Cho các số tự nhiên a,b,c,d thỏa mãn a>b>c>d và: ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).
Chứng minh rằng ab+cd là hợp số.
Cho các số tự nhiên a,b,c,d thỏa mãn a>b>c>d và: ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c). Chứng minh rằng ab+cd là hợp số.
Bắt đầu bởi universe, 24-02-2014 - 12:25
#2
Đã gửi 05-03-2014 - 20:58
bacninhquehuongtoi
-
- Thành viên
-
- 22 Bài viết
Binh nhất
Cho các số tự nhiên a,b,c,d thỏa mãn a>b>c>d và: ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).
Chứng minh rằng ab+cd là hợp số.
Từ giả thiết ta có $a^{2}+c^{2}= b^{2}+d^{2}+bd+ca$
Ta có $\left ( ab+cd \right )\left ( ad+cb \right )=bd\left ( a^{2}+c^{2} \right )+ac\left (b^{2}+ d^{2} \right ) = \left ( bd+ac \right )\left ( b^{2}+d^{2} +bd\right )$
Vì $a> b> c> d$ nên $\left ( a-d \right )\left ( b-c \right )> 0 \Leftrightarrow ab+cd> ac+bd$
và $\left ( a-b\right )\left ( c-d\right )> 0 $\Leftrightarrow ac+bd> ad+cb$
Gỉa sử ab+cd là số nguyên tố
Mà ab+cd>ac+bd nên $\left ( ab+cd;ac+bd \right )= 1\rightarrow ad+bc\vdots ac+bd\rightarrow ad+bc\geq ac+bd$
Mâu thuẫn nên giả sử sai
Vậy bài toán được chứng minh
- angleofdarkness yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
