Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$1+\frac{r}{R}=cosA+cosB+cosC$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 VodichIMO

VodichIMO

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Hà Tĩnh.
  • Sở thích:Chơi game, xem đá bóng, nghe nhạc, làm toán,...

Đã gửi 27-02-2014 - 15:32

Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

 

$1+\frac{r}{R}=cosA+cosB+cosC$


BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC  :namtay


#2 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 27-02-2014 - 19:43

Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

 

$1+\frac{r}{R}=cosA+cosB+cosC$

Đầu tiên ta chứng minh : $Cos+CosB+CosC=1+4.Sin\frac{A}{2}.Sin\frac{B}{2}.Sin\frac{C}{2}$

Chứng minh : $cos+cosB+cosC=2cos\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+cosC=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+1-2sin^{2}\frac{C}{2}$

$=2sin\frac{C}{2}[cos\frac{(A-B)}{2}-sin\frac{C}{2}]+1=2sin\frac{C}{2}.(-2).sin\frac{A}{2}.sin\frac{-B}{2}+1=1+4sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}$

Sau đó chỉ cần chứng minh $1+4sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}=1+\frac{r}{R}$ là OK

Ta có $r=\frac{S}{p}=\frac{abc}{4R(\frac{a+b+c}{2})}=\frac{sinA.2R.sinB.2R.sinC.2R}{2R(sinA.2R+sinB.2R+sinC.2R)}=\frac{2R.sinA.sinB.sinC}{sinA+sinB+sinC}=\frac{2R.sinA.sinB.sinC}{4cos\frac{C}{2}.cos\frac{B}{2}.cos\frac{A}{2}}=4R.sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}$

Suy ra ĐPCM



#3 dkhanhht98

dkhanhht98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Hà Tĩnh

Đã gửi 02-03-2014 - 01:22

Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

 

$1+\frac{r}{R}=cosA+cosB+cosC$

Có cách này biến đổi về cạnh:

Ta có $r=\dfrac{S}{p}$, $R=\dfrac{abc}{4S}$

$\Rightarrow 1+\dfrac{r}{R}=1+\dfrac{4S^2}{pabc}=1+\dfrac{(b+c-a(c+a-b)(a+b-c)}{2abc}=\dfrac{-a^3-b^3-c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{2abc}$.

Lại có

cos$A$+cos$B$+cos$C$=$\dfrac{a(b^2+c^2-a^2)+b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)}{2abc}$.

Từ đó dễ có $1+\frac{r}{R}$=cos$A$+cos$B$+cos$C$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh