Chú ý: Có một số phương pháp giải phương trình vô tỉ mình đăng ở phía sau:
+PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT
(#83 ở trang 5 của TOPIC)
+CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT
(#87 ở trang 5 của TOPIC)
+Chuyên đề: Hệ phương trình
(#137 ở trang 7 của TOPIC)
+Phương pháp UCT giải hệ phương trình
(#333 ở trang 17 của TOPIC)
I. Chuyên đề : Phương trình vô tỉ
1) Định nghĩa:
- Phương trình vô tỉ là phương trình chứa biến ở trong căn.
2) Những điều cần lưu ý khi giải phương trình vô tỉ:
- Phải chú ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình vô tỉ.
- Phải thành thạo các phép biến đổi đồng nhất.
- Nắm vững các tính chất của tam thức.
- Sử dụng thành thạo các bất đẳng thức (BĐT) quan trọng.
3) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ thường gặp:
3.1) Phương pháp dùng định nghĩa:
- $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}f(x)\geq 0 & & \\ g(x)\geq 0 & & \end{bmatrix} & & \\ f(x)=g(x) & & \end{matrix}\right.$
- $\sqrt[2k+1]{f(x)}=\sqrt[2k+1]{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$
- $\sqrt[2k]{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g(x)\geq 0 & & \\ f(x)=g^{2k}(x) & & \end{matrix}\right.$
- $\sqrt[2k+1]{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow f(x)=g^{2k+1}(x)$
3.2) Đưa phương trình vô tỉ về dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Vd1: Giải pt: $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2$ (*)
ĐKXĐ: $x\geq 1$
PT (*) $\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=2$
$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+|\sqrt{x-1}-1|=1$ (Do $\sqrt{x-1}+1>0$) (1)
$\cdot$ Nếu $\sqrt{x-1}-1\geq 0\Rightarrow x\geq 2$
(1) $\Leftrightarrow 2\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow x=2$ (thỏa)
$\cdot$ Nếu $\sqrt{x-1}-1<0 \Rightarrow x<2$
(1) $\Leftrightarrow 2=2$
$\Rightarrow$ Pt có vô số nghiệm $x<2$
Kết hợp ĐKXĐ và 2 trường hợp trên ta có: Pt có vô số nghiệm $1\leq x\leq 2$
Vd2: Giải pt: $\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}+\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}=\sqrt{6}$ (*)
ĐKXĐ: $x\geq \frac{3}{2}$
PT (*) $\Leftrightarrow x+\sqrt{6x-9}+x-\sqrt{6x-9}+2\sqrt{(x+\sqrt{6x-9})(x-\sqrt{6x-9})}=6\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{(x-3)^2}=6\Leftrightarrow 2x+2|x-3|=6\Leftrightarrow |x-3|=3-x\Leftrightarrow x-3\leq 0\Leftrightarrow x\leq 3$
Kết hợp với ĐKXĐ ta có: $\frac{3}{2}\leq x\leq 3$
3.3) Đặt ẩn phụ, đưa phương trình vô tỷ về phương trình bậc cao hoặc hệ phương trình
(Bài viết của L Lawliet ở đây)
1. Phương trình dạng $ax^2+bx+c\pm \sqrt{mx^2+nx+p}=q$ với $an=bm$. Đặt $t=\sqrt{mx^2+nx+p}$. Điều kiện nói chung là $t\geq 0$
2. Phương trình vô tỉ dạng $\sqrt{a+mx}+\sqrt{b-mx}+c\sqrt{(a+mx)(b-mx)}+d=0$
Điều kiện phương trình có nghiệm là $\sqrt{a+mx}\geq 0$ và $\sqrt{b-mx}\geq 0$ $(c,m\neq 0)$
Đặt $t=\sqrt{a+mx}+\sqrt(b-mx)\geq 0\Rightarrow \sqrt{(a+mx)(b-mx)}=\frac{t^2-a-b}{2}$
3. Phương trình dạng $aP(x)+bQ(x)+c\sqrt{P(x).Q(x)}=0(a,b,c\neq 0)$
Nếu $P(x)=0$ thì $Q(x)=0$
Nếu $P(x)\neq 0$ thì chia hai vế của phương trình cho $P(x)\neq 0$ rồi đặt $t=\frac{Q(x)}{P(x)}\geq 0$
4. Trong phương trình vô tỉ đặt $\sqrt{f(x)}=t\geq 0$ nhưng không tính được tất cả các số hạng của phương trình theo ẩn $t$ thì ta giải phương trình vô tỉ theo ẩn $t$
Đó là các phương pháp cơ bản cần nắm vững còn phương pháp nhân lượng liên hợp rất dài nên mình không nói ở đây.
Vd1: Giải pt: $3x^2+21x+28+2\sqrt{x^2+7x+7}=2$ (*)
ĐKXĐ: $x^2+7x+7\geq 0$ (Sau khi tìm được $x$ thì thay vào xem có thỏa mãn không, nếu không có thể giải chi tiết ĐKXĐ này)
Đặt $x^2+7x+7=a\geq -5,25$
PT (*) $\Leftrightarrow 3a+2\sqrt{a}+7=2\Leftrightarrow a+\frac{2}{3}\sqrt{a}+\frac{5}{3}=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\frac{1}{3})^2=\frac{-14}{9}$ (Vô lý)
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
$S=\left \{ \phi \right \}$
Vd2: Giải pt: $\sqrt{2x+3+\sqrt{x+2}}+\sqrt{2x+2-\sqrt{x+2}}=1+2\sqrt{x+2}$
ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix}x\geq -2 & & \\ 2x+3\pm \sqrt{x+2}\geq 0 & & \end{matrix}\right.$
Đặt $\sqrt{2x+3+\sqrt{x+2}}=a;\sqrt{2x+2-\sqrt{x+2}}=b$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a^2-b^2=1+2\sqrt{x+2} & & \\ a+b=1+2\sqrt{x+2} & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a+b=a^2-b^2\Leftrightarrow a-b=1$ (Do $a+b>0$)
$\Leftrightarrow a=b+1$
Mà $a+b=1+2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow b+1+b=1+2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow 2b=2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=\sqrt{x+2} & & \\ a=\sqrt{x+2}+1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+2-\sqrt{x+2}}=\sqrt{x+2} (1) & & \\ \sqrt{2x+3+\sqrt{x+2}}=\sqrt{x+2} (2) & & \end{matrix}\right.$
(1) $\Leftrightarrow 2x+2-\sqrt{x+2}=x+2\Leftrightarrow x=\sqrt{x+2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 0 & & \\ x^2=x+2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$
Thay $x=2$ thấy thỏa mãn.
Vậy $x=2$ là nghiệm của pt trên.
3.4) Dùng bất đẳng thức:
Vd1: Giải pt: $\sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}=\sqrt{3x-2}$
ĐKXĐ: $x\geq 1$
$\Rightarrow x<5x\Rightarrow x-1<5x-1\Leftrightarrow \sqrt{x-1}<\sqrt{5x-1}\Rightarrow \sqrt{x-1}-\sqrt{5x-1}<0$
$\Leftrightarrow \sqrt{3x-2}<0$ (Vô lý với mọi $x$ thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy PT trên vô nghiệm.
Vd2: Giải pt: $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$
Ta thấy: $VT=\sqrt{3(x+1)^2+4}+\sqrt{5(x+1)^2+9}\geq 2+3=5$
Mà $VP=5-(x+1)^2\leq 5$
$\Rightarrow VT=VP=5$
Dấu = có khi: $x=-1$
Vd3: $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x}=1$
Ta thấy: $x=0$ là một nghiệm của pt.
$\cdot$ Nếu $x>0\Rightarrow 2x+1>1\Rightarrow \sqrt[3]{2x+1}>1$
Mà $\sqrt[3]{x}>0\Rightarrow VT>1=VP$
$\Rightarrow$ Mọi $x>0$ không là nghiệm của pt.
$\cdot$ Nếu $x<0\Rightarrow 2x+1<1\Rightarrow \sqrt[3]{2x+1}<1$
Mà $\sqrt[3]{x}<0\Rightarrow VT<1=VP$
$\Rightarrow$ Mọi $x<0$ không là nghiệm của pt.
Vậy pt đã cho nghiệm $x=0$ là duy nhất.
Vd4: $\frac{x}{\sqrt{3x-2}}+\frac{\sqrt{3x-2}}{x}=2$
ĐKXĐ: $x>\frac{2}{3}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
$\frac{x}{\sqrt{3x-2}}+\frac{\sqrt{3x-2}}{x}\geq 2$
Dấu = xảy ra khi: $x=\sqrt{3x-2}\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=1 & & \\ x=2 & & \end{bmatrix}$ (thỏa)
Vậy $x=1$; $x=2$ là nghiệm của pt.
Bài tập:
Giải pt:
1) $3+\sqrt{2x-3}=x$
2) $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-4}=1$
3) $\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$
4) $\sqrt{10-x}+\sqrt{x+3}=5$
5) $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x+5}=1$
6) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}=1$
7) $\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1$
8) $(x+5)(x-2)-4(x+5)\sqrt{\frac{x-2}{x+5}}+3=0$
3.5) Tách thành tổng hoặc hiệu của các bình phương:
Vd1: Giải pt: $x^2+4x+5=2\sqrt{2x+3}$
ĐK: $x\geq -\frac{3}{2}$
$PT\Leftrightarrow x^2+2x+1+2x+4-2\sqrt{2x+3}=0\Leftrightarrow (x+1)^2+(\sqrt{2x+3}-1)^2=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1=0 & & \\ 2x+3=1 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=-1$ (thỏa)
Vậy $x=-1$ là nghiệm của pt.
Vd2: Giải pt: $x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=1,5xy$
ĐK: $x\geq 1; y\geq 1$
$PT\Leftrightarrow 2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}-3xy=0$
$\Leftrightarrow 2x\sqrt{y-1}-xy+4y\sqrt{x-1}-2xy=0$
$\Leftrightarrow x(y-2\sqrt{y-1})+2y(x-2\sqrt{x-1})=0$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{y-1}-1)^2+2y(\sqrt{x-1}-1)^2=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{y-1}=1 & & \\ \sqrt{x-1}=1 & & \end{matrix}\right.$ (Do ĐKXĐ)
$\Rightarrow x=y=2$ (thỏa)
3.6) Nhân liên hợp:
Vd: Giải pt: $PT\Leftrightarrow \sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{3x^2-5x-1}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}$
ĐKXĐ: 4 biểu thức trong căn $\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{3x^2-5x-1})(\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1})}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{(\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4})(\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4})}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$
$\Leftrightarrow \frac{3x^2-7x+3-3x^2+5x+1}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{x^2-2-x^2+3x-4}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$
$\Leftrightarrow \frac{4-2x}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{-6+3x}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$
$\Leftrightarrow (2-x)(\frac{2}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}+\frac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}})=0$
$\Leftrightarrow x=2$
Bài tập:
Giải pt:
9) $2012x^2-4x+3=2011x\sqrt{4x-3}$
10) $\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}=181-14x$
11) $\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{1-x}}=1$
12) $\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}}=\sqrt{x}-1$
13) $\sqrt{x^2+6}=x-2\sqrt{x^2-1}$
P/s: Các bài làm rồi sẽ được tô màu đỏ, các bạn khi giải bài nhớ trích dẫn và ghi số thứ tự bài nha.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 17-08-2014 - 07:37