Cho $a,b,c>0$ và thỏa:$ab+bc+ca=3$.Chứng minh rằng:
$$a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^2+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^2+ab}} \leq \frac{3}{abc}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 24-02-2014 - 19:03
Cho $a,b,c>0$ và thỏa:$ab+bc+ca=3$.Chứng minh rằng:
$$a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^2+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^2+ab}} \leq \frac{3}{abc}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 24-02-2014 - 19:03
ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..
Cho $a,b,c>0$ và thỏa:$ab+bc+ca=3$.Chứng minh rằng:
$$a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^2+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^2+ab}} \leq \frac{3}{abc}$$
Đặt vế trái bất đẳng thức là $P$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$P^2\leqslant (a+b+c)(\frac{ab+ac}{a^2+bc}+\frac{ba+bc}{b^2+ac}+\frac{ca+cb}{c^2+ab})$
Bây giờ ta sẽ chứng minh $\frac{ab+ac}{a^2+bc}+\frac{ba+bc}{b^2+ac}+\frac{ca+cb}{c^2+ab}\leqslant 3$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)(a-c)}{a^2+bc}+\frac{(b-a)(b-c)}{b^2+ac}+\frac{(c-a)(c-b)}{c^2+ab}\geqslant 0$
Luôn đúng theo Schur suy rộng
Vậy $P^2\leqslant 3(a+b+c)$
Ta chỉ cần chứng minh $3(a+b+c)\leqslant \frac{9}{(abc)^2}\Leftrightarrow abc(a+b+c).abc\leqslant 3$
Áp dụng AM-GM ta có $\left\{\begin{matrix} (ab+bc+ca)^2 \geqslant 3abc(a+b+c)\\ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow abc(a+b+c).abc \leqslant 3$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Đặt vế trái bất đẳng thức là $P$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$P^2\leqslant (a+b+c)(\frac{ab+ac}{a^2+bc}+\frac{ba+bc}{b^2+ac}+\frac{ca+cb}{c^2+ab})$
Bây giờ ta sẽ chứng minh $\frac{ab+ac}{a^2+bc}+\frac{ba+bc}{b^2+ac}+\frac{ca+cb}{c^2+ab}\leqslant 3$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)(a-c)}{a^2+bc}+\frac{(b-a)(b-c)}{b^2+ac}+\frac{(c-a)(c-b)}{c^2+ab}\geqslant 0$
Luôn đúng theo Schur suy rộng
Vậy $P^2\leqslant 3(a+b+c)$
Ta chỉ cần chứng minh $3(a+b+c)\leqslant \frac{9}{(abc)^2}\Leftrightarrow abc(a+b+c).abc\leqslant 3$
Áp dụng AM-GM ta có $\left\{\begin{matrix} (ab+bc+ca)^2 \geqslant 3abc(a+b+c)\\ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow abc(a+b+c).abc \leqslant 3$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Chỗ màu đỏ là $a^2+b^2+c^2$ phải không ạ?
ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..
Chỗ màu đỏ là $a^2+b^2+c^2$ phải không ạ?
Đâu phải, $\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}=\sum \sqrt{a}.\sqrt{\frac{ab+ac}{a^2+bc}}\leqslant$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh