Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng $\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binvippro: 24-02-2014 - 21:44


#2
Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng $\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

 

từ $ab+bc+ca=3\Rightarrow abc\leq 1$

áp dụng ta có: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq\sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)}=\frac{1}{ab+bc+ca}.\left ( \sum \frac{1}{a} \right )=\frac{1}{abc}. "="\Leftrightarrow a=b=c=1$



#3
Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

từ $ab+bc+ca=3\Rightarrow abc\leq 1$

áp dụng ta có: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq\sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)}=\frac{1}{ab+bc+ca}.\left ( \sum \frac{1}{a} \right )=\frac{1}{abc}. "="\Leftrightarrow a=b=c=1$

Ngược dấu kìa bạn



#4
Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết

Ngược dấu kìa bạn

 

vì $abc\leq 1$ nên ta suy ra được $\frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc+a^2(b+c)}$



#5
binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết

từ $ab+bc+ca=3\Rightarrow abc\leq 1$

 

chỗ này bạn nói rõ chút được không ?



#6
Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết

chỗ này bạn nói rõ chút được không ?

 

 

chỗ này ta áp dụng BDDT AM-GM (cô-si) cho 3 số ta có:

$ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Leftrightarrow 3\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Rightarrow abc\leq 1$



#7
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

từ $ab+bc+ca=3\Rightarrow abc\leq 1$

áp dụng ta có: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq\sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)}=$$\frac{1}{ab+bc+ca}.\left ( \sum \frac{1}{a} \right )=\frac{1}{abc}$. $"="\Leftrightarrow a=b=c=1$

tại sao ra được chỗ màu xanh ạ!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 06-12-2015 - 15:59





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh