Chủ đề này có 3 trả lời

[mathandyou]

Cho $a,b,c>0$ và thỏa:$ab+bc+ca=3$.Chứng minh rằng:

$$a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^2+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^2+ab}} \leq \frac{3}{abc}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 24-02-2014 - 19:03

[25 minutes]

Cho $a,b,c>0$ và thỏa:$ab+bc+ca=3$.Chứng minh rằng:

$$a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^2+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^2+ab}} \leq \frac{3}{abc}$$

Đặt vế trái bất đẳng thức là $P$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

         $P^2\leqslant (a+b+c)(\frac{ab+ac}{a^2+bc}+\frac{ba+bc}{b^2+ac}+\frac{ca+cb}{c^2+ab})$

Bây giờ ta sẽ chứng minh $\frac{ab+ac}{a^2+bc}+\frac{ba+bc}{b^2+ac}+\frac{ca+cb}{c^2+ab}\leqslant 3$

       $\Leftrightarrow \frac{(a-b)(a-c)}{a^2+bc}+\frac{(b-a)(b-c)}{b^2+ac}+\frac{(c-a)(c-b)}{c^2+ab}\geqslant 0$

Luôn đúng theo Schur suy rộng

Vậy $P^2\leqslant 3(a+b+c)$

Ta chỉ cần chứng minh $3(a+b+c)\leqslant \frac{9}{(abc)^2}\Leftrightarrow abc(a+b+c).abc\leqslant 3$

Áp dụng AM-GM ta có $\left\{\begin{matrix} (ab+bc+ca)^2 \geqslant 3abc(a+b+c)\\ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2} \end{matrix}\right.$

                      $\Rightarrow abc(a+b+c).abc \leqslant 3$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[mathandyou]

Đặt vế trái bất đẳng thức là $P$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

         $P^2\leqslant (a+b+c)(\frac{ab+ac}{a^2+bc}+\frac{ba+bc}{b^2+ac}+\frac{ca+cb}{c^2+ab})$

Bây giờ ta sẽ chứng minh $\frac{ab+ac}{a^2+bc}+\frac{ba+bc}{b^2+ac}+\frac{ca+cb}{c^2+ab}\leqslant 3$

       $\Leftrightarrow \frac{(a-b)(a-c)}{a^2+bc}+\frac{(b-a)(b-c)}{b^2+ac}+\frac{(c-a)(c-b)}{c^2+ab}\geqslant 0$

Luôn đúng theo Schur suy rộng

Vậy $P^2\leqslant 3(a+b+c)$

Ta chỉ cần chứng minh $3(a+b+c)\leqslant \frac{9}{(abc)^2}\Leftrightarrow abc(a+b+c).abc\leqslant 3$

Áp dụng AM-GM ta có $\left\{\begin{matrix} (ab+bc+ca)^2 \geqslant 3abc(a+b+c)\\ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2} \end{matrix}\right.$

                      $\Rightarrow abc(a+b+c).abc \leqslant 3$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Chỗ màu đỏ là $a^2+b^2+c^2$ phải không ạ?

[25 minutes]

Chỗ màu đỏ là $a^2+b^2+c^2$ phải không ạ?

Đâu phải, $\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}=\sum \sqrt{a}.\sqrt{\frac{ab+ac}{a^2+bc}}\leqslant$