Chủ đề này có 1 trả lời

[toanc2tb]

Cho tam giác đều ABC có tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên AB, BC, CA sao cho AM = BN = CP, I là trung điểm của MP, AI cắt BC tại K.

     a) Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều nhận O làm tâm.

     b) Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanc2tb: 25-02-2014 - 19:08

[Hoang Thi Thao Hien]

Cho tam giác đều ABC có tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên AB, BC, CA sao cho AM = BN = CP, I là trung điểm của MP, AI cắt BC tại K.

     a) Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều nhận O làm tâm.

     b) Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

a, Xét $\bigtriangleup MNB$ , $\bigtriangleup PMA$ và $\bigtriangleup NPC$ có:

$NB=MA=KC$, $MB=NC=AP$, $\widehat{MBN}=\widehat{MAP}=\widehat{PCN}=60^{\circ}$ nên $\bigtriangleup MNB=\bigtriangleup PMA=\bigtriangleup NPC$(g.c.g)

$\Rightarrow MN=NP=MP$ nên $\bigtriangleup MNP$ đều

Xét $\bigtriangleup NOB$ , $\bigtriangleup POC$ và $\bigtriangleup MOA$ có: $OB=OC=OA$, $NB=MA=CP$, $\widehat{OBN}=\widehat{OCP}=\widehat{OAM}=30^{\circ}$ nên $\bigtriangleup NOB=\bigtriangleup POC=\bigtriangleup MOA$(g.c.g)

nên $OM=ON=OP$ nên O là tâm $\bigtriangleup MNP$

b, Từ P kẻ đường thẳng song song vs AB cắt BC tại K' thì $\frac{CK'}{CB}=\frac{CP}{CA}=\frac{AM}{AB}$ nên $MK'\parallel AC$ nên tứ giác AMK'P là hình bình hành. Mà I là trung điểm MP nên I là trung điểm AK' nên A, I, K' thẳng hàng nên $K\equiv K'$. Vậy I là trung điểm AK(đpcm)