Chủ đề này có 2 trả lời

[VodichIMO]

Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

 

$1+\frac{r}{R}=cosA+cosB+cosC$

[Rias Gremory]

Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

 

$1+\frac{r}{R}=cosA+cosB+cosC$

Đầu tiên ta chứng minh : $Cos+CosB+CosC=1+4.Sin\frac{A}{2}.Sin\frac{B}{2}.Sin\frac{C}{2}$

Chứng minh : $cos+cosB+cosC=2cos\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+cosC=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+1-2sin^{2}\frac{C}{2}$

$=2sin\frac{C}{2}[cos\frac{(A-B)}{2}-sin\frac{C}{2}]+1=2sin\frac{C}{2}.(-2).sin\frac{A}{2}.sin\frac{-B}{2}+1=1+4sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}$

Sau đó chỉ cần chứng minh $1+4sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}=1+\frac{r}{R}$ là OK

Ta có $r=\frac{S}{p}=\frac{abc}{4R(\frac{a+b+c}{2})}=\frac{sinA.2R.sinB.2R.sinC.2R}{2R(sinA.2R+sinB.2R+sinC.2R)}=\frac{2R.sinA.sinB.sinC}{sinA+sinB+sinC}=\frac{2R.sinA.sinB.sinC}{4cos\frac{C}{2}.cos\frac{B}{2}.cos\frac{A}{2}}=4R.sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}$

Suy ra ĐPCM

[dkhanhht98]

Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

 

$1+\frac{r}{R}=cosA+cosB+cosC$

Có cách này biến đổi về cạnh:

Ta có $r=\dfrac{S}{p}$, $R=\dfrac{abc}{4S}$

$\Rightarrow 1+\dfrac{r}{R}=1+\dfrac{4S^2}{pabc}=1+\dfrac{(b+c-a(c+a-b)(a+b-c)}{2abc}=\dfrac{-a^3-b^3-c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{2abc}$.

Lại có

cos$A$+cos$B$+cos$C$=$\dfrac{a(b^2+c^2-a^2)+b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)}{2abc}$.

Từ đó dễ có $1+\frac{r}{R}$=cos$A$+cos$B$+cos$C$.