Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic toán sinh viên Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2014

olympic toán sinh viên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-02-2014 - 17:00

Môn: Đại số

 

Câu 1:  Cho đa thức $f(x)=(p_1-x)(p_2-x)\ldots (p_n-x)$, trong đó $p_i\text{ } (1\leq i\leq n)$ là các hằng số, và cho $$\Delta _n=\begin{vmatrix} p_1 & a & a & a & \cdots & a & a \\ b & p_2 & a & a & \cdots & a &a \\ b & b & p_3 & a & \cdots & a & a\\ b & b & b & p_4 & \cdots & a & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & b & \cdots & p_{n-1} & a\\ b & b & b & b & \cdots & b & p_n \end{vmatrix}$$

 

(a) Chứng minh rằng nếu $a\neq b$ thì $$\Delta_n=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$$

(b) Chứng minh rằng nếu $a=b$ thì $$\Delta _n=a\sum_{i=1}^{n}f_i(a)+p_nf_n(a)$$ trong đó $f_i(a)=\prod_{j=1,j\neq i}^{n}(p_j-a)$ với mọi $1\leq i\leq n$.

 

Câu 2: Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu mtraanuj $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$ Hơn nữa, nếu $A$ khả nghịch thì $D=CA^{-1}B$

 

Câu 3: Cho $A\in Mat(n\times n,\mathbb{R})$ có hạng $r$, $r\geq 1$. Chứng minh rằng $A^2=A$ khi và chỉ khi tồn tại các ma trận $B\in Mat(n\times r,\mathbb{R})$ và $B\in Mat(r\times n,\mathbb{R})$ đều có hạng bằng $r$ thoả mãn $A=BC$ và $CB=I_r$. Hơn nữa, chứng minh rằng nếu $A^2=A$ thì $$\left | 2I_n-A \right |=2^{n-r} \text{ và } \left | A+I_n \right |=2^r$$

 

Câu 4: Một ma trận hoán vị cấp $k$ là ma trận vuông cấp $k$ mà mỗi dòng, mỗi cột có đúng một phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Cho A là một ma trận vuông cấp $k$ $(k\geq 1)$ khả nghịch mà các phần tử của nó là các số nguyên không âm.

 

(a) Chứng minh rằng tồn tại ma trận hoán vị $P$ cấp $k$ và ma trận vuông $B$ cấp $k$ với các phần tử là các số nguyên không âm sao cho $A=P+B$.

(b) Chứng minh rằng nếu tổng tất cả các phần tử của ma trận $A^n$ là bị chặn trên bởi một hằng số với mọi $n$ thì $A$ phải là ma trận hoán vị.

 

Câu 5: Cho $n$ là số nguyên dương và gọi $$f(x)=x^n+(k+1)x^{n-1}+(2k+1)x^{n-2}+\cdots+((n-1)k+1)x+nk+1$$

 

(a) Chứng minh rằng $f(1-k)=n+1$

(b) Chứng minh rằng nếu $n\geq 3$ và $k=2$ thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.

 

Môn: Giải tích

 

Câu 1: Giả sử $a$ là số thực dương. Định nghĩa dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ bởi qui nạp: $$x_0=0,\text{ } x_{n+1}=a+x_n^2 \text{ với mọi } n\geq0$$

Tìm một điều kiện cần và đủ của $a$ để dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ hội tụ.

 

Câu 2: Cố định một số nguyên $n\geq 1$.

 

(a) Chứng minh phương trình $$x^n+x^{n-1}+\cdots +x-1=0$$ có duy nhất một nghiệm dương $a_n$

(b) Chứng minh rằng $$a_n^{n+1}-2a_n+1=0$$ và từ đó tìm $\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }a_n$.

 

Câu 3: Cho $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi liên tục cấp 3. Giả sử rằng cả $f,\text{ }f^{'''}$ đều bị chặn và đặt $$M_0=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f(x) \right |, M_3=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'''}(x) \right |$$

 

(a) Chứng minh rằng $f^{'}(x)$ bị chặn và $$\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'}(x) \right |\leq \frac{1}{2}(9M_0^2M_3)^{\frac{1}{3}}$$

(b) Đạo hàm cấp hai $f^{''}$ có bị chặn không?

 

Câu 4: Giả sử $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả tích trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ sao cho $$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$$

Chứng minh rằng $$\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 4$$

 

Câu 5: Chứng minh rằng không tồn tại hàm số liên tục $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x)+f(x^2)=x \text{ với mọi }x\in \left [ 0,1 \right ]$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 26-02-2014 - 12:21

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 24-02-2014 - 23:29

 


Câu 4: Giả sử $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả tích trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ sao cho $$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$$

Chứng minh rằng $$\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 4$$


 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$$\int_0^1 f^2(x)dx \int_0^1 (x+t)^2 dx \ge \left(\int_0^1 f(x)(x+t)dx \right )^2=(1+t)^2$$

$$\Rightarrow \int_0^1 f^2(x)dx \ge \frac{3(1+t)^2}{3t^2+3t+1}=f(t)$$

Khảo sát hàm này ta có $\max f(t)=4$

Do đó $$\int_0^1 f^2(x) dx \ge 4$$

 

Vậy bài toán được chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-02-2014 - 23:32

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 26-02-2014 - 02:37

 

Môn: Đại số

 

Câu 1:  Cho đa thức $f(x)=(p_1-x)(p_2-x)\ldots (p_n-x)$, trong đó $p_i\text{ } (1\leq i\leq n)$ là các hằng số, và cho $$\Delta _n=\begin{vmatrix} p_1 & a & a & a & \cdots & a & a \\ b & p_2 & a & a & \cdots & a &a \\ b & b & p_3 & a & \cdots & a & a\\ b & b & b & p_4 & \cdots & a & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & b & \cdots & p_{n-1} & a\\ b & b & b & b & \cdots & b & p_n \end{vmatrix}$$

 

(a) Chứng minh rằng nếu $a\neq b$ thì $$\Delta_n=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$$

(b) Chứng minh rằng nếu $a=b$ thì $$\Delta _n=a\sum_{i=1}^{n}f_i(a)+p_nf_n(a)$$ trong đó $f_i(a)=\prod_{j=1,j\neq i}^{n}(p_j-a)$ với mọi $1\leq i\leq n$.

 

Câu 2: Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu mtraanuj $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$ Hơn nữa, nếu $A$ khả nghịch thì $D=CA^{-1}B$

 

Câu 3: Cho $A\in Mat(n\times n,\mathbb{R})$ có hạng $r$, $r\geq 1$. Chứng minh rằng $A^2=A$ khi và chỉ khi tồn tại các ma trận $B\in Mat(n\times r,\mathbb{R})$ và $B\in Mat(r\times n,\mathbb{R})$ đều có hạng bằng $r$ thoả mãn $A=BC$ và $CB=I_r$. Hơn nữa, chứng minh rằng nếu $A^2=A$ thì $$\left | 2I_n-A \right |=2^{n-r} \text{ và } \left | A+I_n \right |=2^r$$

 

Câu 4: Một ma trận hoán vị cấp $k$ là ma trận vuông cấp $k$ mà mỗi dòng, mỗi cột có đúng một phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Cho A là một ma trận vuông cấp $k$ $(k\geq 1)$ khả nghịch mà các phần tử của nó là các số nguyên không âm.

 

(a) Chứng minh rằng tồn tại ma trận hoán vị $P$ cấp $k$ và ma trận vuông $B$ cấp $k$ với các phần tử là các số nguyên không âm sao cho $A=P+B$.

(b) Chứng minh rằng nếu tổng tất cả các phần tử của ma trận $A^n$ là bị chặn trên bởi một hằng số với mọi $n$ thì $A$ phải là ma trận đơn vị.

 

Câu 5: Cho $n$ là số nguyên dương và gọi $$f(x)=x^n+(k+1)x^{n-1}+(2k+1)x^{n-2}+\cdots+((n-1)k+1)x+nk+1$$

 

(a) Chứng minh rằng $f(1-k)=n+1$

(b) Chứng minh rằng nếu $n\geq 3$ và $k=2$ thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.

 

Môn: Giải tích

 

Câu 1: Giả sử $a$ là số thực dương. Định nghĩa dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ bởi qui nạp: $$x_0=0,\text{ } x_{n+1}=a+x_n^2 \text{ với mọi } n\geq0$$

Tìm một điều kiện cần và đủ của $a$ để dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ hội tụ.

 

Câu 2: Cố định một số nguyên $n\geq 1$.

 

(a) Chứng minh phương trình $$x^n+x^{n-1}+\cdots +x-1$$ có duy nhất một nghiệm dương $a_n$

(b) Chứng minh rằng $$a_n^{n+1}-2a_n+1=0$$ và từ đó tìm $\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }a_n$.

 

Câu 3: Cho $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi liên tục cấp 3. Giả sử rằng cả $f,\text{ }f^{'''}$ đều bị chặn và đặt $$M_0=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f(x) \right |, M_3=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'''}(x) \right |$$

 

(a) Chứng minh rằng $f^{'}(x)$ bị chặn và $$\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'}(x) \right |\leq \frac{1}{2}(9M_0^2M_3)^{\frac{1}{3}}$$

(b) Đạo hàm cấp hai $f^{''}$ có bị chặn không?

 

Câu 4: Giả sử $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả tích trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ sao cho $$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$$

Chứng minh rằng $$\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 4$$

 

Câu 5: Chứng minh rằng không tồn tại hàm số liên tục $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x)+f(x^2)=x \text{ với mọi }x\in \left [ 0,1 \right ]$$

 

Đề năm nay sao các trường cho toàn câu cũ thế này nhỉ?


Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#4 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 16-03-2014 - 23:31

Đề năm nay sao các trường cho toàn câu cũ thế này nhỉ?

đề đại số hay đó chứ a :)


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh