Số thực $x$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện $x^{2}+(3-x)^{2}\geq 5$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=x^{4}+(3-x)^{4}+6x^{2}(3-x)^{2}$
Số thực $x$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện $x^{2}+(3-x)^{2}\geq 5$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=x^{4}+(3-x)^{4}+6x^{2}(3-x)^{2}$
''Chúa không chơi trò xúc xắc.''
Albert Einstein
Số thực $x$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện $x^{2}+(3-x)^{2}\geq 5$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=x^{4}+(3-x)^{4}+6x^{2}(3-x)^{2}$
Đặt y=3-x bài toán trở thành : Tìm GTNN của $x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}$ trong đó x, y thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}\geqslant 5;x+y=3$
Từ hai hệ thức trên ta có : $(x^{2}+y^{2})+4(x+y)^{2}\geqslant 41\rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+8xy\geqslant 41$
Mà : $16(x^{2}+y^{2})^{2}+25(2xy)^{2}\geqslant 40(x^{2}+y^{2})(2xy)$ đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x^{2}+y^{2})=5(2xy)$
Cộng hai vế của bất đẳng thức trên cho $25(x^{2}+y^{2})^{2}+16(2xy)^{2}\rightarrow 41((x^{2}+y^{2})^{2}+2xy)\geqslant (5(x^{2}+y^{2}+8xy))^{2}\geqslant 41^{2}\rightarrow x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}\geqslant 41$.
Đặt y=3-x bài toán trở thành : Tìm GTNN của $x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}$ trong đó x, y thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}\geqslant 5;x+y=3$
Từ hai hệ thức trên ta có : $(x^{2}+y^{2})+4(x+y)^{2}\geqslant 41\rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+8xy\geqslant 41$
Mà : $16(x^{2}+y^{2})^{2}+25(2xy)^{2}\geqslant 40(x^{2}+y^{2})(2xy)$ đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x^{2}+y^{2})=5(2xy)$
Cộng hai vế của bất đẳng thức trên cho $25(x^{2}+y^{2})^{2}+16(2xy)^{2}\rightarrow 41((x^{2}+y^{2})^{2}+2xy)\geqslant (5(x^{2}+y^{2}+8xy))^{2}\geqslant 41^{2}$\rightarrow x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}\geqslant 41$.
Chỗ này không được tự nhiên lắm nhỉ? Làm sao bác biết mà cộng vào?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 23-02-2014 - 10:56
''Chúa không chơi trò xúc xắc.''
Albert Einstein
Chỗ này không được tự nhiên lắm nhỉ? Làm sao bác biết mà cộng vào?
Cộng vào cốt để sử dụng BĐT trước thôi không có gì lạ cả
Đặt y=3-x bài toán trở thành : Tìm GTNN của $x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}$ trong đó x, y thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}\geqslant 5;x+y=3$
Từ hai hệ thức trên ta có : $(x^{2}+y^{2})+4(x+y)^{2}\geqslant 41\rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+8xy\geqslant 41$
Mà : $16(x^{2}+y^{2})^{2}+25(2xy)^{2}\geqslant 40(x^{2}+y^{2})(2xy)$ đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x^{2}+y^{2})=5(2xy)$
Cộng hai vế của bất đẳng thức trên cho $25(x^{2}+y^{2})^{2}+16(2xy)^{2}\rightarrow 41((x^{2}+y^{2})^{2}+2xy)\geqslant (5(x^{2}+y^{2}+8xy))^{2}\geqslant 41^{2}\rightarrow x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}\geqslant 41$.
$41\left [ (x^{2}+y^{2})^{2}+(2xy)^2 \right ]$
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
Đặt y=3-x bài toán trở thành : Tìm GTNN của $x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}$ trong đó x, y thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}\geqslant 5;x+y=3$
Từ hai hệ thức trên ta có : $(x^{2}+y^{2})+4(x+y)^{2}\geqslant 41\rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+8xy\geqslant 41$
Mà : $16(x^{2}+y^{2})^{2}+25(2xy)^{2}\geqslant 40(x^{2}+y^{2})(2xy)$ đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x^{2}+y^{2})=5(2xy)$
Cộng hai vế của bất đẳng thức trên cho $25(x^{2}+y^{2})^{2}+16(2xy)^{2}\rightarrow 41((x^{2}+y^{2})^{2}+2xy)\geqslant (5(x^{2}+y^{2}+8xy))^{2}\geqslant 41^{2}\rightarrow x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}\geqslant 41$.
cho e hỏi cái biểu thức trên nó ở đâu ra vậy!!a tự nghĩ ra hay suy ra từ đâu ko ạ??
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh