Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 4 - Bất đẳng thức

mss 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 76 trả lời

#41 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 02-03-2014 - 19:32

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Bài làm của MSS 13 buiminhhieu:Bùi Minh Hiếu

Bài làm:

Ta có với mọi số thực x,y thì $(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy$

Do đó từ giả thiết ta được $2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^{2}+2)\geq 0\Rightarrow x+y\geq 1$

Lại có $(x-y)^{2}\geq 0\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\Rightarrow$

$x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

Ta có:

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=(x^{2}+y^{2}-1)^{2}+2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}$

$\geq (\frac{1}{2}-1)^{2}+(x^{2}+y^{2})^{2}+x^{2}y^{2}$(Do $2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{2}+y^{2})^{2}$(Theo BĐT cauchy-schawrz)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

$((x^{2}+y^{2})^{2}+(\left |xy \right |)^{2})(4+1)\geq (2(x^{2}+y^{2})+\left | xy \right |)^{2}\geq (2(x^{2}+y^{2})+xy)$

$=(\frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{3(x^{2}+y^{2})}{2})^{2}\geq (\frac{1}{2}+\frac{3}{2}.\frac{1}{2})^{2}=\frac{25}{16}$

$\Rightarrow 2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}\geq \frac{5}{16}\Rightarrow P\geq \frac{1}{4}+\frac{5}{16}=\frac{9}{16}$

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Vậy $P_{min}=\frac{9}{16}$ Tại $x=y=\frac{1}{2}$

 

Màu đỏ sai .

 

Điểm 3đ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 23:13

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#42 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 02-03-2014 - 20:07

 

 

Mở rộng 1:

Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn $x+y+z=8$ . Tìm Giá trị lớn nhất của P= $x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x$

Bài làm:

Gọi $(a,b,c)$ là 1 hoán vị của $(x,y,z)$ thỏa mãn $a\geq b\geq c\geq 0$ và $a+b+c=8$

$a\geq b\geq c\geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2} \geq b^{2}\geq c^{2}& \\ ab\geq ac\geq bc& \end{matrix}\right.$(1)

Áp dụng BĐT hoán vị (*) ta được:

$x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x\leq a^{2}.ab+b^{2}.ac+c^{2}.bc=b(a^{3}+b^{3}+abc)$

Lại có $abc\leq 3ac(a+c)$(dấu "=" khi ac=0)

Do đó $b(a^{3}+b^{3}+abc)\leq b(a^{3}+c^{3}+3ac(a+c))=b(8-b)^{3}$

$=\frac{3b.(8-b)(8-b)(8-b)}{3}$$\leq \frac{(8+8+8+3b-b-b-b)^{4}}{3.4^{4}}=432$(theo bất đẳng thức AM-GM)

Dấu "=" xảy ra khi $a=6,b=2,c=0$

Vậy Max P$=432$ Tại $a=6,b=2,c=0$

 

CM BĐT hoán vị(*) :(mở rộng :lol: )

Cho 2 dãy đơn điệu tăng

$(a_{1},a_{2},a_{3});(b_{1},b_{2},b_{3})$(dạng cơ bản 3 số) Thì ta có $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\geq a_{1}b_{i_{1}}+a_{2}b_{i_{2}}+a_{3}b_{i_{3}}$

CM:$BĐT\Leftrightarrow (a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{i^{1}})+(a_{2}-a_{3})(b_{1}+b_{2}-b_{i_{1}}-b_{i_{2}})+a_{3}(b_{1}+b_{2}+b_{3}-b_{i_{1}}-b_{i_{2}}-b_{i_{3}})\geq 0$

Luân đúng

 

Không liên quan.

 

Điểm MR 0đ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 23:14

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#43 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 02-03-2014 - 20:16

 

Bài toán:Cho $a,b,c\geq 0;a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ .Chứng minh $b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c\leq 2+abc$

Bài làm:

Giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$ 

Nếu $b\geq c\Rightarrow a\geq b\geq c\Rightarrow a(a-b)(b-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^{2}b+abc\geq ab^{2}+ca^{2}$

$\Rightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq abc+a^{2}b+bc^{2}$

Ta đi chứng minh $abc+a^{2}b+bc^{2}\leq 2+abc$

$\Leftrightarrow a^{2}b+bc^{2}\leq 2$

$\Leftrightarrow b(3-b^{2})\leq 2$

$\Leftrightarrow (b-1)^{2}(b+2)\geq 0$(luôn đúng)

BĐT được CM

Nếu $c\geq b$ ta chứng minh tương tự được ĐPCM

 

Không liên quan.

 

Điêm MR 0đ

 Vậy ...

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 23:15

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#44 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 02-03-2014 - 20:31

 

Đề bài:Cho các số thực dương a,b,c, d thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$

Chứng minh $abcd\leq (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)$

Bài làm:

Ta có $(c-d)^{2}\geq 0\Rightarrow 2cd\leq c^{2}+d^{2}=1-a^{2}-b^{2}$

Xét $2(1-a)(1-b)-2cd\geq 2(1-a)(1-b)-(1-a^{2}-b^{2})$

$=(a+b-1)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow (1-a)(1-b)\geq cd$

Chứng minh tương tự $\Rightarrow (1-c)(1-d)\geq ab$

Do đó $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}$

Note: Đây là bài toán có trong Sáng tạo Bất đẳng thức nhưng em đã tạo 1 cách khác khác với cách đã cho của tác giả 

nếu theo cách STBĐT thì quá dài em không nghĩ như vậy!!!

 

 

Không liên quan.

 

Điêm MR 0đ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 23:15

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#45 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 02-03-2014 - 22:51

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

MSS:15

Mở rộng 1. Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=|16(x^5+y^5)-20(x^3+y^3)+5(x+y)|.$$

Lời giải. Vì $x^2+y^2=1$ nên $$\begin{aligned} A & = |16x^3(x^2-1)+16y^3(y^2-1)-4(x^3+y^3)+5(x+y)| \\ & = |-16x^3y^2-16y^3x^2-4(x+y)(1-xy)+5(x+y)| \\ & = |(x+y)(-16x^2y^2+4xy+1)|. \end{aligned}$$

Như vậy $A^2=(x+y)^2)(16x^2y^2-4xy-1)^2$. Đặt $m=(x+y)^2$ thì $2xy=m-1$.

Vì $(x-y)^2 \ge 0$ nên $2xy \le x^2+y^2=1$ hay $m \le 2$.

Ta có $$\begin{aligned} A^2 & = m(4m^3-8m+4-2m+2-1)^2 \\ & = m(4m^2-10m+5)^2 \\ & = 2+16m^5-80m^4+140m^3-100m^2+25m-2 \\ & = 2+(m-2)(4m^2-6m+1)^2 \le 2 \end{aligned}$$

Do đó $A \le \sqrt 2$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y= \pm \frac{\sqrt 2}{2}$. 

Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $\sqrt 2$.

 

 

Không liên quan.

 

Điêm MR 0đ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 23:16

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#46 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 03-03-2014 - 22:41

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#47 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 03-03-2014 - 23:09

MSS-01: Nguyễn Đức Thuận

Giải:

Từ BĐT AM-GM, ta có: $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ đặt $m=x+y$

$\Rightarrow m^3+\frac{km^2}{4}\geq 1+\frac{k}{4}$$\Leftrightarrow (m-1)\left [ m^2-\left ( 1+\frac{k}{4}\right ) m+1+\frac{k}{4} \right ]$

Mà $m^2-\left ( 1+\frac{k}{4}\right ) m+1+\frac{k}{4} =\left [ m-\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{k}{4} \right ) \right ]^2+1+\frac{k}{4}-\frac{1}{4}\left ( 1+\frac{k}{4} \right )^2>0$  

(Do $-4<k<12\Rightarrow 1+\frac{k}{4}<4\Rightarrow \frac{1}{4}\left ( 1+\frac{k}{4} \right )^2<1+\frac{k}{4}$)

Suy ra $m\geq 1$ $\Rightarrow t=x^2+y^2\geq \frac{m^2}{2}\geq \frac{1}{2}\Rightarrow t^2\geq \frac{1}{4}$

Áp dụng BĐT $x^2y^2\leq \frac{t^2}{4}$, biến đổi:

$P=a(t^2-x^2y^2)-bt+c\geq \frac{3a}{4}t^2-bt+c=b\left ( t-\frac{1}{2} \right )^2+\left ( \frac{3a}{4}-b \right )t^2+c-\frac{1}{4}$

$\geq \frac{1}{4}\left ( \frac{3a}{4}-b \right )+c-\frac{b}{4}$

 

Vậy $MinP= \frac{1}{4}\left ( \frac{3a}{4}-b \right )+c-\frac{b}{4}$   khi $x=y=1/2$

Nếu k<0 thì $(x+y)^{3}+kxy\geq (x+y)^{3}+k(x+y)^{2}$ trái dấu.


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#48 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-03-2014 - 23:13

Hình như những mở rộng của bạn buiminhhieu không liên quan tới bài toán thì phải  :mellow:



#49 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 03-03-2014 - 23:19

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$(*) . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Bài làm:

P=3x4+3y4+3x2y2-2x2-2y2+$\frac{1}{3}$.3

P=3(x4-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{1}{9}$)+3(y4-$\frac{2}{3}$y2+$\frac{1}{9}$)+3x2y2+$\frac{1}{3}$

P=3(x2-$\frac{1}{3}$)2+3(y2-$\frac{1}{3}$))2+3x2y2+$\frac{1}{3}$

Nhận thấy:3(x2-$\frac{1}{3}$)2+3(y2-$\frac{1}{3}$))2$\geq 0$

                 3x2y2$\geq 0$

Vậy nên để P có min thì cặp số x,y phải thoả mãn 1 trong hai điều kiện sau:3(x2-$\frac{1}{3}$)2+3(y2-$\frac{1}{3}$))2=0

                                                                                                                       3x2y2=0

 

*Trường hợp 1:3x2y2=0

Theo bài toán đầu đề thì ta nhận thấy x,y không thể cùng bằng 0

Mà theo trường hợp thì x=0 hoặc y=0

Giả sử x=0 và y=m,thay x=0 vào bài toán đầu bài(*) ta có được y$\geq$$\sqrt[3]{2}$

Thay x=0,y$\geq$$\sqrt[3]{2}$ vào P ta có=3(0-$\frac{1}{3}$)2+3(y2-$\frac{1}{3}$)2+0+$\frac{1}{3}$$\geq$5,4(1)

*Trường hợp 2 :3(x2-$\frac{1}{3}$)2+3(y2-$\frac{1}{3}$))2=0

=>x=$\sqrt{\frac{1}{3}}$ hoặc x=$-\sqrt{\frac{1}{3}}$và y=$-\sqrt{\frac{1}{3}}$ hoặc y=$\sqrt{\frac{1}{3}}$

vậy nên ta sẽ có được 4 cặp số thoả mãn trường hợp

Thay lần lượt 4 cặp số vừa tìm được vào bài toán đầu bài(*) thì ta chỉ nhận được 1 cặp số x,y thoả mãn là:

(x,y)=($\sqrt{\frac{1}{3}}$;$\sqrt{\frac{1}{3}}$)

Thay cặp x,y ở trên vào P ta có P$\geq \frac{2}{3}$(2)

Từ (1),(2) suy ra P$\geq \frac{2}{3}$ cho nên Min của P là $\frac{2}{3}$. dấu bằng xảy ra khi x=y=$\sqrt{\frac{1}{3}}$

 

Bài làm đã sai ngay từ bước lập luận màu đậm kia, vì vậy các bước giải sau cũng sai và kết quả sai.



#50 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 04-03-2014 - 10:57

Theo giả thiết ta có : $(x+y)^3+4xy\geq 2\Rightarrow 2\leq (x+y)^3+(x+y)^2\Leftrightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0\Leftrightarrow \left ( x+y-1 \right )\left [ \left ( x+y \right )^2+x+y+2 \right ]\geq 0\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có : $P=3\left ( x^4+y^4+x^2y^2 \right )-2\left ( x^2+y^2 \right )+1$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ với các số thực $a,b$ ta có : $4ab\leq \left ( a+b \right )^2,a^2+b^2\geq 2\left | ab \right |\geq 2ab$

$\Rightarrow 2P=6\left ( x^4+y^4+x^2y^2 \right )-4\left ( x^2+y^2 \right )+2=2\left ( x^4+y^4-x^2y^2 \right )+4\left ( x^4+y^4+2x^2y^2 \right )-4\left ( x^2+y^2 \right )+2=2\left ( x^4+y^4-x^2y^2 \right )+\left [ 2\left ( x^2+y^2 \right )-1 \right ]+1$

$\geq \left ( x^4+y^4 \right )+\left ( x^4+y^4-2x^2y^2 \right )+\left [ \left ( x+y \right )^2 \right ]+1\geq x^4+y^4+1\geq 2.\left ( \frac{x+y}{4} \right )^4+1\geq \frac{9}{8}\Rightarrow P\geq \frac{9}{16}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

$a,b$ có dương đâu mà $AM-GM$ bạn :P


Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#51 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 04-03-2014 - 11:19

MSS-01: Nguyễn Đức Thuận

 

Từ bất đẳng thức (BĐT) AM-GM, ta có:

$(x+y)^2\geq 4xy(1)$

$x^2+y^2\geqslant \frac{(x+y)^2}{2}(2)$

 

$(1)\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2\geq 2\Leftrightarrow a^3+a^2-2\geqslant 0$ (a=x+y)

$\Rightarrow (a-1)(a^2+2a+2)\geqslant 0\Leftrightarrow a\geq 1$ (Do $a^2+2a+2=(a+1)^2+1>0$ với mọi a)

$(2)\Rightarrow t=x^2+y^2\geq \frac{a^2}{2}\geq \frac{1}{2}$ $\Rightarrow t^2\geq \frac{1}{4}$

Sử dụng BĐT dạng $(1)$: $\frac{t^2}{4}\geq x^2y^2$

Biến đổi: $P=3\left [t^2-x^2y^2 \right ]-2t+1\geq 3.\frac{3t^2}{4}-2t+1$

$=2(t-\frac{1}{2})^2+\frac{t^2}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{16}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$

 Vậy $MinP=\frac{9}{16}$  khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

a,b chưa chắc dương bạn à   -_-


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 04-03-2014 - 11:20

Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#52 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 04-03-2014 - 11:39

 

MSS 59

Ta có $(x+y)^{2}-4xy\geq 0$ (1)

         $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ (2)

Cộng (1) và (2) ta được $(x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0$

Đặt $t=(x+y)$

$\Rightarrow t^{3}+t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{3}+2t^{2}+2t-t^{2}-2t-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t(t^{2}+2t+2)-(t^{2}+2t+2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+2t+2)\geq 0$

Mà $t^{2}+2t+2=t^{2}+2t+1+1=(t+1)^{2}+1\geq 1> 0$

$\Rightarrow t-1\geq 0$

$\Leftrightarrow x+y\geq 1$

Mặt khác $(x-y)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow 2x^{2}-x^{2}-2xy+2y^{2}-y^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$ (Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$)

Lại có $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 4x^{2}y^{2}\Rightarrow \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}\geq x^{2}y^{2}$
$\Rightarrow P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$
         $=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+1$
         $\geq 3[(x^{2}+y^{2})^{2}-\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}]-2(x^{2}+y^{2})+1$
         $\geq \frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1$
Đặt $a=x^{2}+y^{2}$ (Điều kiện $a\geq \frac{1}{2}$)
$f(a)= \frac{9}{4}a^{2}-2a+1,a\geq \frac{1}{2}$
$f(a)\geq f(\frac{1}{2})=\frac{9}{16}$
Vậy $P_{min}=\frac{9}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

2 lời giải này có lẽ không phù hợp với THCS, dùng cả đạo hàm :(


Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#53 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 04-03-2014 - 12:02

 

MSS 59

Ta có $(x+y)^{2}-4xy\geq 0$ (1)

         $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ (2)

Cộng (1) và (2) ta được $(x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0$

Đặt $t=(x+y)$

$\Rightarrow t^{3}+t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{3}+2t^{2}+2t-t^{2}-2t-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t(t^{2}+2t+2)-(t^{2}+2t+2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+2t+2)\geq 0$

Mà $t^{2}+2t+2=t^{2}+2t+1+1=(t+1)^{2}+1\geq 1> 0$

$\Rightarrow t-1\geq 0$

$\Leftrightarrow x+y\geq 1$

Mặt khác $(x-y)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow 2x^{2}-x^{2}-2xy+2y^{2}-y^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$ (Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$)

Lại có $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 4x^{2}y^{2}\Rightarrow \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}\geq x^{2}y^{2}$
$\Rightarrow P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$
         $=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+1$
         $\geq 3[(x^{2}+y^{2})^{2}-\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}]-2(x^{2}+y^{2})+1$
         $\geq \frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1$
Đặt $a=x^{2}+y^{2}$ (Điều kiện $a\geq \frac{1}{2}$)
$f(a)= \frac{9}{4}a^{2}-2a+1,a\geq \frac{1}{2}$
$f(a)\geq f(\frac{1}{2})=\frac{9}{16}$
Vậy $P_{min}=\frac{9}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

 

Chỗ này sai rồi Chưa khẳng định $f(a)\geq f(\frac{1}{2})$ vì f(a) có -2a nên chưa chắc chắn

MSS54:

 

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm $x^2;y^2$ thì $x^2+y^2 \geq 2.\sqrt{x^2y^2}=2|xy|$ (1)

 

$\Rightarrow (x+y)^2 \geq 4xy \Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2 \geq (x+y)^3+4xy \geq 2$

 

$\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2 \geq 0 \Rightarrow (x+y-1)[(x+y)^2+2(x+y)+2] \geq 0$

 

Mà $(x+y)^2+2(x+y)+2=(x+y+1)^2+1 \geq 1>0$ nên có $x+y-1 \geq 0 \Rightarrow x+y \geq 1$

 

Cũng từ (1) ta có $x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2} \geq \frac{1}{2}$ (2) và $(x^2+y^2)^2 \geq 4x^2y^2 $ (3)

 

Ta biến đổi P và áp dụng các BĐT (2) và (3) ta có:

 

$P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1 \\ =3[(x^2+y^2)^2-2.x^2y^2+x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1 \\ =3[(x^2+y^2)^2-x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1 \\ \geq 3 \Big[ (x^2+y^2)^2-\frac{(x^2+y^2)^2}{4} \Big] -2(x^2+y^2)+1 \\ =\frac{9}{4}.(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1 \\ = \Big\{ \Big[ \frac{3}{2}.(x^2+y^2) \Big] ^2-2.\frac{3}{2}(x^2+y^2).\frac{3}{4} + \frac{9}{16} \Big\} + \Big[ \frac{1}{4}(x^2+y^2)+\frac{7}{16} \Big] \\ =$ \Big[ \frac{3}{2}.(x^2+y^2).\frac{3}{4} \Big] ^2$+ \Big[ \frac{1}{4}(x^2+y^2)+\frac{7}{16} \Big] \\ \geq 0+ \Big( \frac{1}{4}.\frac{1}{2}+\frac{7}{16} \Big) \\ =\frac{9}{16}$

 

Tức ta có $P \geq \frac{9}{16}$

 

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x^2=y^2 & \\ (x+y)^3+4xy=2 & \\ x+y=1 & \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Vậy Max $P=\frac{9}{16}$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

Phải là $(\frac{3}{2}.(x^{2}+y^{2})-\frac{3}{4})^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: P=3$(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1 \geq 9\sqrt[3]{x^{6}y^{6}}-4\sqrt[2]{x^{2}y^{2}}+1 = 9x^{2}y^{2}-4xy+1$ (1)

Áp dụng bđt phụ :$(x+y)^{2}\geq 4xy\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq 2\Rightarrow (x+y)^{2}(x+y+1)\geq 2$ 

Đặt x+y=a$\Rightarrow a^{2}(a+1)\geq 2\Rightarrow a^{3}+a^{2}-2\geq 0\Rightarrow a\geq 1\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta phân tích được :$(1)\geq \frac{9}{16}$

 Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y và x+y=1\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Vậy Min P =$\frac{9}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Chỗ màu đỏ : có dấu "-" nên AM-GM làm sao được

Chỗ màu xanh :phân tích kiểu gì bạn

 

Đặt $A= x+y$, $B=xy$, t= $x^{2}+y^{2}$

Vì $\left ( x-y \right )^{2}\geq 0$ nên $\left ( x+y \right )^{2}\geq 4xy$ tức là $A^{2}\geq 4B$

Từ giả thuyết $\Rightarrow A^{3}+A^{2}\geq A^{3}+4B\geq 2$

Do đó $A^{3}+A^{2}-2\geq 0\Leftrightarrow \left ( A-1 \right )\left ( A^{2}+2A+2 \right ) \geq 0$

$\Leftrightarrow A=1$ vì $A^{2}+2A+2=\left ( A+1 \right )^{2}+1> 0$

Do đó $t=x^{2}+y^{2}= \frac{1}{2}\left [ \left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2} \right ] \geq \frac{1}{2}\left ( x+y \right )^{2}= \frac{1}{2}A^{2}\geq \frac{1}{2}$

$P=\frac{3}{4}\left [ 3\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}+\left ( x^{2}-y^{2} \right )^{2} \right ]-2\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1$

$P\geq \frac{9}{4}\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}-2\left ( x^{2}+y^{2}\right ) + 1=\frac{9}{4}t^{2}-2t+1=\left ( \frac{3}{2}t-\frac{2}{3} \right )^{2}+\frac{5}{9}$

Vì $t\geq \frac{1}{2}$ nên $\frac{3}{2}t-\frac{2}{3}\geq \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{2}{3}= \frac{1}{12}$

$\Rightarrow P\geq \left ( \frac{1}{12} \right )^{2}+\frac{5}{9}=\frac{9}{16}$

Dấu "=" xảy ra khi $x= y$ và $x+y=1\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Vậy GTNN của $P$ là $\frac{9}{16}$ đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$

Nhầm dòng này $A\geq 1$


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#54 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 04-03-2014 - 12:13

$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^3+4xy\geq 2\\ (x+y)^2-4xy\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x+y)^3+(x+y)^2\geq 2\Leftrightarrow (x+y)\geq 1$$

mà $$2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2  \Leftrightarrow x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{1}{2}$$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Ta có :

$$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=[3\left ( x^2+y^2 \right )^2-x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1\geq 3(x^2+y^2)^2-3.\frac{(x^2+y^2)^2}{4}-$2(x^2+y^2+1) (1)$$

Đặt $$x^2+y^2=a,a\geq \frac{1}{2}$$

Xéf $$f(x;y)=3(x^2+y^2)^2-3.\frac{(x^2+y^2)^2}{4}-$2(x^2+y^2+1)$\Rightarrow f(a)=\frac{9}{4}a^2-2a+1$$

Do $\frac{9}{4}>0$ nên hàm $f(x;y)$ đồng biến khi $a>\frac{4}{9}$

mà $$a\geq \frac{1}{2}>\frac{4}{9}$$

nên $$f(x;y)=f(a)\geq f(\frac{1}{2})=\frac{9}{16}(2)$$

$$(1)(2)\Rightarrow P \geq \frac{9}{16}$$

Vậy $$\boxed{Min_{P}=\dfrac{9}{16} \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}}$$

Phải là $-2(x^{2}+y^{2})+1$!


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#55 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 04-03-2014 - 17:31

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$(*) . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Bài làm:

P=3x4+3y4+3x2y2-2x2-2y2+$\frac{1}{3}$.3

P=3(x4-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{1}{9}$)+3(y4-$\frac{2}{3}$y2+$\frac{1}{9}$)+3x2y2+$\frac{1}{3}$

P=3(x2-$\frac{1}{3}$)2+3(y2-$\frac{1}{3}$))2+3x2y2+$\frac{1}{3}$

Nhận thấy:3(x2-$\frac{1}{3}$)2+3(y2-$\frac{1}{3}$))2$\geq 0$

                 3x2y2$\geq 0$

Vậy nên để P có min thì cặp số x,y phải thoả mãn 1 trong hai điều kiện sau:3(x2-$\frac{1}{3}$)2+3(y2-$\frac{1}{3}$))2=0

                                                                                                                       3x2y2=0

 

*Trường hợp 1:3x2y2=0

Theo bài toán đầu đề thì ta nhận thấy x,y không thể cùng bằng 0

Mà theo trường hợp thì x=0 hoặc y=0

Giả sử x=0 và y=m,thay x=0 vào bài toán đầu bài(*) ta có được y$\geq$$\sqrt[3]{2}$

Thay x=0,y$\geq$$\sqrt[3]{2}$ vào P ta có=3(0-$\frac{1}{3}$)2+3(y2-$\frac{1}{3}$)2+0+$\frac{1}{3}$$\geq$5,4(1)

*Trường hợp 2 :3(x2-$\frac{1}{3}$)2+3(y2-$\frac{1}{3}$))2=0

=>x=$\sqrt{\frac{1}{3}}$ hoặc x=$-\sqrt{\frac{1}{3}}$và y=$-\sqrt{\frac{1}{3}}$ hoặc y=$\sqrt{\frac{1}{3}}$

vậy nên ta sẽ có được 4 cặp số thoả mãn trường hợp

Thay lần lượt 4 cặp số vừa tìm được vào bài toán đầu bài(*) thì ta chỉ nhận được 1 cặp số x,y thoả mãn là:

(x,y)=($\sqrt{\frac{1}{3}}$;$\sqrt{\frac{1}{3}}$)

Thay cặp x,y ở trên vào P ta có P$\geq \frac{2}{3}$(2)

Từ (1),(2) suy ra P$\geq \frac{2}{3}$ cho nên Min của P là $\frac{2}{3}$. dấu bằng xảy ra khi x=y=$\sqrt{\frac{1}{3}}$

Phần này sai. Vì bạn chọn nhầm điểm rơi.  $\left ( x-\frac{1}{3} \right )^{2}+\left ( y-\frac{1}{3} \right )^2+x^2y^2$ nhỏ nhất khj ba số bằng nhau theo cách của bạn


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#56 huukhangvn

huukhangvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nhà của tui
  • Sở thích:nói chung là có

Đã gửi 06-03-2014 - 11:29

Phần này sai. Vì bạn chọn nhầm điểm rơi.  $\left ( x-\frac{1}{3} \right )^{2}+\left ( y-\frac{1}{3} \right )^2+x^2y^2$ nhỏ nhất khj ba số bằng nhau theo cách của bạn

anh có thể nói rõ hơn không ạ?



#57 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 15-03-2014 - 16:20

Bài làm của MSS 34:

 

Áp dụng bđt $4ab\leq (a+b)^{2}$ với mọi $a,b$:

$4xy\leq (x+y)^{2}$$\Leftrightarrow 2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}$

Đặt $x+y=t$

Bpt trở thành: $t^{3}+t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{3}-t^{2}+2t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{2}(t-1)+2(t-1)(t+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+2t+2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)\geq 0$ (do $t^{2}+2t+2=t^{2}+2t+1+1=(t+1)^{2}+1> 0$ mọi $t$ )

$\Leftrightarrow t\geq 1$

$\Rightarrow x+y\geq 1$

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 1$

mà $2x^{2}+2y^{2}\geq (x+y)^{2}$ với mọi $x,y$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}\geq 1$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

Ta có:$A=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1= 3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-3x^{2}y^{2}+1$

Áp dụng bđt $ab\leq \frac{(a^{2}+b^{2})}{2}$ với mọi $a,b$

$3x^{2}y^{2}\leq \frac{3(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}$

nên $3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-3x^{2}y^{2}+1\geq 3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-\frac{3(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}+1=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-\frac{9}{16}-2(x^{2}+y^{2})+1+\frac{9}{16}=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})(x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2})-2(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})+\frac{9}{16}=(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})(\frac{9}{4}x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}-\frac{7}{8})+\frac{9}{16}\geq \frac{9}{16}$

 (do $x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$)

Vậy $Min A =\frac{9}{16}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}= \frac{1}{2}$ và $x=y$$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm 10 .

Đoạn đấu = bạn thiếu điều kiên x+y=1 (thiếu điều kiện này bạn không thể suy ra $x= y= \frac{1}{2}$ được )

Đoạn tô màu đỏ là bất đăng thức BCS



#58 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 15-03-2014 - 21:09

Sao bài làm của em ở chỗ '' Suy ra'' đó là sai vậy TRỌNG TÀI . ???

Nhờ TRỌNG TÀI giải thích rõ dùm em ạ !!!



#59 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 15-03-2014 - 22:29

 Một số bài khác có sai cả phần sử dụng BĐT AM - GM nhưng chỉ bị trừ 1 điểm thôi, bài của em chỉ đánh sai dấu - thành dấu . (lỗi đánh máy) mà trừ mất 2 điểm. Bài làm của em sao bị trừ nặng thế ạ?



#60 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 16-03-2014 - 06:27

Cho em hỏi sao bài em vẫn chưa có điểm vậy ạ ?


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh