Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 4 - Bất đẳng thức

mss 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 76 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-02-2014 - 17:25

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 28/2/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

I - Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu và tổng hợp kết qủa

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi $\LaTeX$ trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa. 

 

 

Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn. 

 

3) Sau trận 4, sẽ có 04 toán thủ ít điểm nhất bị loại. Do trận 3 chưa có kết quả nên các toán thủ còn lại sau trận 2 cứ thi đấu bình thường, toán thủ nào bị loại ở trận 3 sẽ không được trọng tài chấm điểm ở trận này nữa.

 

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-02-2014 - 20:41

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Phan Bội Châu TP Vinh Nghệ An

Đã gửi 28-02-2014 - 21:15

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Ta có$2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}$

Suy ra $(x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0<=> (x+y-1)[(x+y)^{2}+2(x+y)+2]\geq 0<=> x+y\geq 1$ do$(x+y)^{2}+2(x+y)+2>0$

Ta có P=$3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=\frac{6(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-4(x^{2}+y^{2})+2}{2}$

=$\frac{2(x^{4}+y^{4})-2x^{2}y^{2}+4(x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2})-4(x^{2}+y^{2})+2}{2}$

=$\frac{2(x^{4}+y^{4})-2x^{2}y^{2}+4(x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2})-4(x^{2}+y^{2})+2}{2}$

 =$\frac{x^{4}+y^{4}+(x^{2}-y^{2})^{2}+[2(x^{2}+y^{2})-1]^{2}+1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức $2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}$ ta có 

$x^{4}+y^{4}\geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2}\geq \frac{(x+y)^{4}}{8}\geq \frac{1}{8}$

Do $(x^{2}-y^{2})^{2}\geq 0,[2(x^{2}+y^{2})-1]^{2}\geq 0$

Suy ra $P\geq \frac{\frac{1}{8}+1}{2}=\frac{9}{16}$

Min P=$\frac{9}{16}$<=>x=y=$\frac{1}{2}$

 

Điểm 10 .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 12:47


#4 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 28-02-2014 - 21:15

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Bài làm của MSS$42$ 

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có : $\blacksquare$ $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{4}(x+y)^{2}$

$\blacksquare$ $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}(x+y)^{2}$

Theo giả thiết ta có : 

$(x+y)^{3}+4xy\geq 2\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0$ ( vì $(x+y)^{2}\geq 4xy$ ) ( $=>$ là sai ).

$\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y)^{2}+2(x+y)+2]\geq 0$

Vì $(x+y)^{2}+2(x+y)+2=(x+y+1)^{2}+1> 0$

$\Rightarrow x+y-1\geq 0\Leftrightarrow x+y\geq 1$

Ta có : 

$P=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+1$

$=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-\frac{1}{4}[(x^{2}+y^{2})^{2}]-(x^{2}-y^{2})^{2}]]-2(x^{2}+y^{2})+1$

$=\frac{9}{4}[x^{2}+y^{2}-\frac{4}{9}]^{2}+\frac{3}{4}(x^{2}-y^{2})^{2}+\frac{5}{9}$

Vì $1\leq (x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

Lại có $(x^{2}-y^{2})^{2}\geq 0$ với mọi $x,y\in R$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}(\frac{1}{2}-\frac{4}{9})^{2}+\frac{5}{9}=\frac{9}{16}$

Vậy $P_{Min}=\frac{9}{16}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm : 10đ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 22:54


#5 Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ

Đã gửi 28-02-2014 - 21:21

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

MSS-01: Nguyễn Đức Thuận

 

Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) AM-GM, ta có:

$(x+y)^2\geq 4xy(1)$

$x^2+y^2\geqslant \frac{(x+y)^2}{2}(2)$

 

$(1)\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2\geq 2\Leftrightarrow a^3+a^2-2\geqslant 0$ (a=x+y)

$\Rightarrow (a-1)(a^2+2a+2)\geqslant 0\Leftrightarrow a\geq 1$ (Do $a^2+2a+2=(a+1)^2+1>0$ với mọi a)

$(2)\Rightarrow t=x^2+y^2\geq \frac{a^2}{2}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow t^2\geq \frac{1}{4}$

Sử dụng BĐT $\frac{t^2}{4}\geq x^2y^2$

Biến đổi: $P=3\left [t^2-x^2y^2 \right ]-2t+1\geq 3.\frac{3t^2}{4}-2t+1$

$=2(t-\frac{1}{2})^2+\frac{t^2}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{16}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$

 Vậy $MinP=\frac{9}{16}$  khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

Các biến chưa rõ ràng thì không được sử dụng BĐT AM-GM( biến không âm ), đây là 2 BĐT tương đương.

 

Điểm :9.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:01


#6 huukhangvn

huukhangvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nhà của tui
  • Sở thích:nói chung là có

Đã gửi 28-02-2014 - 21:23

Sbd:MMS 53

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Bài làm:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

P=3x4-2x2+$\frac{1}{3}$+3y4-2y2+$\frac{1}{3}$+3x2y2+$\frac{1}{3}$

P=3(y^{4}-\frac{2}{3}y^{2}+\frac{1}{9})2+3(

 

Bỏ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:04


#7 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 28-02-2014 - 21:29

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

MSS 30 canhhoang30011999

ta có $(x+y)^{2}\geq 4xy$(bất đẳng thức Cô-si) (sai)

$\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq (x+y)^{3}+4xy\geq 2$

$\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^{2}+2(x+y)+2)\geq 0$

do $(x+y)^{2}+2(x+y)+2\geq 0$ với mọi x,y

$\Rightarrow x+y\geq 1$

lại có $2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}$(bất đẳng thức Bunhiacốpxki)

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

ta có $P= 3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1-3x^{2}y^{2}$

ta có $x^{2}y^{2}\leq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}$

$\Rightarrow P\geq 3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1-\frac{3(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}$

$= \frac{9(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}-2(x^{2}+y^{2})+\frac{7}{16}+\frac{9}{16}$

$= (x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})(\frac{9(x^{2}+y^{2})}{4}-\frac{7}{8})+\frac{9}{16}$

do $x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})(\frac{9(x^{2}+y^{2})}{4}-\frac{7}{8})\geq 0$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{16}$

$P=\frac{9}{16}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y & \\ x+y=1& \\ x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2}& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

vậy $P_{min}= \frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm 9 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:08


#8 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 28-02-2014 - 21:32

Theo BĐT Bunhiacopxki và AM-GM có:$x+y\leq \sqrt{2(x^2+y^2)},4xy\leq 2(x^2+y^2)$ (Sai)

$= > 2\leq (x+y)^3+4xy\leq (\sqrt{2(x^2+y^2)})^3+2(x^2+y^2)$

Đặt $\sqrt{2(x^2+y^2)}=a\geq 0= > 2\leq a^2+a^3= > a^2(a-1)+2(a-1)(a+1)\geq 0= > (a-1)(a^2+2a+2)\geq 0= > a-1\geq 0= > a\geq 1= > \sqrt{2(x^2+y^2)}\geq 1= > x^2+y^2\geq \frac{1}{2}$

(Do $a^2+2a+2=(a+1)^2+1> 0$)

Ta có:$x^4+y^4+x^2y^2=(x^2+y^2)^2-x^2y^2\geq (x^2+y^2)^2-\frac{(x^2+y^2)^2}{4}=\frac{3(x^2+y^2)^2}{4}= > P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1\geq \frac{9(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2)+1= > 4P\geq 9(x^2+y^2)^2-8(x^2+y^2)+4=9(x^2+y^2)(x^2+y^2-\frac{1}{2})-\frac{7}{2}(x^2+y^2-\frac{1}{2})+\frac{9}{4}=(x^2+y^2-\frac{1}{2})(9(x^2+y^2)-\frac{7}{2})+\frac{9}{4}\geq \frac{9}{4}= > 4P\geq \frac{9}{4}= > P\geq \frac{9}{16}$

(Do $x^2+y^2\geq \frac{1}{2}= > x^2+y^2-\frac{1}{2}\geq 0,9(x^2+y^2)-\frac{7}{2}\geq 9.\frac{1}{2}-\frac{7}{2}=1> 0= > (x^2+y^2-\frac{1}{2})(9(x^2+y^2)-\frac{7}{2})\geq 0$)

 Do đó $P$ Min =$=\frac{9}{16}< = > x=y,x^2+y^2=1,(x+y)^3+4xy=2< = > x=y=\frac{1}{2}$

 

Thành viên này không tham gia MSS.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 22:49


#9 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 28-02-2014 - 21:47

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

SBD: MSS48

Bài giải:

Với $x;y\in \mathbb{R}$, ta có: $(x-y)^2\geq 0\Rightarrow (x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)$ và $2xy\leq x^2+y^2$

$\Rightarrow x+y\leq \left | x+y \right |\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}$ và $4xy\leq 2(x^2+y^2)$

Đặt $x^2+y^2=t(t>0)\Rightarrow 2\leq (x+y)^3+4xy\leq \left ( \sqrt{2t} \right )^3+2t\Leftrightarrow \sqrt{2}.t\sqrt{t}+t-1\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2t}-1)(t+\sqrt{2t}+1)\geq 0$

Do $t>0\Rightarrow t+\sqrt{2t}+1>0\Rightarrow \sqrt{2t}-1\geq 0\Rightarrow t\geq \frac{1}{2}$

Lại có: $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1$

              $ =\frac{3}{4}(x^2-y^2)^2+\frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1$

           $ \geq \frac{9}{4}t^2-2t+1=\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}(2t-1)^2+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{4}.\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x-y=0 & \\ x+y\geq 0 & \\ x^2-y^2=0 & \\ x^2+y^2=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ (thoả mãn giả thiết)

Vậy $MinP=\frac{9}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm 10 .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:10


#10 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 28-02-2014 - 21:47

Bài làm của MSS 52:

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

 

Các bất đẳng thức phụ:

 

Với  $x,y\in \mathbb{R}$:

  • $(x+y)^{2}\geq 4|xy|\geq 4xy$ $(1)$
  • $2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}$ $(2)$
  • $\Rightarrow 2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{2}+y^{2})^{2}$ $(3)$
  • $A^{2}\geq 0$ $(1)$ $(4)$

Trở lại bài toán :

 

$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

$4P=12(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-8(x^{2}+y^{2})+4$

    $=6(x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2})+6(x^{4}+y^{4})-8(x^{2}+y^{2})+4$

    $=6(x^{2}+y^{2})^{2}+6(x^{4}+y^{4})-8(x^{2}+y^{2})+4$

Cũng theo bất đẳng thức $(3)$:

$4P\geq 6(x^{2}+y^{2})^{2}+3(x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}+y^{2})+4$

     $=9(x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}+y^{2})+4$

 

Theo bất đẳng thức $(1)$ kết hợp với điều kiện bài toán :

 

$(x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq (x+y)^{3}+4xy\geq 2$

$\Leftrightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}- 2\geq 0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y)^{2}+2(x+y)+2]\geq 0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y+1)^{2}+1]\geq 0$

 

Vì $[(x+y+1)^{2}+1]\geq 0$

$\Rightarrow x+y\geq 1$

Theo bất đẳng thức $(2)$: $2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}=1$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

 

Đặt $t= x^{2}+y^{2}(t\geq \frac{1}{2})$

 

$4P=9t^{2}-8t+4=2(4t^{2}-4t+1)+t^{2}+2$

      $=2(2t-1)^{2}+t^{2}+2\geq t^{2}+2\geq \frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{16}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2}$ và $x=y$

$\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Làm quá dài dòng và BĐT 1 dư.

 

Điểm 9.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:12

                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#11 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-02-2014 - 21:58

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^3+4xy\geq 2\\ (x+y)^2-4xy\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x+y)^3+(x+y)^2\geq 2\Leftrightarrow (x+y)\geq 1$$

mà $$2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2  \Leftrightarrow x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{1}{2}$$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Ta có :

$$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=[3\left ( x^2+y^2 \right )^2-x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1\geq 3(x^2+y^2)^2-3.\frac{(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2+1) (1)$$

Đặt $$x^2+y^2=a,a\geq \frac{1}{2}$$

Xéf $$f(x;y)=3(x^2+y^2)^2-3.\frac{(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2+1)\Rightarrow f(a)=\frac{9}{4}a^2-2a+1$$

Do $\frac{9}{4}>0$ nên hàm $f(x;y)$ đồng biến khi $a>\frac{4}{9}$

mà $$a\geq \frac{1}{2}>\frac{4}{9}$$

nên $$f(x;y)=f(a)\geq f(\frac{1}{2})=\frac{9}{16}(2)$$

$$(1)(2)\Rightarrow P \geq \frac{9}{16}$$

Vậy $$Min_{P}=\frac{9}{16} \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$$

 

Phần in đậm là của THPT, nếu muốn sử dụng cần lập luận rõ .

 

Điểm 9.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:15


#12 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-02-2014 - 22:00

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^3+4xy\geq 2\\ (x+y)^2-4xy\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x+y)^3+(x+y)^2\geq 2\Leftrightarrow (x+y)\geq 1$$

mà $$2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2  \Leftrightarrow x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{1}{2}$$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Ta có :

$$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=[3\left ( x^2+y^2 \right )^2-x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1\geq 3(x^2+y^2)^2-3.\frac{(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2+1) (1)$$

Đặt $$x^2+y^2=a,a\geq \frac{1}{2}$$

Xéf $$f(x;y)=3(x^2+y^2)^2-3.\frac{(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2+1)\Rightarrow f(a)=\frac{9}{4}a^2-2a+1$$

Do $\frac{9}{4}>0$ nên hàm $f(x;y)$ đồng biến khi $a>\frac{4}{9}$

mà $$a\geq \frac{1}{2}>\frac{4}{9}$$

nên $$f(x;y)=f(a)\geq f(\frac{1}{2})=\frac{9}{16}(2)$$

$$(1)(2)\Rightarrow P \geq \frac{9}{16}$$

Vậy $$\boxed{Min_{P}=\dfrac{9}{16} \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}}$$

 

Đã có.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:16


#13 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 28-02-2014 - 22:04

Đầu tiên ta có bất đẳng thức cơ bản:  $(a+b)^2\ge 4ab\iff (a-b)^2\ge 0$(luôn đúng). Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

Đặt $x+y=t$, ta có: 

$$t^3+t^2=(x+y)^3+(x+y)^2\ge (x+y)^3+4xy\ge 2 \\ \implies t^3+t^2\ge 2$$

Xét bất phương trình: $$t^3+t^2-t\ge 0\iff (t-1)(t^2+2t+2)\ge 0\iff t\ge 1$$

Lại có: $x^4+y^4+x^2y^2\ge \dfrac{3}{4}(x^2+y^2)^2\iff (x^2-y^2)^2\ge 0$ ( luôn đúng)

Do đó: $$P\ge \dfrac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1$$

Đặt $x^2+y^2=k, \ k\ge 0$. Mà $2(x^2+y^2)\ge (x+y)^2\iff (x-y)^2\ge 0\implies 2k\ge t\implies k\ge \dfrac{1}{2}$

Ta đưa về bài toán, tìm min của: $P=\dfrac{9k^2}{4}-2k+1$ với $k\ge \dfrac{1}{2}$

Ta có: $$P=\dfrac{1}{4}(9k^2-8k+4)=\dfrac{1}{4}\left[ \left(k^2-\dfrac{1}{4}\right)+8\left(k-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}\right]=\dfrac{1}{4}\left[ \left(k^2-\dfrac{1}{4}\right)+8\left(k-\dfrac{1}{2}\right)^2\right]+\dfrac{9}{16}\ge \dfrac{9}{16}$$

Dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}k^2-\dfrac{1}{4}=0 \\ k-\dfrac{1}{2}=0\end{cases}\iff k=\dfrac{1}{2}\implies t=1\implies \begin{cases}x+y=1 \\ x=y\end{cases}\iff x=y=\dfrac{1}{2}$

Vậy $\min P=\dfrac{9}{16}$ khi và chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{2}.\blacksquare$

 

Bỏ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:50

Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#14 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 28-02-2014 - 22:08

Làm lại

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

 

Các bất đẳng thức phụ:

 

Với  $x,y\in \mathbb{R}$:

·                                 $(x+y)^{2}\geq 4|xy|\geq 4xy$ $(1)$

·                                 $2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}$ $(2)$

·                                 $\Rightarrow 2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{2}+y^{2})^{2}$ $(3)$

 

 

Trở lại bài toán :

 

$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

$4P=12(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-8(x^{2}+y^{2})+4$

    $=6(x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2})+6(x^{4}+y^{4})-8(x^{2}+y^{2})+4$

    $=6(x^{2}+y^{2})^{2}+6(x^{4}+y^{4})-8(x^{2}+y^{2})+4$

Cũng theo bất đẳng thức $(3)$:

$4P\geq 6(x^{2}+y^{2})^{2}+3(x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}+y^{2})+4$

     $=9(x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}+y^{2})+4$

 

Theo bất đẳng thức $(1)$ kết hợp với điều kiện bài toán :

 

$(x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq (x+y)^{3}+4xy\geq 2$

$\Leftrightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}- 2\geq 0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y)^{2}+2(x+y)+2]\geq 0$

$\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y+1)^{2}+1]\geq 0$

 

Vì $[(x+y+1)^{2}+1]\geq 0$

$\Rightarrow x+y\geq 1$

Theo bất đẳng thức $(2)$: $2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\geq 1$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

 

Đặt $t= x^{2}+y^{2}(t\geq \frac{1}{2})$

 

$4P=9t^{2}-8t+4=2(4t^{2}-4t+1)+t^{2}+2$

      $=2(2t-1)^{2}+t^{2}+2\geq t^{2}+2\geq \frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{16}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2}$ và $x=y$

$\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Vẫn như trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:27

                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#15 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 28-02-2014 - 22:11

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Ta có :
$(x+y)^{3}+4xy\geq 2$
$(x+y)^{2}-4xy\geq 0$
$\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0\Rightarrow (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2)\Rightarrow x+y\geq 1$
ÁP dụng BĐT Cauchy :

$\Rightarrow x^2y^2\leq \frac{(x^2+y^2)^2}{4}\Rightarrow -3x^2y^2\geq \frac{-3(x^2+y^2)^2}{4}$
$gt\Rightarrow P=3((x^2+y^2)^2-x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1\geq \frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1$
Mà : $x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1=\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+2(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+2(x^{2}+y^2-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{4}.\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$
Vậy :

$\min P=\frac{9}{16}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}+4xy\geq 2 & \\ x=y & \\ x^{2}+y^{2}=\frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm 10 .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:27

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#16 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-02-2014 - 22:13

 

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Bài làm của $MSS 10$

Áp dung bất đẳng thức $(a+b)^2\geq 4ab\ (a, b\in \mathbb{R})$ $($bất đẳng thức tương đương $(a-b)^2\geq 0,$ luôn đúng$),$ ta có: 

$2\leq (x+y)^3+4xy\leq (x+y)^3+(x+y)^2$

 

Do đó $(x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0\Leftrightarrow (x+y-1)[(x + y)^2+2(x+y)+2]\geq 0$

 

Mà $(x+y)^2+2(x+y)+2=(x+y+1)^2+1>0$ với mọi $x, y$

 

Nên $x+y-1\geq 0$ hay $x+y\geq 1$

 

Lại có $(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)$ $($bất đẳng thức tương đương $(x-y)^2\geq 0,$ luôn đúng$)$

 

Do đó $x^2+y^2\geq \dfrac{1}{2}$

 

 

Ta có: $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1=3(x^2+y^2)^2-3x^2y^2-2(x^2+y^2)+1$

 

Mà $x^2y^2\leq \dfrac{1}{4}(x^2+y^2)^2$

 

Nên $P\geq 3(x^2+y^2)^2-\dfrac{3}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1$

 

$\Leftrightarrow P\geq \dfrac{9}{4}\left [ \left ( x^2+y^2 \right )-\dfrac{4}{9} \right ]^2+\dfrac{5}{9}$

 

Vì $x^2+y^2\geq \dfrac{1}{2}$

 

Nên $P\geq \dfrac{9}{4}\left ( \dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{9} \right )^2+\dfrac{5}{9}=\dfrac{9}{16} $($Vì $

 

\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{9}>0)$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^3+4xy=2\\ x=y\\ x+y=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

 

 

 

Vậy $\textrm{min}\ P=\dfrac{9}{16}$ khi $ x=y=\dfrac{1}{2}$

 

Điểm 10 .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:28


#17 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 28-02-2014 - 22:16

Ta có 

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ (mọi $x,y\in R$)

$\Rightarrow \left ( x+y \right )^{2}\geq 4xy$

$\Rightarrow \left ( x+y \right )^{3}+\left ( x+y \right )^{2}\geq \left ( x+y \right )^{3}+4xy\geq 2$

$\Rightarrow \left ( x+y \right )^{3}+\left ( x+y \right )^{2}\geq 2$

$\Rightarrow \left ( x+y-1 \right )\left [ \left ( x+y \right )^{2}+2\left ( x+y \right )+2 \right ]\geq 0$

Do $\left ( x+y \right )^{2}+2\left ( x+y \right )+2= \left ( x+y+1 \right )^{2}+1>0$

$\Rightarrow x+y-1 \geq 0$

$\Rightarrow x+y \geq 1$

Theo bất đăng thức Bunnhiacopxki 

$2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\geq \left ( x+y \right )^{2}\geq 1$

$x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

ta lại có 

$P=3\left ( x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2} \right )-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

$\Rightarrow P=3\left [ \frac{2\left ( x^{4}+y^{4} \right )}{4}+\frac{x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}}{2} \right ]-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

Theo bất đẳng thức bunhiacopxki ta có

$P\geq 3\left [ \frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{4}+\frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{2} \right ]-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

đặt $x^{2}+y^{2}=a\left ( a\geq \frac{1}{2} \right )$

ta sẽ tìm GTNN của $\frac{9}{4}a^{2}-2a+1$

ta có $\frac{9}{4}a^{2}-2a+1=2\left ( a^{2}-a+\frac{1}{4} \right )+\frac{a^{2}+2}{4}$

$=2\left ( a-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+2}{4}\geq \frac{9}{16}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{16}$ 

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm 10.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 22:56


#18 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 28-02-2014 - 22:17

Bài làm:

 

Đặt $x+y=S$ , $xy=P$ và $x^{2}+y^{2}=a$ ( với a$\geq$ 0 )

$x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\geq 0$ ( với mọi x, y )

 $\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy\Leftrightarrow S^{2}\geq 4P$

Suy ra $2\leq (x+y)^{3}+4xy=S^{3}+4P\leq S^{3}+S^{2}$

$\Leftrightarrow S^{3}+S^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow (S-1)(S^{2}+2S+2)\geq 0\Leftrightarrow S\geq 1$

Như vậy:

a = $x^{2}+y^{2}=\frac{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{1}{2}.S^{2}\geq \frac{1}{2}$ ( vì $S\geq 1$ ) (*)

Ta có:

P = $\frac{3}{4}.\left [(x^{2}-y^{2})^{2}+ 3(x^{2}+y^{2})^{2} \right ]-2(x^{2}+y^{2})+1$

$=>P\geq \frac{9a^{2}}{4}-2a+1=(\frac{3a}{2}-\frac{2}{3})^{2}+\frac{5}{9}\geq (\frac{3}{2}.\frac{1}{2}-\frac{2}{3})^{2}+\frac{5}{9}=\frac{9}{16}$ ( vì theo (*) ta có $a\geq \frac{1}{2}$ )

Vậy Min (P) = $\frac{9}{16}$. Dấu "=" xảy ra khi x = y = $\frac{1}{2}$

 

ĐIểm 10 .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 22:56


#19 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 28-02-2014 - 22:23

Bài trên em nhầm chút, em xin làm lại:

Đầu tiên ta có bất đẳng thức cơ bản: $(a+b)^2\ge 4ab\iff (a-b)^2\ge 0$(luôn đúng). Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

Đặt $x+y=t$, ta có: $$t^3+t^2=(x+y)^3+(x+y)^2\ge (x+y)^3+4xy\ge 2 \\ \implies t^3+t^2\ge 2$$

Xét bất phương trình: $$t^3+t^2-2\ge 0\iff (t-1)(t^2+2t+2)\ge 0\iff t\ge 1$$

Lại có: $x^4+y^4+x^2y^2\ge \dfrac{3}{4}(x^2+y^2)^2\iff (x^2-y^2)^2\ge 0$ ( luôn đúng)

Do đó: $$P\ge \dfrac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1$$

Đặt $x^2+y^2=k, \ k\ge 0$. Mà $2(x^2+y^2)\ge (x+y)^2\iff (x-y)^2\ge 0\implies 2k\ge t^2\implies k\ge \dfrac{1}{2}$

Ta đưa về bài toán, tìm min của: $P=\dfrac{9k^2}{4}-2k+1$ với $k\ge \dfrac{1}{2}$ Ta có: $$P=\dfrac{1}{4}(9k^2-8k+4)=\dfrac{1}{4}\left[ \left(k^2-\dfrac{1}{4}\right)+8\left(k-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}\right]=\dfrac{1}{4}\left[ \left(k^2-\dfrac{1}{4}\right)+8\left(k-\dfrac{1}{2}\right)^2\right]+\dfrac{9}{16}\ge \dfrac{9}{16}$$

Dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}k^2-\dfrac{1}{4}=0 \\ k-\dfrac{1}{2}=0\end{cases}\iff k=\dfrac{1}{2}\implies t=1\implies \begin{cases}x+y=1 \\ x=y\end{cases}\iff x=y=\dfrac{1}{2}$

Vậy $\min P=\dfrac{9}{16}$ khi và chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{2}.\blacksquare$

 

Điểm 10.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:51

Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#20 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 28-02-2014 - 22:33

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

 

Bài làm của toán thủ MSS số 004 : Nguyễn Trung Hiếu 

 

 

$\triangleright$Ta xét BĐT sau: $(x-y)^2 \geq 0$ $\Leftrightarrow (x+y)^2-4xy \geq 0$

 

$\triangleright$Kết hợp giả thiết $(x+y)^3+4xy \geq 2$ ta suy ra $(x+y)^3+(x+y)^2 \geq 2$.  

 

Đặt $a=x+y$ ta có $a^3+a^2-2 \geq$ $(a-1)(a^2+2a+2) \geq 0 \Leftrightarrow a \geq 1$ (do $a^2+2a+2=(a+1)^2+1>0$ với mọi $a$)

 

Như vậy $a \geq 1$

 

Lại có $P=3[(x^2+y^2)^2-x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1=3(x^2+y^2)^2-3x^2y^2-2(x^2+y^2)+1$

 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 

 

$x^2+y^2 \geq \dfrac{(x+y)^2}{2}=\dfrac{a^2}{2} \geq \dfrac{1}{2}$

 

$x^2y^2 \leq \dfrac{(x^2+y^2)^2}{4}$

 

nên $P \geq 3(x^2+y^2)^2-\dfrac{3(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2)+1$

 

Đặt $b=x^2+y^2$ $\Rightarrow b \geq \dfrac{1}{2}$

 

thì $P \geq \dfrac{9}{4}b^2-2b+1=2(b-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}b^2+\dfrac{1}{2} \geq \dfrac{1}{4}b^2+\dfrac{1}{2}\geq \dfrac{9}{16}$

 

$P=\dfrac{9}{16}$ đạt được khi $x=y=\dfrac{1}{2}$

 

$\star$Vậy $P_{min}=\dfrac{9}{16}$ đạt được khi $x=y=\dfrac{1}{2}$ $\blacksquare$

 

Điểm 10.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-03-2014 - 13:52

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh