Chủ đề này có 29 trả lời

[lahantaithe99]

                 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH VĨNH PHÚC NĂM $2013-2014$

Câu 1: Giải hệ phương trình

a)$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+3=4x & \\ x^3+12x+y^3=6x^2+9 & \end{matrix}\right.$ b) $\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y & \\ y^4+3=4x & \end{matrix}\right.$

Câu 2: Giải phương trình 

$\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2$

Câu 3: Tìm tát cả các số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn phương trình

$(x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1-xy)=4xy+9$

Câu 4:

a) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=1$

Tìm Min $F=\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

b) Cho $a,b,c>0$

CMR $\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Câu 5: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Lấy điểm $M$ bất kì trên $AD$ ( $M$ không trùng với $A$). Gọi $N,P$ theo thứ tự là hình chiếu của $M$ trên $AB,AC$, $H$ là hình chiếu của $N$ trên đường thẳng $PD$

a) CMR $AH\perp BH$

b) Đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ cắt đường trung trực của $AB$ tại $I$. CMR $H,I,N$ thẳng hàng

Câu 6: Có điền được hay không $100$ số  gồm $10$ số $-2$, $10$ số $-1$, $30$ số $0$, $40$ số $1$ và $10$ số $2$ vào bảng $10*10$ (mỗi ô điền một số và gọi số ở hàng $i$ tính từ dưới lên trên và cột $j$ tính từ trái sang phải là $a_{ij}$) sao cho thỏa mãn $2$ điều kiện

a) Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột đều bằng $m$

b) Tổng các số $a_{ij}$ trong bảng thỏa  mãn $(i-j)$ chia hết cho $2$ bằng $5m$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-02-2014 - 00:20

[Yagami Raito]

                 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH VĨNH PHÚC NĂM $2013-2014$

Câu 1: Giải hệ phương trình

a)$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+3=4x & \\ x^3+12x+y^3=6x^2+9 & \end{matrix}\right.$ b) $\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y & \\ y^4+3=4x & \end{matrix}\right.$

Câu 2: Giải phương trình 

$\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2$

 

 

 

a) Hệ pt có thể viết lại như sau: $\left\{\begin{matrix} (x-2)^2=1-y^2 & & \\ (x-2)^3=1-y^3 & & \end{matrix}\right.$

Tới đây dễ rồi 

 

b) $\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y & \\ y^4+3=4x & \end{matrix}\right.$

Dễ nhận thấy $x,y\geq 0$

Vai trò $x,y$ bình đẳng giả sử $x\geq y\Rightarrow y^4+3 \geq x^4+3 \Rightarrow y^4 \geq x^4 \Rightarrow y \geq x$ 

 

Dấu bằng xảy ra khi $x=y$ bạn thay vào giải tiếp nhe ~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 25-02-2014 - 18:34

[HoangHungChelski]

xin chém câu bđt
Áp dụng BĐT AM-GM:
Ta có: $\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=\frac{(x^2+y^2)x^2-x^2y^2}{(x^2+y^2)(x+y)}=\frac{x^2}{x+y}-\frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \frac{x^2}{x+y}-\frac{\sqrt{xy}^4}{2xy.2\sqrt{xy}}=\frac{x^2}{x+y}-\frac{\sqrt{xy}}{4}$
Tương tự, rồi cộng từng vế các bđt lại:
Ta có: $F\geq \sum \frac{x^2}{x+y}-\frac{1}{4}(\sum \sqrt{xy})$
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$F\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}-\frac{1}{4}(x+y+z)=\frac{1}{4}$
Dấu bằng: $x=y=z=\frac{1}{3}$

[Vu Thuy Linh]

Câu 1b

gt =>$x^{4}-y^{4}+4(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)\left [ \left ( x+y \right ) (x^{2}+y^{2})+4\right ]=0$

$\Leftrightarrow (x-y).A=0$. Mà VT 2 pt của hệ luôn dương => x, y > 0 => A > 0 ( VN )

Với x = y thay vào => x, y là nghiệm của pt

$t^{4}-4t+3=0\Leftrightarrow (t^{2}+2)^{2}-(2t+1)^{2}=0$

$\Leftrightarrow t^{2}-2t+1=0\Leftrightarrow t=1$

                 hoặc $\Leftrightarrow t^{2}+2t+3=0(VN)$

Vậy x = y = 1

[thuan192]

                 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH VĨNH PHÚC NĂM $2013-2014$

 

Câu 2: Giải phương trình 

$\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2$

 

 

Đặt $t=\sqrt{x^{2}-4x}$ đưa phương trình về dạng sau:

 

$\sqrt{t+3}=-t$

Đây là pt quên thuộc bình phương rồi giải ta sẽ thu được nghiệm

[lahantaithe99]

Bạn nào chém câu 6 đi, các câu kia mình làm đc rồi  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 25-02-2014 - 18:41

[Vu Thuy Linh]

 

Câu 3: Tìm tát cả các số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn phương trình

$(x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1-xy)=4xy+9$

 

$x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1-4xy-2(x-y)(1-xy)=9$

$\Leftrightarrow (x^{2}-2xy+y^{2})+(x^{2}y^{2}-2xy+1)-2(x-y)(1-xy)=9$

$\Leftrightarrow (x-y+1-xy)^{2}=9\Leftrightarrow (x+1)(1-y)=\pm 3$

............

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 25-02-2014 - 18:47

[lahantaithe99]

$x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1-4xy-2(x-y)(1-xy)=9$

$\Leftrightarrow (x^{2}-2xy+y^{2})+(x^{2}y^{2}-2xy+1)-2(x-y)(1-xy)=9$

$\Leftrightarrow (x-y-1+xy)^{2}=9\Leftrightarrow (x-1)(1-y)=\pm 3$

............

Chỗ $x-1$ phải là $x+1$

[Vu Thuy Linh]

  

 

Câu 5: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Lấy điểm $M$ bất kì trên $AD$ ( $M$ không trùng với $A$). Gọi $N,P$ theo thứ tự là hình chiếu của $M$ trên $AB,AC$, $H$ là hình chiếu của $N$ trên đường thẳng $PI$

a) CMR $AH\perp BH$

b) Đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ cắt đường trung trực của $AB$ tại $I$. CMR $H,I,N$ thẳng hàng

bài hình I là điểm nào thế bạn?

[canhhoang30011999]

                 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH VĨNH PHÚC NĂM $2013-2014$

Câu 1: Giải hệ phương trình

a)$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+3=4x & \\ x^3+12x+y^3=6x^2+9 & \end{matrix}\right.$ b) $\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y & \\ y^4+3=4x & \end{matrix}\right.$

Câu 2: Giải phương trình 

$\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2$

Câu 3: Tìm tát cả các số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn phương trình

$(x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1-xy)=4xy+9$

Câu 4:

a) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=1$

Tìm Min $F=\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

b) Cho $a,b,c>0$

CMR $\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Câu 5: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Lấy điểm $M$ bất kì trên $AD$ ( $M$ không trùng với $A$). Gọi $N,P$ theo thứ tự là hình chiếu của $M$ trên $AB,AC$, $H$ là hình chiếu của $N$ trên đường thẳng $PI$

a) CMR $AH\perp BH$

b) Đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ cắt đường trung trực của $AB$ tại $I$. CMR $H,I,N$ thẳng hàng

Câu 6: Có điền được hay không $100$ số  gồm $10$ số $-2$, $10$ số $-1$, $30$ số $0$, $40$ số $1$ và $10$ số $2$ vào bảng $10*10$ (mỗi ô điền một số và gọi số ở hàng $i$ tính từ dưới lên trên và cột $j$ tính từ trái sang phải là $a_{ij}$) sao cho thỏa mãn $2$ điều kiện

a) Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột đều bằng $m$

b) Tổng các số $a_{ij}$ trong bảng thỏa  mãn $(i-j)$ chia hết cho $2$ bằng $5m$

4b $\frac{a^{2}}{b^{2}c}+\frac{b^{2}}{c^{2}a}+\frac{1}{a}\geq \frac{3}{c}$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

[Vu Thuy Linh]

Chỗ $x-1$ phải là $x+1$

sr mik nham

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 25-02-2014 - 18:47

[lahantaithe99]

bài hình I là điểm nào thế bạn?

Sorry mình nhầm

Đã fix 

[canhhoang30011999]

                 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH VĨNH PHÚC NĂM $2013-2014$

 

Câu 5: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Lấy điểm $M$ bất kì trên $AD$ ( $M$ không trùng với $A$). Gọi $N,P$ theo thứ tự là hình chiếu của $M$ trên $AB,AC$, $H$ là hình chiếu của $N$ trên đường thẳng $PD$

a) CMR $AH\perp BH$

b) Đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ cắt đường trung trực của $AB$ tại $I$. CMR $H,I,N$ thẳng hàng

 

5a

$APHN$ nội tiếp nên $\widehat{NAH}= \widehat{NPH}$

$\widehat{NDC}= \widehat{NPH}$

$\Rightarrow \widehat{NAH}= \widehat{PDC}$

$\Rightarrow AHDB$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AHB}= \widehat{ADB}= 90$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 25-02-2014 - 19:23

[phuocdinh1999]

                 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH VĨNH PHÚC NĂM $2013-2014$

 

Câu 5: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Lấy điểm $M$ bất kì trên $AD$ ( $M$ không trùng với $A$). Gọi $N,P$ theo thứ tự là hình chiếu của $M$ trên $AB,AC$, $H$ là hình chiếu của $N$ trên đường thẳng $PD$

a) CMR $AH\perp BH$

b) Đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ cắt đường trung trực của $AB$ tại $I$. CMR $H,I,N$ thẳng hàng

 

 

b)CM: $AIBD$ là hình vuông

          $\bigtriangleup BNI=\bigtriangleup CPD(c.g.c) \Rightarrow \widehat{INB}=\widehat{DPC}=\widehat{ANH}$ ($ANHP$ nội tiếp)

          $\Rightarrow H,I,N$ thẳng hàng.

 

p/s: Đề này có phải chính thức ko bạn? Sao có đến 3 câu trong đề Hà Tĩnh 12-13 nhỉ???  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 25-02-2014 - 21:59

[lahantaithe99]

b)CM: $AIBD$ là hình vuông

          $\bigtriangleup BNI=\bigtriangleup CPD(c.g.c) \Rightarrow \widehat{INB}=\widehat{DPC}=\widehat{ANH}$ ($ANHP$ nội tiếp)

          $\Rightarrow H,I,N$ thẳng hàng.

 

p/s: Đề này có phải chính thức ko bạn? Sao có đến 3 câu trong đề Hà Tĩnh 12-13 nhỉ???  

Nếu là đề chính thức thì không chắc ngon ăn như thế này đâu bạn à? Còn có phải là đề hà tĩnh hay không thì mình không biết, chỉ biết đây là đề bọn mình thi khảo sát thôi 

[lahantaithe99]

Mượn hình của phuocdinh1999 phát 

phần b mình có cách này 

Từ phần a có $B,M,H$ thẳng hàng

$\Rightarrow \widehat{MHD}=\widehat{BHD}=\widehat{MNP}=45^0$ (do $NMHP$ nội tiếp) 

Xét tứ giác $BIHD$ có $\widehat{BID}=\widehat{BHD}=45^0\Rightarrow BIHD$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{IHD}=90^0\Rightarrow IH\perp HD$

Mà $NH\perp HD$ nên $H,I,N$ thẳng hàng

[Phuong Thu Quoc]

                 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH VĨNH PHÚC NĂM $2013-2014$

Câu 1: Giải hệ phương trình

a)$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+3=4x & \\ x^3+12x+y^3=6x^2+9 & \end{matrix}\right.$ b) $\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y & \\ y^4+3=4x & \end{matrix}\right.$

Câu 2: Giải phương trình 

$\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2$

Câu 3: Tìm tát cả các số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn phương trình

$(x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1-xy)=4xy+9$

Câu 4:

a) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=1$

Tìm Min $F=\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

b) Cho $a,b,c>0$

CMR $\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Câu 5: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Lấy điểm $M$ bất kì trên $AD$ ( $M$ không trùng với $A$). Gọi $N,P$ theo thứ tự là hình chiếu của $M$ trên $AB,AC$, $H$ là hình chiếu của $N$ trên đường thẳng $PD$

a) CMR $AH\perp BH$

b) Đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ cắt đường trung trực của $AB$ tại $I$. CMR $H,I,N$ thẳng hàng

Câu 6: Có điền được hay không $100$ số  gồm $10$ số $-2$, $10$ số $-1$, $30$ số $0$, $40$ số $1$ và $10$ số $2$ vào bảng $10*10$ (mỗi ô điền một số và gọi số ở hàng $i$ tính từ dưới lên trên và cột $j$ tính từ trái sang phải là $a_{ij}$) sao cho thỏa mãn $2$ điều kiện

a) Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột đều bằng $m$

b) Tổng các số $a_{ij}$ trong bảng thỏa  mãn $(i-j)$ chia hết cho $2$ bằng $5m$

Cách khác cho bất đẳng thức 4a

Nhận thấy $\sum \frac{x^{4}}{\left ( x^{2} +y^{2}\right )\left ( x+y \right )}-\sum \frac{y^{4}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )}=\sum \left ( x-y \right )=0$

Ta xét $2F=\sum \frac{x^{4}+y^{4}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )}$

Dễ chứng minh được $\frac{x^{4}+y^{4}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )}\geq \frac{\frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2\left ( x+y \right )}\geq \frac{\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2}}{2\left ( x+y \right )}=\frac{x+y}{4}$

Do đó $2F\geq \sum \frac{x+y}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow F\geq \frac{1}{4}$

Dấu = xảy ra khi các biến bằng nhau!..

[buiminhhieu]

                 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH VĨNH PHÚC NĂM $2013-2014$

Câu 6: Có điền được hay không $100$ số  gồm $10$ số $-2$, $10$ số $-1$, $30$ số $0$, $40$ số $1$ và $10$ số $2$ vào bảng $10*10$ (mỗi ô điền một số và gọi số ở hàng $i$ tính từ dưới lên trên và cột $j$ tính từ trái sang phải là $a_{ij}$) sao cho thỏa mãn $2$ điều kiện

a) Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột đều bằng $m$

b) Tổng các số $a_{ij}$ trong bảng thỏa  mãn $(i-j)$ chia hết cho $2$ bằng $5m$

Câu 6 ở đây:

http://diendantoanho...bảng-10times10/

[lahantaithe99]

Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc                         KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM $2013-2014$

      Đề chính thức                                                               Môn: Toán 

                                                                             Thời gian làm bài: 150 phút

 

Câu $1$: (3,0 đ)

$a)$ Cho biểu thức $M=\frac{2\sqrt{a}-16}{a-6\sqrt{a}+8}-\frac{\sqrt{a}+4}{\sqrt{a}-2}-\frac{2\sqrt{a}+1}{4-\sqrt{a}}$

 

Tìm tất cả các giá trị nguyên của $a$ để $M$ là một số nguyên.

 

$b)$ Cho đa thức $P(x)= ax^2+bx+c$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $P(x)\geqslant 0$ với mọi số thực $x$ và $b>a$

 

Tìm GTNN của $Q=\frac{a+b+c}{b-a}$

 

Câu $2$: (2,0 đ)

 

Tìm tất cả các giá trị của tham sô $m$ đề phương trình sau vô nghiệm

 

$\frac{x+1}{x-m+1}=\frac{x}{x+m+2}$

 

Câu $3$: (1,0 đ )

 

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $5$.

 

CMR $p^{1954^{57}}-1$ chia hết cho $60$ (lũy thừa tầng)

 

Câu $4$: (3,0 đ)

 

Cho đường tròn $(O;R)$. Hai điểm phân biệt $B,C$ cố định nằm trên $(O)$ sao cho $BC=a<2R$.

Gọi $A$ là điểm bất kỳ trên cung lớn $BC$ của $(O)$ , $A\not\equiv B,C$. Gọi $D$ là chân đường

phân giác kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$. $E,F$ lần lượt là tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác $ADB, ADC$

 

a) CMR $\triangle AEO\sim \triangle ADC$

 

b) Tính diện tích $AEOF$ theo $a$ và $R$

 

c)CMR khi điểm $A$ thay đổi thì $E$ di chuyển trên  một đường thẳng cố định.

 

Câu $5$ (1 đ)

Trên một đường tròn có $21$ điểm phân biệt. Mỗi một điểm được tô bởi một trong $4$ màu xanh, đỏ, tím, vàng. Giữa mỗi cặp điểm nối với nhau bằng một đoạn thẳng được tô bởi một trong $2$ màu nâu hoặc đen. CMR luôn tồn tại một tam giác có ba đỉnh được tô cùng một màu và ba cạnh cũng được tô cùng một màu.

                 

    ---------------------------------------Hết---------------------------------------

Đề năm nay khó       

Đề gì mà chẳng đúng form, trong khi mk cày mãi pt nghiệm nguyên, bđt, hệ phương trình 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 20-03-2014 - 12:36

[phuocdinh1999]

Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc                         KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM $2013-2014$

      Đề chính thức                                                               Môn: Toán 

                                                                             Thời gian làm bài: 150 phút

 

Câu $1$: (3,0 đ)

$b)$ Cho đa thức $P(x)= ax^2+bx+c$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $P(x)\geqslant 0$ với mọi số thực $x$ và $b>a$

 

Tìm GTNN của $Q=\frac{a+b+c}{b-a}$

 

 

$Q-3=\frac{4a-2b+c}{b-a}=\frac{P(-2)}{b-a}\geq 0\Rightarrow Q\geq 3$

Đẳng thức xảy ra khi $P(-2)=0$ hay $4a-2b+c=0$