4=-65 & & \\ a+b=5\Rightarrow a=5-b & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (5-b)^4-b^4=-65$

Khai triển ra thu gọn: $(b-3)(20b^2-90b+230)=0$
OK rồi.

 

60) Đặt $\left\{\begin{matrix}\sqrt{1+x}=a & & \\ \sqrt{1-x}=b & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a^2+b^2=2 & & \\ a^2+2=x+3 & & \\ ab=\sqrt{1-x^2} \end{matrix}\right.$

Pttt: $2a^2+b^2+a=b+3ab\Leftrightarrow (b-a)(b-2a-1)=0$
OK rồi.

 

63) $x^2-5x+14=4\sqrt{x+1}\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-2)^2+(x-3)^2=0$

OK rồi



#69 einstein627

einstein627

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội, VN, Lớp 10T1 Trường Hà Nội Amsterdam
  • Sở thích:Được thành công cùng bạn mình,hình học thuần túy, số học,bđt,pt hàm,bóng đá bóng bàn,ghét hình học giải tích đồ thị đại số,...

Đã gửi 07-04-2014 - 16:56

Giải pt:

65) $x^4+\sqrt{x^2+2}=2$

 

65.$x^{4}+\sqrt{x^{2}+2}=2$

$\Leftrightarrow$$x^{4}=-\sqrt{x^{2}+2}+2 \Leftrightarrow x^{4}+x^{2}+\frac{1}{4}=x^{2}+2-\sqrt{x^2+2}+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{x^{2}+2}-\frac{1}{2})^{2}$
tới đây dễ rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-04-2014 - 18:24

-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

-Albert Einstein

 
-Khi Bạn Sắp Bỏ Cuộc, Hãy Nhớ Tới Lý Do Khiến Bạn Bắt Đầu.

 


#70 einstein627

einstein627

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội, VN, Lớp 10T1 Trường Hà Nội Amsterdam
  • Sở thích:Được thành công cùng bạn mình,hình học thuần túy, số học,bđt,pt hàm,bóng đá bóng bàn,ghét hình học giải tích đồ thị đại số,...

Đã gửi 07-04-2014 - 17:34

Giải pt:

64) $\sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$

$\sqrt[3]{x^2-2}-\sqrt{2-x^3}=0$

Đặt $\sqrt[3]{x^2-2}=a\rightarrow x^{2}=a^{3}+2$ (1)

Mà từ pt ban đầu ta suy ra $\sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$
$\Leftrightarrow a^{2}=2-x^{3}$ (2)
Đến đây từ 1 và 2 giải hệ phương trình đối xứng loại 2 với 2 ẩn a và -x thi ta được a=-x từ đó suy ra 
$-x=\sqrt[3]{x^{2}-2}\Leftrightarrow x^{3}+x^{2}-2=0$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-04-2014 - 18:24

-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

-Albert Einstein

 
-Khi Bạn Sắp Bỏ Cuộc, Hãy Nhớ Tới Lý Do Khiến Bạn Bắt Đầu.

 


#71 einstein627

einstein627

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội, VN, Lớp 10T1 Trường Hà Nội Amsterdam
  • Sở thích:Được thành công cùng bạn mình,hình học thuần túy, số học,bđt,pt hàm,bóng đá bóng bàn,ghét hình học giải tích đồ thị đại số,...

Đã gửi 07-04-2014 - 18:18

Giải pt:

66) $\frac{2013x^4+x^4\sqrt{x^2+2013}+x^2}{2012}=2013$

Thôi chém nốt bài 66 
pt $\Leftrightarrow 2013x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2013}+x^{2}=2013.2012$

$\Leftrightarrow x^{2}+2013+x^{4}\sqrt{x^{2}+2013}=2013^{2}-2013x^{4}$

$\Leftrightarrow x^{2}+2013+x^{4}\sqrt{x^{2}+2013}+\frac{x^{8}}{4}=\frac{x^{8}}{4}+2013^{2}-2013x^{4}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2013}+\frac{x^{4}}{2})^{2}=(\frac{x^{4}}{2}-2013)^{2}$
Đến đây giải tương tự câu 65
 


-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

-Albert Einstein

 
-Khi Bạn Sắp Bỏ Cuộc, Hãy Nhớ Tới Lý Do Khiến Bạn Bắt Đầu.

 


#72 hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 07-04-2014 - 18:32

Giải pt:62) $4x^2+12x\sqrt{x+1}=27(x+1)$ 

ĐK: $x\geq1$

(62) <=> $(2x+3\sqrt{x+1})^2=(6\sqrt{x+1})^2$

         =>$\begin{bmatrix}2x+3\sqrt{x+1}=6\sqrt{x+1}\\2x+3\sqrt{x+1}=-6\sqrt{x+1}\end{bmatrix}$

        $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x=3\sqrt{x+1} & & \\ 2x=-9\sqrt{x+1} & & \end{matrix}\right.$

        $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4x^2-9x-9=0 & & \\ 4x^2-81x-81=0 & & \end{matrix}\right.$

        <=>$\begin{bmatrix}x=3\\x=\frac{81-9\sqrt{97}}{8}\end{bmatrix}$

p/s: Sao mình giải thế nào mà ra nghiệm thứ 2 xấu thế nhỉ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-04-2014 - 18:39

:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#73 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 07-04-2014 - 19:40

Bài 67. GPT

$21x-25+2\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+19\sqrt{x^2-x-2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-04-2014 - 06:34

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#74 CHU HOANG TRUNG

CHU HOANG TRUNG

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 237 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội
  • Sở thích:anime,manga

Đã gửi 07-04-2014 - 21:16


Giải pt:
61) $\sqrt{x(3x+1)}-\sqrt{x(x-1)}=2\sqrt{x^2}$

 

61/

pttt: $\sqrt{x}(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}-2\sqrt{x})=0$

<=> $\sqrt{x}=0$ hoặc $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}=0$

<=> x=0 (tm) hoặc $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}=0$(1)

 ĐK :$x\geq 1$

(1)<=> 

 $\sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2\sqrt{x}$

<=>$ 3x+1=x-1+4\sqrt{(x-1)x}+4x$

<=> $x-1+2\sqrt{(x-1)x}$=0

<=>$(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})^{2}=x$

<=>$(\sqrt{x-1})(\sqrt{x-1}+2\sqrt{x})=0$

<=>$\sqrt{x-1}=0$hoặc $\sqrt{x-1}=-2\sqrt{x}$(vô lí)

           Vậy x=0 hoặc x=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-04-2014 - 21:48

:like  MATHS   :like

ღ Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 

 

:ukliam2: Học, Học nữa , Học mãi     :ukliam2:

:icon12:  :icon12:  :icon12:

 

   :ukliam2:      My Blog : http://chuhoangtrung....blogspot.com/      :ukliam2:

 


#75 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-04-2014 - 22:01

Bài 67. GPT

$21x-25+2\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+19\sqrt{x^2-x-2}$

P/s: Đề k sai đâu. 

67)
ĐKXĐ: $x\geq 2$

$21x-25+2\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+19\sqrt{x^2-x+2}\Leftrightarrow 15(x-2)+6(x+1)-1+2\sqrt{x-2}-19\sqrt{(x-2)(x+1)}-\sqrt{x+1}=0$ $(*)$

Đặt $u=\sqrt{x-2};v=\sqrt{x+1}$

$(*)\Leftrightarrow 15u^2+(2-19v)u+6v^2-v-1=0$

Phương trình bậc 2 ẩn $u$. Dùng Delta tìm nghiệm.

P/s: Mình còn một vài lý thuyết nữa nên bạn đừng đăng mấy bài này vội.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-04-2014 - 06:33


#76 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-04-2014 - 22:05

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

Phương trình chứa căn thức khá đa dạng và cũng phong phú về cách giải. Bài viết này trình bày về phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình chứa căn thức có dạng đặc biệt là:

$\alpha x+\beta =F(\sqrt{1-x},\sqrt{1+x}) (*)$

Chúng ta chủ yếu sẽ xét các phương trình dạng:

$\alpha x+\beta =a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x}+c\sqrt{1-x^2}(**)$

Trước hết ta thấy các phương trình trên có tập xác định là $[-1;1]$.

I. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.

1. Đặt một ẩn phụ:
Nếu các hệ số trong $(**)$ thỏa mãn điều kiện:

$\left\{\begin{matrix}ab=\frac{c}{2} & & \\ a^2-b^2=\alpha & & \end{matrix}\right.(***)$

thì ta có thể đặt $t=a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x}$
Khi đó: $t^2=(a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x})^2$

$=2ab\sqrt{1-x^2}-(a^2-b^2)x+(a+b)$

$=c\sqrt{1-x^2}-\alpha x+(a+b)$
Từ đó được phương trình ẩn $t$.

Ví dụ 1: Giải pt:
$4=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x^2} (1)$
Lời giải: Đặt $t=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$ với $t\geq 0$

Ta có: $t^2=2+2\sqrt{1-x^2}\Rightarrow 2\sqrt{1-x^2}=t^2-2$

Từ đó ta được phương trình:
$4=t+t^2-2\Leftrightarrow t^2+t-6=0\Leftrightarrow t=2$ (Do $t\geq 0$)

$\Rightarrow 4=2+2\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow x=0$

Thử lại thỏa mãn.

Ví dụ 2: Giải pt:
$3x-7=3\sqrt{1+x}-6\sqrt{1-x}-4\sqrt{1-x^2} (2)$

Lời giải: Ta có:

$(2)\Leftrightarrow 3x-7=3(\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x})-4\sqrt{1-x^2}$

Kiểm tra với $\alpha =3;a=-2;b=1;c=-4$ thì thỏa mãn $(***)$.

Đặt $t=\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}$, ta được phương trình:
$t^2+3t+2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=2 & & \\ t=-1 & & \end{bmatrix}$

Ta đưa về giải các phương trình:

$\begin{bmatrix}\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}=2 & & \\ \sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}=-1 & & \end{bmatrix}$

Chuyển vế bình phương, từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Ví dụ 3: Giải pt:
$12\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-8\sqrt[4]{1-x^2}=0 (3)$

Lời giải: Thử $x=-1$ không thỏa mãn $(3)$.

Xét $x\neq -1$, ta có:
$(3)\Leftrightarrow 12\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+1-8\sqrt[4]{\frac{1-x}{1+x}}=0$
Đặt $t=\sqrt[4]{\frac{1-x}{1+x}}$ ta được phương trình:

$12t^2-8t+1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=\frac{1}{2} & & \\ t=\frac{1}{6} & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

 

2. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 4: Giải pt:

$x+3=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+3\sqrt{1-x^2} (4)$

Lời giải: Ta tìm $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:
$x+3=\alpha (1+x)+\beta (1-x)=(\alpha -\beta )x+(\alpha +\beta )$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha -\beta =1 & & \\ \alpha +\beta =3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =2 & & \\ \beta =1 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $u=\sqrt{1+x};v=\sqrt{1-x}$. Ta được:

$2u^2+v^2=v-u+3uv\Leftrightarrow 2u^2-3uv+v^2=v-u$

$\Leftrightarrow (u-v)(2u-v)=v-u\Leftrightarrow \begin{bmatrix}u=v & & \\ 2u-v=-1 & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra nghiệm của pt.

 

 

II. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Ví dụ 5: Giải pt:
$4x+3=-6\sqrt{1-x}+12\sqrt{1-x^2}(5)$

Lời giải: Đặt $t=\sqrt{1+x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)

Suy ra $x=t^2-1$. Ta được phương trình.

$4t^2-1=-6\sqrt{1-x}+12t\sqrt{1-x}\Leftrightarrow 4t^2-12t\sqrt{1-x}+6\sqrt{1-x}-1=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $t$, ta có:

$\Delta '=(6\sqrt{1-x}-2)^2$

Từ đó $t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=\frac{6\sqrt{1-x}-1}{2}$

Ta đưa về giải các phương trình ẩn $x$.
Từ đó tìm ra nghiệm của pt.

Ví dụ 6: Giải pt:
$x+1=2\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x^2}(6)$

Lời giải: Đặt $t=\sqrt{1-x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)
Suy ra $x=1-t^2$. Ta được phương trình:

$t^2-(\sqrt{1+x}+1)t+2(\sqrt{1+x}-1)=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $t$, ta có:

$\Delta =(\sqrt{1+x}-3)^2$

Từ đó $t=\sqrt{1+x}-1$ hoặc $t=2$ (loại)

Từ đó tìm ra $x$.

Ví dụ 7: Giải pt:

$3x+1=-2\sqrt{1-x}+4\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}(7)$

Lời giải: Xét $a;b;c$ thỏa mãn:
$3x+1=a(\sqrt{1+x})^2+b(\sqrt{1-x})^2+c$

Đặt $t=\sqrt{1-x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)

Pt (7) trở thành:

$bt^2+(2+\sqrt{1+x})t+a(\sqrt{1+x})^2-4\sqrt{1+x}+c=0$

Với $b\neq 0$, coi đây là phương trình bậc hai ẩn t, chọn $m,n$ thỏa mãn:
$\Delta =(2+\sqrt{1+x})^2-4b[a(\sqrt{1+x})^2-4\sqrt{1+x}+c]$

$=(m\sqrt{1+x}+n)^2\Rightarrow \left\{\begin{matrix}1-4ab=m^2 & & \\ 2(1+4b)=mn & & \\ 4(1-bc)=n^2 \end{matrix}\right.$

Chọn $a=2;b=-1;c=0$ thì tìm được $m=-3$ và $n=2$.

Khi đó $\Delta =(-3\sqrt{1+x}+2)^2$ và ta được 

$\begin{bmatrix}t=2\sqrt{1+x} & & \\ t=2-\sqrt{1+x} & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra $x$.

Ví dụ 8: Giải pt:

$-x+5=5\sqrt{1-x}+3\sqrt{1+x}-3\sqrt{1-x^2}(8)$

Lời giải: Xét $a;b;c$ thỏa:
$-x+5=a(1+x)+b(1-x)+c$

Đặt $t=\sqrt{1+x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)

Pt (8) trở thành:

$at^2-3(1-\sqrt{1-x})^2-4ab[(\sqrt{1-x})^2-5\sqrt{1-x}+c]=(m\sqrt{1-x}+n)^2$

Tìm được $a=b=c=1$ thì $m=n=1$.

Từ đó $\Delta =(\sqrt{1-x}+1)^2$ và ta được:
$\begin{bmatrix}t=2-\sqrt{1-x} & & \\ t=1-2\sqrt{1-x} & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra $x$.

Bài tập tự luyện:
Bài 68: Giải các pt sau:
a) $3=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x^2}$

 

b) $x+3=2\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}$

 

c) $x+5=2\sqrt{1-x}+4\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-04-2014 - 23:04


#77 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-04-2014 - 13:58

 

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

 

Ví dụ 2: Giải pt:
$3x-7=3\sqrt{1+x}-6\sqrt{1-x}$$-4\sqrt{\sqrt{1-x^2}} (2)$

Lời giải: Ta có:

$(2)\Leftrightarrow 3x-7=3(\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x})$$-4\sqrt{1-x^2}$

Kiểm tra với $\alpha =3;a=-2;b=1;c=-4$ thì thỏa mãn $(***)$.

Đặt $t=\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}$, ta được phương trình:
$t^2+3t+2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=2 & & \\ t=-1 & & \end{bmatrix}$

Ta đưa về giải các phương trình:

$\begin{bmatrix}\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}=2 & & \\ \sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}=-1 & & \end{bmatrix}$

Chuyển vế bình phương, từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

 

 

Bài tập tự luyện:
Bài 68: Giải các pt sau:
a) $3=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x^2}$

 

 

VietHoang99 xem lại phần màu đỏ

 

Ủng hộ luôn bài

 

$68>a>$

 

$3=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x^2} (*)$

 

Đặt :

 

$a=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\Rightarrow a^2=2+2\sqrt{1-x^2}\Rightarrow -2\sqrt{1-x^2}=2-a^2$

 

Vậy:

 

$(*)$$\Leftrightarrow 3=a+ 2-a^2\Leftrightarrow a^2-a+1=0$ (vô lí)

 

Vậy phương trình $(*)$ vô nghiệm     $\blacksquare$

 

---------------------------------------------------------

 

Nhân tiện Kaito Kuroba chình lại cỡ chữ ( khó nhìn!)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 08-04-2014 - 14:01

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#78 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 08-04-2014 - 19:59

 

Bài 68: Giải các pt sau:
 

b) $x+3=2\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}$

 

68)
b) Đặt $\sqrt{1-x}=t$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)
$\Rightarrow x=1-t^2$

Pttt: $t^2-t\sqrt{1+x}+2\sqrt{1+x}-4=0$

$\Delta =(\sqrt{1+x}-4)^2$

Tới đây tìm ra $t$ $\Rightarrow x$



#79 hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-04-2014 - 21:10

Bài 68: Giải các pt sau:

c) $x+5=2\sqrt{1-x}+4\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}$

 

Xét $a;b;c$ thỏa mãn:

$x+5=a(\sqrt{1+x})^2+b(\sqrt{1-x})^2+c$

Đặt $t=\sqrt{1-x}$

PT trở thành:

$bt^2+(\sqrt{1+x}-2)t+a(\sqrt{1+x})^2-4\sqrt{1+x}+c=0$

Với $b\neq 0$, coi đây là phương trình bậc hai ẩn t, chọn $m,n$ thỏa mãn:

$\Delta =(\sqrt{1+x}-2)^2-4b[a(\sqrt{1+x})^2-4\sqrt{1+x}+c]$
$=(m\sqrt{1+x}+n)^2\Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+4ab=m^2 & & \\ 2(4b-1)=mn & & \\ 4(1+bc)=n^2 \end{matrix}\right.$

Chọn $a=2;b=1;c=0$ thì tìm được $m=3$ và $n=2$.

=> $\Delta =(3\sqrt{1+x}+2)^2$ và ta có:

$\begin{bmatrix} 4\sqrt{x+1}=t\\ -4-2\sqrt{x+1}=t \end{bmatrix}$

=>tìm được $x$

p/s: mới gõ lại được 1 bài. :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-04-2014 - 21:48

:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#80 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 08-04-2014 - 21:28

CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT


Bài toán 1: Giải pt:
$\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ $(I)$ với $ac\neq 0$

Lời giải: Đặt $\sqrt{ax+b}=\alpha y+\beta$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =cx^2+dx+e & & \\ ax+b=\alpha ^2y^2+2\alpha \beta y+\beta ^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}cx^2+dx-\alpha y=\beta -e (1) & & \\ \alpha ^2y^2+2\alpha \beta y-ax=b-\beta ^2 (2) & & \end{matrix}\right.$

Ta cần tìm các số $\alpha ;\beta$ để sau khi biến đổi $(1);(2)$ rồi trừ theo vế ta được một pt có dạng $(x\pm y)F(x,y)=0$, từ đó giúp giải được pt ban đầu.

 

Thí dụ 1: Giải pt:

$\sqrt{x+1}=x^2+4x+5$

Phân tích: 
Đặt $\sqrt{x+1}=\alpha y+\beta$ ($\alpha \neq 0$)

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =x^2+4x+5 & & \\ x+1=\alpha ^2y^2+2\alpha \beta y+\beta ^2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+4x-\alpha y=\beta -5 (1) & & \\ \alpha ^2y^2+2\alpha \beta y-x=1-\beta ^2 (2) & & \end{matrix}\right.$ $(*)$

Chọn $\alpha ^2=1$. Khi đó:

$(2)\Leftrightarrow y^2+2\alpha \beta y-x=1-\beta ^2 (3)$

Trừ theo vế của $(1)$ cho (3) ta được:

$(x^2-y^2)+5x-(\alpha +2\alpha \beta )y=\beta ^2+\beta -6$

Chọn $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}\alpha +2\alpha \beta =\pm 5 & & \\ \beta ^2+\beta -6=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =2 & & \end{matrix}\right.$

Chúng ta có thể hiểu và làm gọn hơn như sau:

$(*)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^2=1 & & \\ 2\alpha \beta =4 & & \\ \alpha =1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =2 & & \end{matrix}\right.$ (Hệ số của $x^2$ giống hệ số của $y^2$; hệ số của $x$ giống hệ số của $y$)

Lời giải: ĐK: $x\geq 1$ 

Đặt $\sqrt{x+1}=y+2$ ($y\geq -2$)
Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}x^2+4x-y=-3 (1) & & \\ y^2+4y-x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$

Trừ theo vế của $(1)$ và $(2)$ ta được: $(y-x)(y+5+x)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix}y=x & & \\ y=-5-x & & \end{bmatrix}$

Thay ngược trở lại $(1)$ hoặc $(2)$ để tìm nghiệm.

 

Thí dụ 2: Giải pt:

$\sqrt{3x+1}+4x^2-13x+5=0$

Lời giải: ĐK: $x\geq -\frac{1}{3}$

Làm tương tự Thí dụ 1 tìm được $\left\{\begin{matrix}\alpha =2 & & \\ \beta =-2 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{3x+1}=2y-2$ ($y\geq 1$)

Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}4x^2-13x+2y=-3 (1) & & \\ 4y^2-8y-3x=-3 (2) & & \end{matrix}\right.$

Trừ theo vế của $(1)$ và $(2)$ rồi làm tương tự thí dụ 1.

 

 

Bài toán 2: Giải pt:
$\sqrt[3]{ax+b}=cx^3+dx^2+ex+f$ ($II$) với $ac\neq 0$

Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=\alpha y+\beta$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =cx^3+dx^2+ex+f & & \\ ax+b=\alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3a\beta ^2y-ax=b-\beta ^3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}cx^3+dx2+ex-\alpha y=\beta -f (3) & & \\ \alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y-ax=b-\beta ^3 (4) & & \end{matrix}\right.$

Tương tự bài toán 1, ta cần tìm các số $\alpha ;\beta$ để sau khi biến đổi $(1);(2)$ rồi trừ theo vế ta được một pt có dạng $(x\pm y)F(x,y)=0$, từ đó giúp giải được pt ban đầu.

 

Thí dụ 3: $\sqrt[3]{x+1}=x^3-15x^2+75x-131$

Phân tích: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=\alpha y+\beta$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}\alpha y+\beta =x^3-15x^2+75x-131 & & \\ x+1=\alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y+\beta ^3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3-15x^2+75x-\alpha y=\beta +131 (3) & & \\ \alpha ^3y^3+3\alpha ^2\beta y^2+3\alpha \beta ^2y-x=1-\beta ^3 (4) & & \end{matrix}\right.$ $(**)$

Trừ theo vế của $(3)$ và $(4)$ ta được:
$x^3-\alpha ^3y^3-(15x^2+3\alpha ^2\beta y^2)+76x-(\alpha +3\alpha \beta ^2)y=\beta ^3+\beta +130$

Ta chọn $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}\alpha ^3=\pm 1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \alpha +3\alpha \beta ^2=\pm 76 \\ \beta ^3+\beta +130=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =1 & & \\ \beta =-5 & & \end{matrix}\right.$

Dễ hiểu hơn:
$(**)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha ^3=1 & & \\ 3\alpha ^2\beta =-15 & & \\ \end{matrix}\right.$ (Hệ số giống nhau, có lẽ chỉ cần hệ 2 pt này là đủ)

​Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{x+1}=y-5$

 

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}x^3-15x^2+75x-y=126 & & \\ y^3-15y^2+75y-x=126 & & \end{matrix}\right.$

Giải tương tự bài toán 1.

Có lẽ không cần đến Thí dụ 4, nhỉ?

 

Nhận xét:
Dạng pt này là khó, chúng ta đã bắt gặp đâu đó và cách giải của nó với điều kiện của pt rất phức tạp! Dường như người ta đã cố ý áp đặt n hư vậy để giải được. Lẽ dĩ nhiên nếu không chọn được $\alpha ;\beta$ thì pt cũng không thể giải được như trên. Với cách làm này mình hi vọng các bạn THCS sẽ dễ hiểu hơn. Cuối cùng xin mời các bạn luyện tập qua việc tự giải các pt sau:

 

69) $2\sqrt{2x-1}=x^2-2x$

 

70) $\sqrt{3x-2}+4x^2-21x+22=0$

 

71) $2x^3=1+\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}}$

 

72) $\sqrt[3]{3x-5}=8x^3-36x^2+53x-25$

 

73) $x^3+3x^2-3\sqrt[3]{3x+5}=1-3x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-04-2014 - 22:26





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh