Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$
Đề của
Bài làm của MSS 13 buiminhhieu:Bùi Minh Hiếu
Bài làm:
Ta có với mọi số thực x,y thì $(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy$
Do đó từ giả thiết ta được $2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^{2}+2)\geq 0\Rightarrow x+y\geq 1$
Lại có $(x-y)^{2}\geq 0\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\Rightarrow$
$x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$
Ta có:
$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=(x^{2}+y^{2}-1)^{2}+2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}$
$\geq (\frac{1}{2}-1)^{2}+(x^{2}+y^{2})^{2}+x^{2}y^{2}$(Do $2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{2}+y^{2})^{2}$(Theo BĐT cauchy-schawrz)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:
$((x^{2}+y^{2})^{2}+(\left |xy \right |)^{2})(4+1)\geq (2(x^{2}+y^{2})+\left | xy \right |)^{2}\geq (2(x^{2}+y^{2})+xy)$
$=(\frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{3(x^{2}+y^{2})}{2})^{2}\geq (\frac{1}{2}+\frac{3}{2}.\frac{1}{2})^{2}=\frac{25}{16}$
$\Rightarrow 2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}\geq \frac{5}{16}\Rightarrow P\geq \frac{1}{4}+\frac{5}{16}=\frac{9}{16}$
Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$
Vậy $P_{min}=\frac{9}{16}$ Tại $x=y=\frac{1}{2}$
Màu đỏ sai .
Điểm 3đ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 23:13