Chủ đề này có 29 trả lời

[phuocdinh1999]

Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc                         KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM $2013-2014$

      Đề chính thức                                                               Môn: Toán 

                                                                             Thời gian làm bài: 150 phút

Câu $5$ (1 đ)

Trên một đường tròn có $21$ điểm phân biệt. Mỗi một điểm được tô bởi một trong $4$ màu xanh, đỏ, tím, vàng. Giữa mỗi cặp điểm nối với nhau bằng một đoạn thẳng được tô bởi một trong $2$ màu nâu hoặc đen. CMR luôn tồn tại một tam giác có ba đỉnh được tô cùng một màu và ba cạnh cũng được tô cùng một màu.

                 

    ---------------------------------------Hết---------------------------------------

Đề năm nay khó vãi đạn     

Đề gì mà chẳng đúng form, trong khi mk cày mãi pt nghiệm nguyên, bđt, hệ phương trình 

Câu này cũng không quá khó!

Vì $21=4.5+1$ nên theo Dirichlet có 6 điểm được tô cùng 1 màu

Giả sử $A,B,C,D,E,F$ được tô màu đỏ

Trong $5$ đoạn $AB,AC,AD,AE,AF$ tồn tại 3 đoạn cùng màu(vì $5=2.2+1$)

+Nếu $1$ trong $3$ đoạn $BC,BD,CD$ tô màu nâu (giả sử $BC$) thì $\Delta ABC$ thoả mãn

+Nếu $3$ đoạn $BC,BD,CD$ tô màu đen thì $\Delta BCD$ thoả mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 20-03-2014 - 11:56

[hoangmanhquan]

Câu 5 dễ nhất đề

Sơ lược lời giải:

 

Có 21 điểm được tô bởi 1 trong 4 màu nên tồn tại ít nhất 6 điểm cùng được tô bởi một màu.

Giả sử: A,B,C,D,E,F cùng được tô đỏ.

Xét 5 đoạn thẳng AB,AC,AD,AE,AF .

Đến đây bài toán trở về là bài toán quen thuộc: Cho 6 điểm được nối với nhau bằng các đoạn thẳng, mỗi đoạn được tô bởi 1 trong 2 màu: đen hoặc nâu. Cmr: Tồn tại 3 đoạn là 3 cạnh của 1 tam giác được tô cùng màu.

[trubatgioi]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trubatgioi: 20-03-2014 - 17:07

[trubatgioi]

Câu 3 cũng dễ: ta có 1954⁵⁷ = 4k  (k thuộc N) => (P mũ 1954^{57 )}  - 1 = p^4k - 1chia hết cho P⁴ - 1. với p nguyên tố lớn hơn 5.

tao có P⁴ -1 =(p² -1)(p²+1)=(p²-1)(p²-4+5) =  + 5(p²-1). (*)

Do p nguyên tố lớn hơn 5 nên p khong chia hết cho 5 ma  (p-2)(p-1)p(p+1)(p+2) chia hết cho 5

=> (p-2)(p-1)(p+1)(p+2) chia hết cho 5. Từ đó suy ra (*) chia hết cho 5. 

lại có:  (p-1)(p+1) tích 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 4.

           (p-1)p(p+1) tích 3 số tự nhiên liên tếp chia hết cho 3 

mà p nguyên tố không chia hết cho 3 => (p-1)(p+1) chia hết cho 3. 

do 3,4,5 nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên  (P mũ 1954^{57 )}  - 1 chia hết cho 3.4.5 hay 60.  ^^ 

Tớ mới tập post bai các mem thong cảm nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trubatgioi: 22-03-2014 - 07:43

[hoangmanhquan]

Câu 4:

Khó thế nhỉ.. Vẽ được mỗi cái hình thôi các cậu ạ

[lovemathforever99]

 

 

Câu $4$: (3,0 đ)

 

Cho đường tròn $(O;R)$. Hai điểm phân biệt $B,C$ cố định nằm trên $(O)$ sao cho $BC=a<2R$.

Gọi $A$ là điểm bất kỳ trên cung lớn $BC$ của $(O)$ , $A\not\equiv B,C$. Gọi $D$ là chân đường

phân giác kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$. $E,F$ lần lượt là tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác $ADB, ADC$

 

a) CMR $\triangle AEO\sim \triangle ADC$

 

b) Tính diện tích $AEOF$ theo $a$ và $R$

 

c)CMR khi điểm $A$ thay đổi thì $E$ di chuyển trên  một đường thẳng cố định.

 

a, Ta có : $\widehat{AOC}=\widehat{AED}$

 Mà AED, AOC là các tg cân nên $\Delta AOC\sim\Delta AED$

$\Rightarrow \widehat{EAD}=\widehat{OAC}\Rightarrow \widehat{EAO}=\widehat{DAC}$(1)

và $\frac{AE}{AO}=\frac{AD}{AC}$(2)

(1),(2) suy ra $\triangle AEO\sim \triangle ADC$

 

b,(hơi dài tí, ai có cách hay hơn cho mình tk)

Với $AB=c,AC=b,BC=a$

Từ câu a suy ra $\Delta AOF\sim\Delta ABD$

                          $\triangle AEO\sim \triangle ADC$

$\frac{S_{AOE}}{S_{ADC}}=(\frac{AO}{b})^{2},\frac{S_{AOF}}{S_{ADB}}=(\frac{AO}{c})^{2}$

 

$S_{AOE}=R^{2}.\frac{S_{ADC}}{b^{2}},S_{AOF}=R^{2}.\frac{S_{ADB}}{c^{2}}$(*)

 

kẻ $AH$ vuông góc $BC$. $S_{ABD}=\frac{1}{2}AH.BD,S_{ACD}=\frac{1}{2}AH.CD$

(*) $\Rightarrow S_{AOEF}=\frac{1}{2}R^{2}.AH(\frac{DC}{b^{2}}+\frac{BD}{c^{2}})=\frac{1}{2}R^{2}.AH.\frac{BD}{c}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Mà $AH=\frac{S_{ABC}}{a}=\frac{bc}{4R}, \frac{BD}{c}=\frac{DC}{c}=\frac{a}{b+c}$

nên $S_{AOEF}=\frac{1}{2}R^{2}.\frac{bc}{4R}.\frac{a}{b+c}.\frac{b+c}{bc}=\frac{aR}{8}$

[Mosses William Tran]

Câu 4a còn dùng được đánh giá đại diện 

\frac{x^{4}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}\geq \frac{1}4{}(x+y) bằng cách chứng minh tương đương bất đẳng thức 4(x^{4}+y^{4})\geq (x^{2}+y^{2})(x+y)^{2}

Làm tương tự rồi cộng lại theo vế

[Mosses William Tran]

Câu 4 a có thể dùng phương pháp đánh giá đại diện 

Chứng minh bđt $4(x^{4}+y^{4}) \geq (x^{2}+y^{2})(x+y)^{2}$ từ đó suy ra được $\frac{x^{4}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}\geq \frac{1}{4}(x+y)$. Làm tương tự với các biến khác.

Mặt khác $\sum \frac{x^{4}-y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)} =0$ Cộng lại suy ra điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mosses William Tran: 21-03-2015 - 14:46

[Zoro020]

Câu 4:

a) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=1$

Tìm Min $F=\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

 

Thử chém tí cho vui       

các bạn có ý kiến nhé

Ta có $F=\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2(x+y)}$=$\sum\frac{xy^{3}+x^{2}y^{2}+x^{3}y}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \sum x-\frac{xy(x^{2}+y^{2})}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \sum x-\frac{\frac{1}{4}(x+y)^{2}(x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}))}{x^2+y^2)(x+y)}= \sum x-\frac{3}{8}(x+y)=\sum \frac{5}{8}x-\frac{3}{8}y=\frac{1}{4}(x+y+z)=\frac{1}{4} \Rightarrow Min F=\frac{1}{4}$$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zoro020: 06-03-2016 - 17:01

[duchuylg]

a) Hệ pt có thể viết lại như sau: $\left\{\begin{matrix} (x-2)^2=1-y^2 & & \\ (x-2)^3=1-y^3 & & \end{matrix}\right.$

Tới đây dễ rồi 

 

b) $\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y & \\ y^4+3=4x & \end{matrix}\right.$

Dễ nhận thấy $x,y\geq 0$

Vai trò $x,y$ bình đẳng giả sử $x\geq y\Rightarrow y^4+3 \geq x^4+3 \Rightarrow y^4 \geq x^4 \Rightarrow y \geq x$ 

 

Dấu bằng xảy ra khi $x=y$ bạn thay vào giải tiếp nhe ~

1) a giải tiếp như thế nào vậy