Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum_{n=1}^{\infty }sin(\pi(2+\sqrt{3})^{n})$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết

Xét tính hội tụ của chuỗi sau đây : a)$\sum_{n=1}^{\infty }sin(\pi(2+\sqrt{3})^{n})$

b)$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}+1}{n-lnn}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 23-02-2014 - 15:45


#2
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
 

Xét tính hội tụ của chuỗi sau đây : a)$\sum_{n=1}^{\infty }sin(\pi(2+\sqrt{3})^{n})$

b)$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}+1}{n-lnn}$

 

Giải:

 

a) Phân kỳ.

 

b) Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy $\sum_{n=1}^{\infty}f\left ( n \right )\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}2^nf\left ( 2^n \right )$

 

Nên $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^n+1}{n-\ln n}\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{2^n-n\ln2}$

 

Mà $\lim_{n\to \infty}\frac{2^{n+1}}{2^n-n\ln2}=2\neq0$ do đó chuỗi ban đầu phân kỳ.

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Ké câu hỏi!

 

 

Tính tích phân tham số: $$I(a)=\int_{0}^{\pi}\ln\left ( 1-2a\cos x+a^2 \right )dx$$

 

Giải:

 

$\Rightarrow I'(a)=2\int_{0}^{\pi} \frac{a-\cos x}{1-2a\cos x+a^2}dx$

 

+) $a=0,\: \pm1\Rightarrow I(0)=0$

 

+) $a\neq 0,\: \pm 1$

Đặt $t=\tan\frac{x}{2}\to dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ và $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

 

Nên 

 

$I'(a)=\frac{1}{a}\int_{0}^{\pi}\left [ 1+\frac{a^2-1}{1-2a\cos x+a^2} \right ]dx$

 

$=\frac{\pi}{a}+ \frac{a^2-1}{a}\int_{0}^{+\infty}\frac{2}{\left ( a+1 \right )^2t^2+\left ( a-1 \right )^2}dx=\frac{\pi}{a}+\frac{2}{a}\left [\arctan\left ( \frac{\left ( a+1 \right )t}{a-1} \right ) \right ]_0^{+\infty}$

 

$\to\left\{\begin{matrix}\left | a \right |<1\Rightarrow I'(a)=0\Rightarrow I(a)=C_1\\\left | a \right |>1\Rightarrow I'(a)=\frac{2\pi}{a} \Rightarrow I(a)=2\pi\ln\left | a \right |+C_2\end{matrix}\right.$

 

Vì $I(a)$ liên tục nên $C_1=C_2=0$

 

Vậy kết quả là $\left\{\begin{matrix}I(a)=0,\: \left | a \right |\leq 1\\I(a)=2\pi\ln \left | a \right |,\: \left | a \right |>1 \end{matrix}\right.$

 

-----------------------------------------------------------------------------------

 

Chứng minh $a=\pm 1\to I(a)=0$

 

Khi $a=-1\Rightarrow I(-1)=\int_{0}^{\pi} \ln\left ( 2+2\cos x \right )dx$ và $a=1\Rightarrow I(1)=\int_{0}^{\pi} \ln\left ( 2-2\cos x \right )dx$

 

Ta đặt $t=\pi -x$ thì thấy ngay $I(-1)=I(1)$

 

Với $I(1)=\int_{0}^{\pi}\ln\left ( 2-2\cos x \right )dx=\int_{0}^{\pi}\ln\left ( 4\sin^2\frac{x}{2} \right )dx=\pi\ln4+4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin xdx=\pi\ln4-4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cot xdx=\pi\ln4-4I$

 

Đặt $t=\frac{\pi}{2}-x$ đối với tích phân 2 sau khi tách

 

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cot xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}x\cot xdx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}x\cot xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}x\cot xdx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )\cot \left ( \frac{\pi}{2}-x \right )dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left [ x\left ( \cot x-\tan x\right )+\frac{\pi}{2}\tan x \right ]dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}2x\cot 2xdx+\frac{\pi}{4}\ln2=\frac{1}{2}I+\frac{\pi}{4}\ln 2\to I=\frac{\pi}{2}\ln2$

 

Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn, em nghĩ vẫn còn cách khác nữa :((

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 26-02-2014 - 23:26

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh