Chủ đề này có 6 trả lời

[Tran Nho Duc]

$M=\sum \frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{4yz+1}$

[Tran Nho Duc]

Cho các số thực $x,y,z$ dương thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$M=\frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{4xz+1}+\frac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{4xy+1}$

[NS 10a1]

Cho các số thực $x,y,z$ dương thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$M=\frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{4xz+1}+\frac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{4xy+1}$

[lahantaithe99]

Cho các số thực $x,y,z$ dương thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$M=\frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{4xz+1}+\frac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{4xy+1}$

Ta có 

 

Cho các số thực $x,y,z$ dương thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$M=\frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{4xz+1}+\frac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{4xy+1}$

$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy\geq (x+y)^2-\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{3(x+y)^2}{4}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}\geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2(4yz+1)}$

$\Rightarrow \sum\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(\sum \frac{x+y}{4yz+1})$

Áp dụng bđt Cô si

$\frac{x+y}{4yz+1}+\frac{4yz+1}{4}+\frac{(x+y)^2}{2}\geq \frac{3(x+y)}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{x+y}{4yz+1}+\sum\frac{4yz+1}{4}+\sum\frac{(x+y)^2}{2}\geq 3(x+y+z)=\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x+y}{4yz+1}+\frac{3}{4}+(x+y+z)^2\geq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x+y}{4yz+1}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}(\sum \frac{x+y}{4yz+1})\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Do đó min $M=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

[Tran Nho Duc]

 

Cho các số thực $x,y,z$ dương thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$M=\frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{4xz+1}+\frac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{4xy+1}$

 

????

[NS 10a1]

Ta có 

 

$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy\geq (x+y)^2-\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{3(x+y)^2}{4}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}\geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2(4yz+1)}$

$\Rightarrow \sum\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(\sum \frac{x+y}{4yz+1})$

Áp dụng bđt Cô si

$\frac{x+y}{4yz+1}+\frac{4yz+1}{4}+\frac{(x+y)^2}{2}\geq \frac{3(x+y)}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{x+y}{4yz+1}+\sum\frac{4yz+1}{4}+\sum\frac{(x+y)^2}{2}\geq 3(x+y+z)=\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x+y}{4yz+1}+\frac{3}{4}+(x+y+z)^2\geq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x+y}{4yz+1}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}(\sum \frac{x+y}{4yz+1})\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Do đó min $M=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

nhanh thật. chưa kịp đăng thì bạn đăng mất rồi

[Tran Nho Duc]

nhanh thật. chưa kịp đăng thì bạn đăng mất rồi