Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 10 THPT Chuyên ĐHSP HN


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-02-2014 - 17:31

Ngày 1

Bài 1. Giải hệ phương trình sau :

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}=\sqrt{y+8}\\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}=\sqrt{x+8} \end{matrix}\right.$$

 

Bài 2. Kí hiệu $\mathbb{R}_{+}$ là tập tất cả các số thực dương. Tìm tất cả hàm $f \, : \, \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$ thỏa mãn :

$$f(xf(y))=\frac{f(x)+f(y)}{x^3+y^3}.y^{12}\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}_{+}$$

 

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$. $\widehat{BAC}>45^{o}$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Dựng ra ngoài tam giác $ABC$ các hình vuông $ABKL$, $ACMN$. Các đường thẳng $AN,AL$ theo thứ tự cắt $CM,BK$ tại $E,F$. Gọi $P$ là giao điểm thuộc tam giác $ABC$ của các đường tròn $(LME)$, $(NFK)$. Chứng minh rằng :

 1. $E,F,O,P$ thẳng hàng.

 2. $B,C,O,P$ thuộc cùng 1 đường tròn.

 

Bài 4. Cho $n$ là 1 số nguyên dương $\geq 7$. Tìm số các số nguyên $k$ thỏa mãn :

 1. $k\in \{0;1;2;.....;2^{n}-1\}$

 2. $2013^{47^{k}}\equiv 29 \pmod{2^{n}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 19-03-2014 - 16:25

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 24-02-2014 - 18:26

Bài 4. Cho $n$ là 1 số nguyên dương $\geq 7$. Tìm số các số nguyên $k$ thỏa mãn :

 1. $k\in \{0;1;2;.....;2^{n}-1\}$

 2. $2013^{47^{k}}\equiv 29 \pmod{2^{n}}$

Bài này na ná bài này. :D

Lời giải. Ta có bổ đề sau:

Bổ đề. $2013^{47^x} \equiv 2013^{47^y} \pmod{2^n} \Leftrightarrow 2^{n-6}|x-y$.

Chứng minh. Ta có $2013^{47^x} \equiv 2013^{47^y} \pmod{2^n} \Leftrightarrow 2013^{47^y(47^{x-y}-1)} \equiv 1 \pmod{2^n}$. Áp dụng bổ đề LTE cho trường hợp $2|x-y$ thì $$\begin{aligned} v_2 \left( 2013^{47^x-47^y}-1 \right) & =v_2(2013^2-1)+v_2(47^{x-y}-1)-1 \\ & = 2+v_2(47^2-1)+v_2(x-y)-1 \\ & = 6+v_2(x-y). \end{aligned}$$

Do đó $2013^{47^x-47^y} \equiv 1 \pmod{2^n} \Leftrightarrow 6+v_2(x-y) \ge n \Leftrightarrow v_2(x-y) \ge n-6$.

Vậy $2013^{47^x} \equiv 2013^{47^y} \pmod{2^n} \Leftrightarrow 2^{n-6}|x-y$. $\blacksquare$

Từ bổ đề ta suy ra tập $S= \{ 2013^{47^k}, k= \overline{0,2^n-1} \}$ với $|S|=2^n$ có thể phân hoạch thành $2^6$ tập mà mỗi tập có $2^{n-6}$ phần tử, sao cho hai phần tử trong tập không đồng dư với nhau theo mođun $2^{n}$.

Ta dễ dàng chứng minh được $$2013^{47^x} \equiv 29^{47^x} \equiv 29 \pmod{2^6}.$$

Do đó tập $\{ 2013^{47^k}, k= \overline{0,2^n-1} \}$ có thể phân hoạch thành $2^6$ tập mà mỗi tập có $2^{n-6}$ phần tử sao cho mỗi phần tử đều có dạng $2^6 \cdot l+29$ mà hai phần tử bất kì trong tập không đồng dư với nhau theo mođun $2^n$. Do đó ở mỗi tập $2^{n-6}$ phần tử chỉ tồn tại duy nhất một số $k$ với $0 \le k<2^n$ thoả mãn $2013^{47^k} \equiv 29 \pmod{2^n}$.

Do đó số các số nguyên dương $k$ thoả mãn đề bài sẽ là $2^6$. $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 24-02-2014 - 22:10

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-02-2014 - 18:53

Bài này na ná bài này. :D

Lời giải. Ta có bổ đề sau:

Bổ đề. $2013^{47^x} \equiv 2013^{47^y} \pmod{2^n} \Leftrightarrow 2^{n-6}|x-y$.

Chứng minh. Ta có $2013^{47^x} \equiv 2013^{47^y} \pmod{2^n} \Leftrightarrow 2013^{47^y(47^{x-y}-1)} \equiv 1 \pmod{2^n}$. Áp dụng bổ đề LTE cho trường hợp $2|x-y$ thì $$\begin{aligned} v_2 \left( 2013^{47^x-47^y}-1 \right) & =v_2(2013^2-1)+v_2(47^{x-y}-1)-1 \\ & = 2+v_2(47^2-1)+v_2(x-y)-1 \\ & = 6+v_2(x-y). \end{aligned}$$

Do đó $2013^{47^x-47^y} \equiv 1 \pmod{2^n} \Leftrightarrow 6+v_2(x-y) \ge n \Leftrightarrow v_2(x-y) \ge n-6$.

Vậy $2013^{47^x} \equiv 2013^{47^y} \pmod{2^n} \Leftrightarrow 2^{n-6}|x-y$. $\blacksquare$

Từ bổ đề ta suy ra tập $S= \{ 2013^{47^k}, k= \overline{0,2^n-1} \}$ với $|S|=2^n$ có thể phân hoạch thành $2^6$ tập mà mỗi tập có $2^{n-6}$ phần tử, sao cho hai phần tử trong tập không đồng dư với nhau theo mođun $2^{n}$.

Ta dễ dàng chứng minh được $$2013^{47^x} \equiv 29^{47^x} \equiv 29 \pmod{2^6}.$$

Do đó tập $\{ 2013^{47^k}, k= \overline{0,2^n-1} \}$ có thể phân hoạch thành $2^6$ tập mà mỗi tập có $2^{n-6}$ phần tử sao cho mỗi phần tử đều có dạng $2^6 \cdot l+29$ mà hai phần tử bất kì trong tập không đồng dư với nhau theo mođun $2^n$. Do đó ở mỗi tập $2^{n-6}$ phần tử chỉ tồn tại duy nhất một số $k$ với $0 \le k<2^n$ thoả mãn $2013^{47^k} \equiv 29 \pmod{2^n}$.

Do đó số các số nguyên dương $k$ thoả mãn đề bài sẽ là $2^n \times 2^6=2^{n+6}$. $\blacksquare$

 

Bài này na ná bài này. :D

Lời giải. Ta có bổ đề sau:

Bổ đề. $2013^{47^x} \equiv 2013^{47^y} \pmod{2^n} \Leftrightarrow 2^{n-6}|x-y$.

Chứng minh. Ta có $2013^{47^x} \equiv 2013^{47^y} \pmod{2^n} \Leftrightarrow 2013^{47^y(47^{x-y}-1)} \equiv 1 \pmod{2^n}$. Áp dụng bổ đề LTE cho trường hợp $2|x-y$ thì $$\begin{aligned} v_2 \left( 2013^{47^x-47^y}-1 \right) & =v_2(2013^2-1)+v_2(47^{x-y}-1)-1 \\ & = 2+v_2(47^2-1)+v_2(x-y)-1 \\ & = 6+v_2(x-y). \end{aligned}$$

Do đó $2013^{47^x-47^y} \equiv 1 \pmod{2^n} \Leftrightarrow 6+v_2(x-y) \ge n \Leftrightarrow v_2(x-y) \ge n-6$.

Vậy $2013^{47^x} \equiv 2013^{47^y} \pmod{2^n} \Leftrightarrow 2^{n-6}|x-y$. $\blacksquare$

Từ bổ đề ta suy ra tập $S= \{ 2013^{47^k}, k= \overline{0,2^n-1} \}$ với $|S|=2^n$ có thể phân hoạch thành $2^6$ tập mà mỗi tập có $2^{n-6}$ phần tử, sao cho hai phần tử trong tập không đồng dư với nhau theo mođun $2^{n}$.

Ta dễ dàng chứng minh được $$2013^{47^x} \equiv 29^{47^x} \equiv 29 \pmod{2^6}.$$

Do đó tập $\{ 2013^{47^k}, k= \overline{0,2^n-1} \}$ có thể phân hoạch thành $2^6$ tập mà mỗi tập có $2^{n-6}$ phần tử sao cho mỗi phần tử đều có dạng $2^6 \cdot l+29$ mà hai phần tử bất kì trong tập không đồng dư với nhau theo mođun $2^n$. Do đó ở mỗi tập $2^{n-6}$ phần tử chỉ tồn tại duy nhất một số $k$ với $0 \le k<2^n$ thoả mãn $2013^{47^k} \equiv 29 \pmod{2^n}$.

Do đó số các số nguyên dương $k$ thoả mãn đề bài sẽ là $2^n \times 2^6=2^{n+6}$. $\blacksquare$

Đúng r` đó Toàn :)))) Nhưng mà dòng cuối kìa em, bài này không tìm "cặp" $(x;y)$ đâu mà em nhân với $2^{n}$ làm gì, đáp số chỉ là $2^{6}$ thôi


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái
  • Sở thích:Chơi game!!

Đã gửi 24-02-2014 - 20:17

Bài 1. Giải hệ phương trình sau :

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}=\sqrt{y+8}\\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}=\sqrt{x+8} \end{matrix}\right.$$

 

 

Thôi, trình kém nên mình chém bài dễ vậy :D 

Giả sử $x>y$ ta suy ra $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8} > \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}$ hay $\sqrt{y+8} > \sqrt{x+8} \rightarrow  y>x $ vô lí 
Tương tự ta suy ra $x=y$ 
thay vào 1 trong 2 phương trình là được :D

 

 

Còn 1 cách  là dùng tính đơn điệu hàm số thì phải :D 


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#5 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-02-2014 - 00:25

Bài hàm :

Thế $x=y=1$ vào đề bài ta có $$f(f(1))=f(1)$$

Tiếp đến thế $x=1,y=f(1)$ vào đề bài :

$$f(1)=\frac{2.f(1)}{(f(1))^3+1}.(f(1))^{12}$$

$$\Leftrightarrow 2(f(1))^{12}=(f(1))^3+1$$

Nếu $f(1)>1$ thì $VT>VP$, $0<f(1)<1$ thì $VT<VP$ vậy $f(1)=1$.

Cuối cùng chỉ cần thay $y=1$ vào đề bài :D :

$$f(x)=\frac{f(x)+1}{x^3+1}$$

$$\Leftrightarrow f(x).x^3=1\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{x^3}$$

Thử lại + kết luận :"> ~


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#6 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 25-02-2014 - 02:10

Có thể xem lời giải bài hình tổng quát tại đây

 

http://analgeomatica...nh-hoc-hay.html



#7 anhminhkhon

anhminhkhon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội
  • Sở thích:games

Đã gửi 25-02-2014 - 07:34

Bài 1. Giải hệ phương trình sau :

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}=\sqrt{y+8}\\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}=\sqrt{x+8} \end{matrix}\right.$$

 

Bài 2. Kí hiệu $\mathbb{R}_{+}$ là tập tất cả các số thực dương. Tìm tất cả hàm $f \, : \, \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$ thỏa mãn :

$$f(xf(y))=\frac{f(x)+f(y)}{x^3+y^3}.y^{12}\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}_{+}$$

 

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$. $\widehat{BAC}>45^{o}$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Dựng ra ngoài tam giác $ABC$ các hình vuông $ABKL$, $ACMN$. Các đường thẳng $AN,AL$ theo thứ tự cắt $CM,BK$ tại $E,F$. Gọi $P$ là giao điểm thuộc tam giác $ABC$ của các đường tròn $(LME)$, $(NFK)$. Chứng minh rằng :

 1. $E,F,O,P$ thẳng hàng.

 2. $B,C,O,P$ thuộc cùng 1 đường tròn.

 

Bài 4. Cho $n$ là 1 số nguyên dương $\geq 7$. Tìm số các số nguyên $k$ thỏa mãn :

 1. $k\in \{0;1;2;.....;2^{n}-1\}$

 2. $2013^{47^{k}}\equiv 29 \pmod{2^{n}}$

Chỗ hệ phương trình là cộng 7 anh ơi

mà mình làm được mỗi bài hệ phương trình ý(mà hình như ai cũng làm được )

CHém luôn cho nó nóng

Xét $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}{}=\sqrt{y+8} & \\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+7}=\sqrt{x+8}{}& \end{matrix}\right.$

Trừ hai vế của phương trình cho nhau ta có $\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt[3]{x+7}-\sqrt[3]{y+7}=\sqrt{y+8}-\sqrt{x+8}\Rightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{x-y}{(\sqrt[3]{x+7})^{2}+\sqrt[3]{x+7}.\sqrt[3]{y+7}+(\sqrt[3]{y+7})^{2}}+\frac{x-y}{\sqrt{x+8}+\sqrt{y+8}}=0$

Vì dưới mẫu lớn hơn không suy ra x=y

Khi đó thế vào một trong hai phương trình đầu ta có $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}=\sqrt{x+8}\Leftrightarrow \sqrt{x+8}-\sqrt{x}= \sqrt[3]{x+7}\Leftrightarrow \frac{8}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x}}=\sqrt[3]{x+7}$

Nếu x>1 suy ra vế trái nhỏ hơn 2 vế phải lớn hơn hai suy ra loại

Nếu 0<x<1 suy ra vế phải lớn hơn 2 vế trái nhỏ hơn 2 suy ra loại

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x=y=1



#8 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-02-2014 - 22:28

Ngày 2

Bài 1.
Cho 4 số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng :
1. $a^2-a+1\leq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)$
2. $\frac{a}{a^2-a+1}+\frac{b}{b^2-b+1}+\frac{c}{c^2-c+1}+\frac{d}{d^2-d+1}\leq \frac{8}{3}$
Bài 2.
Giả sử rằng $f$ là 1 đa thức hệ số nguyên thỏa mãn tính chất $0\leq f(n)\leq 11\forall n=\overline{0;12}$. Chứng minh rằng :
$$f(0)=f(1)=....=f(12)$$
Bài 3.
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $(O)$ và đường tròn nội tiếp $(I)$. $AI,BI,CI$ theo thứ tự cắt BC CA AB tại $A_1,B_1,C_1$ và cắt lại $(O)$ tại $A_2,B_2,C_2$. Các đường thẳng $\Delta_{a},\Delta_{b},\Delta_{c}$ theo thứ tự đi qua $A_2,B_2,C_2$ và vuông góc với $B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1$. Chứng minh rằng :
1. $S(ABC)\leq 2\sqrt{S(A_1B_1C_1).S(A_2B_2C_2)}$
2. $\Delta_{a},\Delta_{b},\Delta_{c}$ đồng quy tại 1 điểm thuộc $OI$.
Bài 4.
Trong một hội nghị có $n$ người tham dự mà ta kí hiệu là $A_1,A_2,...,A_{n}$ ($n\geq 4$, $n\in\mathbb{Z}$). Biết rằng 2 người bất kì không quen nhau có đúng 2 người quen chung trong hội nghị. Giả sử rằng $A_1,A_2$ quen nhau và không có người quen chung trong hội nghị. Chứng minh rằng số người quen $A_1=A_2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 19-03-2014 - 16:26

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#9 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 25-02-2014 - 22:55

Bài 1.

Cho 4 số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng :

 1. $a^2-a+1\leq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)$

 2. $\frac{a}{a^2-a+1}+\frac{b}{b^2-b+1}+\frac{c}{c^2-c+1}+\frac{d}{d^2-d+1}\leq \frac{8}{3}$

 

1.
Ta có :
$\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\geq \frac{3}{4}(a^{2}+\frac{(b+c+d)^{2}}{3})=\frac{3}{4}(a^{2}+\frac{(2-a)^{2}}{3})=a^{2}-a+1$
$\Rightarrow Q.E.D$
2.
Áp dụng ý 1 :

$\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}-a+1}\leq \frac{a+b+c+d}{\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}\leq \frac{2}{\frac{3}{4}.\frac{1}{4}(a+b+c+d)^{2}}=\frac{8}{3}$
Dấu $"="$ xảy ra : $\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#10 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 26-02-2014 - 01:48

Có thể xem lời giải bài tổng quát cho câu hình ý b) ở đây

 

http://analgeomatica...quan-trong.html



#11 Mr Stoke

Mr Stoke

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 582 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-02-2014 - 06:14

Thày giáo làm nhanh quá các trò theo không kịp này :D. Đây là file đề thi, ms bỏ phần đáp án, các bạn tự giải sẽ thú vị hơn.


Mr Stoke 


#12 anhminhkhon

anhminhkhon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội
  • Sở thích:games

Đã gửi 26-02-2014 - 07:18

bài đa thức chém tí nào 

ta xét vì đa thức f(x) có hệ số nguyên suy ra $f(a)-f(b)\vdots a-b$ 

Chọn a=12; b=0 ta có $f(12)-f(0)\vdots 12$

Mà f(x) chỉ thuộc 0;1;...;11 suy ra f(12)=f(0)

Chọn a=5; b=12 ta có f(5)-f(12) chia hết cho 6 và f(5)-f(0) chia hết cho 5 suy ra f(5) trừ f(12) chia hết cho 30 lập luận tương tự như trên ta có f(5)=f(12)=f(0)

Chọn tương tự như trên với các số còn lại ta có điều phải cm

Spam tí: có mỗi bài này mình làm được mà chả biết có đúng hay không


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhkhon: 26-02-2014 - 08:00


#13 PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh, K48A1T

Đã gửi 26-02-2014 - 18:00

1.
Ta có :
$\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\geq \frac{3}{4}(a^{2}+\frac{(b+c+d)^{2}}{3})=\frac{3}{4}(a^{2}+\frac{(2-a)^{2}}{3})=a^{2}-a+1$
$\Rightarrow Q.E.D$
2.
Áp dụng ý 1 :

$\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}-a+1}\leq \frac{a+b+c+d}{\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}\leq \frac{2}{\frac{3}{4}.\frac{1}{4}(a+b+c+d)^{2}}=\frac{8}{3}$
Dấu $"="$ xảy ra : $\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}$

Nếu a > o thì từ 1 suy ra $\frac{a}{a^{2} - a + 1} \geq \frac{a}{\frac{3}{4}. (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}$

Nhưng đề bài chỉ cho a, b, c, d là các số thực.


Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#14 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 26-02-2014 - 18:08

Nếu a > o thì từ 1 suy ra $\frac{a}{a^{2} - a + 1} \geq \frac{a}{\frac{3}{4}. (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}$

Nhưng đề bài chỉ cho a, b, c, d là các số thực.

Ừ chắc mình sai rồi !! :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 26-02-2014 - 18:28

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#15 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 26-02-2014 - 23:36

Thày giáo làm nhanh quá các trò theo không kịp này :D. Đây là file đề thi, ms bỏ phần đáp án, các bạn tự giải sẽ thú vị hơn.

 

Đề của sư phạm luôn gợi cảm hứng cho em giải và học tập mà anh :)!



#16 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 27-02-2014 - 16:48

Bài 4.
Trong một hội nghị có $n$ người tham dự mà ta kí hiệu là $A_1,A_2,...,A_{n}$ ($n\geq 4$, $n\in\mathbb{Z}$). Biết rằng 2 người bất kì không quen nhau có đúng 2 người quen chung trong hội nghị. Giả sử rằng $A_1,A_2$ quen nhau và không có người quen chung trong hội nghị. Chứng minh rằng số người quen $A_1=A_2$

Ý tưởng chung là xây dựng song ánh

Giải như sau:

Kí hiệu $Q(A_1),Q(A_2)$ là tập người quen của $A_1,A_2$ tương ứng

Xét một người $x \in S(A_1)$ rõ ràng $x$ không quen $A_2$ (do giả thiết bài toán là $Q(A_1)\cap Q(A_2)=\phi$) do đó theo đk đề bài thì $x$ và $A_2$ cùng quen đúng 2 người khác, một trong hai người đó chính là $A_1$ và người còn lại là $y$, mà $A_2$ quen $y$ nên $y \in Q(A_2)$

Như vậy mỗi người $x$ thuộc $S(A_1)$ thì tồn tại duy nhất một người $y \in Q(A_2)$ quen $x$ và lập luận tương tự với $y$ thì có duy nhất $x$ thuộc $Q(A_1)$ mà quen $y$ do đó có một song ánh từ $f: Q(A_1)\rightarrow Q(A_2)$ nên lực lượng hai tập phải bằng nhau, đpcm

P/S

 

Bài 1.
Cho 4 số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng :
1. $a^2-a+1\leq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)$
2. $\frac{a}{a^2-a+1}+\frac{b}{b^2-b+1}+\frac{c}{c^2-c+1}+\frac{d}{d^2-d+1}\leq \frac{8}{3}$

 

Còn bài BDT mình làm thế này

áp dụng cô si ngược dấu ta cần cm

$\sum{1-\dfrac{a}{a^2-a+1}}\geq 4-8/3=4/3$

$\Leftrightarrow \sum{\dfrac{a^2-2a+1}{a^2-a+1}}\geq 4/3$

Nhận thấy $a^2-2a+1=(a-1)^2\geq 0$ và tương tự với $b,c,d$

Do đó $\sum{\dfrac{a^2-2a+1}{a^2-a+1}}\geq \dfrac{a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1+d^2-2d+1}{\frac{3}{4}.(a^2+b^2+c^2+d^2)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2-2(a+b+c+d)+4}{\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)}=4/3$

nên có đpcm

dấu đẳng thức khi dấu đẳng thức ở câu $a$ và đk xảy ra hay $a=b=c=d=1/2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-02-2014 - 16:52


#17 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1003 Bài viết

Đã gửi 17-02-2020 - 14:46

HAY






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh