Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 4 - Bất đẳng thức

mss 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 76 trả lời

#61 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-03-2014 - 20:49

ta có: $4xy\leq(x+y)^2 \leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0 \leftrightarrow  x=y$

từ đó suy ra $2\leq (x+y)^3+4xy\leq (x+y)^3+(x+y)^2$

từ đó tương đương với $(x+y)^3+(x+y)^2\geq 2\Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2)\geq 0$

mà $((x+y)^2+2(x+y)+2)\geq0$ với mọi x,y nên suy ra $x+y-1\geq 0 \leftrightarrow x+y\geq 1$ (1)

lại có $A=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1=3(x^2+y^2)^2-3x^2y^2-2(x^2+y^2)+1=2((x^2+y^2)^2+\frac{1}{4})+\frac{1}{2}-3x^2y^2-2(x^2+y^2)$ ???

hay $ A\geq 2(x^2+y^2)-2(x^2+y^2)+(x^2+y^2)^2-3(\frac{x^2+y^2}{2})^2+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.(x^2+y^2)^2+\frac{1}{2}$

mà $x^2+y^2\geq 2xy \leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\geq 1^2=1$

từ đó suy ra $ A\geq 0+ \frac{1}{16}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$

vậy $min A=\frac{9}{16}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

Phần màu đỏ không rõ ràng .

 

Không chấm.

em có thử lại đoạn màu đỏ này  vẫn dịch bình thường trên latex mà sao ko dịch đc trên này nhỉ, mong BTC xem lại hộ :(

File gửi kèm


 B.F.H.Stone


#62 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 27-04-2014 - 18:57

Theo BĐT Bunhiacopxki và AM-GM có:$x+y\leq \sqrt{2(x^2+y^2)},4xy\leq 2(x^2+y^2)$ (Sai)

$= > 2\leq (x+y)^3+4xy\leq (\sqrt{2(x^2+y^2)})^3+2(x^2+y^2)$

Đặt $\sqrt{2(x^2+y^2)}=a\geq 0= > 2\leq a^2+a^3= > a^2(a-1)+2(a-1)(a+1)\geq 0= > (a-1)(a^2+2a+2)\geq 0= > a-1\geq 0= > a\geq 1= > \sqrt{2(x^2+y^2)}\geq 1= > x^2+y^2\geq \frac{1}{2}$

(Do $a^2+2a+2=(a+1)^2+1> 0$)

Ta có:$x^4+y^4+x^2y^2=(x^2+y^2)^2-x^2y^2\geq (x^2+y^2)^2-\frac{(x^2+y^2)^2}{4}=\frac{3(x^2+y^2)^2}{4}= > P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1\geq \frac{9(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2)+1= > 4P\geq 9(x^2+y^2)^2-8(x^2+y^2)+4=9(x^2+y^2)(x^2+y^2-\frac{1}{2})-\frac{7}{2}(x^2+y^2-\frac{1}{2})+\frac{9}{4}=(x^2+y^2-\frac{1}{2})(9(x^2+y^2)-\frac{7}{2})+\frac{9}{4}\geq \frac{9}{4}= > 4P\geq \frac{9}{4}= > P\geq \frac{9}{16}$

(Do $x^2+y^2\geq \frac{1}{2}= > x^2+y^2-\frac{1}{2}\geq 0,9(x^2+y^2)-\frac{7}{2}\geq 9.\frac{1}{2}-\frac{7}{2}=1> 0= > (x^2+y^2-\frac{1}{2})(9(x^2+y^2)-\frac{7}{2})\geq 0$)

 Do đó $P$ Min =$=\frac{9}{16}< = > x=y,x^2+y^2=1,(x+y)^3+4xy=2< = > x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm 9.

$1/$ Anh Hoang Tung 126 không tham gia MSS, vì vậy không cần chấm điểm

$2/$ Anh namcpnh chấm $d$ mà không chấm $S$ ạ

$3/$ Chưa chấm ai bị loại à anh.

 

Anh Hoang Tung 126 chấm lại $S$ đi.



#63 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 27-04-2014 - 19:21

Bài làm của MSS$42$ 

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có : $\blacksquare$ $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{4}(x+y)^{2}$

$\blacksquare$ $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}(x+y)^{2}$

Theo giả thiết ta có : 

$(x+y)^{3}+4xy\geq 2\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0$ ( vì $(x+y)^{2}\geq 4xy$ ) ( $=>$ là sai ).

$\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y)^{2}+2(x+y)+2]\geq 0$

Vì $(x+y)^{2}+2(x+y)+2=(x+y+1)^{2}+1> 0$

$\Rightarrow x+y-1\geq 0\Leftrightarrow x+y\geq 1$

Ta có : 

$P=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+1$

$=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-\frac{1}{4}[(x^{2}+y^{2})^{2}]-(x^{2}-y^{2})^{2}]]-2(x^{2}+y^{2})+1$

$=\frac{9}{4}[x^{2}+y^{2}-\frac{4}{9}]^{2}+\frac{3}{4}(x^{2}-y^{2})^{2}+\frac{5}{9}$

Vì $1\leq (x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

Lại có $(x^{2}-y^{2})^{2}\geq 0$ với mọi $x,y\in R$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}(\frac{1}{2}-\frac{4}{9})^{2}+\frac{5}{9}=\frac{9}{16}$

Vậy $P_{Min}=\frac{9}{16}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm : 9đ

Vì sao chỗ đỏ của em đó là sai vậy TRỌNG TÀI



#64 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 27-04-2014 - 21:37

Vì sao chỗ đỏ của em đó là sai vậy TRỌNG TÀI

Trọng tài chấm sai rồi kìa :) (Vẫn 9 điểm à)
$(x+y)^3+(x+y)^2-2\geq (x+y)^3+4xy-2\geq 0$



#65 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 13-07-2014 - 22:54

em có thử lại đoạn màu đỏ này  vẫn dịch bình thường trên latex mà sao ko dịch đc trên này nhỉ, mong BTC xem lại hộ :(

 

Em đã nhầm giữa số 2 và số 3, em xem lại đi . Tuy nhiên bài này anh vẫn sẽ chấm cho em.

 

 Một số bài khác có sai cả phần sử dụng BĐT AM - GM nhưng chỉ bị trừ 1 điểm thôi, bài của em chỉ đánh sai dấu - thành dấu . (lỗi đánh máy) mà trừ mất 2 điểm. Bài làm của em sao bị trừ nặng thế ạ?

 

Ang trừ em 2 lỗi nhé : 

1) Sử dụng sai định lý (1đ) 

2) Gõ $Latex$ sai (1đ ) 

 

 

$1/$ Anh Hoang Tung 126 không tham gia MSS, vì vậy không cần chấm điểm

$2/$ Anh namcpnh chấm $d$ mà không chấm $S$ ạ

$3/$ Chưa chấm ai bị loại à anh.

 

Anh Hoang Tung 126 chấm lại $S$ đi.

 

Vậy anh sẽ xóa điểm bài này .

 

 

Vì sao chỗ đỏ của em đó là sai vậy TRỌNG TÀI

 

Thật ra không sai nhưng anh muốn em trình bày khoa học hơn . Bài này a sẽ chấm tối đa điểm.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#66 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 13-07-2014 - 23:18

Bài này đã chấm xong, nhờ ai đó tổng kết điểm và lên bảng điểm dùm . Ai có ý kiến gì cứ đăng trong topic này.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#67 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 14-07-2014 - 00:01

Bài này đã chấm xong, nhờ ai đó tổng kết điểm và lên bảng điểm dùm . Ai có ý kiến gì cứ đăng trong topic này.

Cày đem à anh @@ Tý xem WC luôn ^^

Em không hiểu anh chấm bài thế nào, anh chấm mỗi thang điểm 10, trong khi MSS 1;2;... các BTC khác chấm theo thang 10 và một thang khác (d và S)

 

Do trận 3 chưa tổng điểm nên em chỉ giúp anh được phần kết quả trận 4 chứ không làm bảng hoàn chỉnh được!

File gửi kèm  MSS04.xls   28K   1 Số lần tải

File gửi kèm  MSS04.png   29.4K   0 Số lần tải

 

Trong quá trình tổng điểm, em thấy bài giải của Trang Luong nhưng là giải thay Phạm Anh Quân (trong bài giải có ghi là "nick trên diễn đàn: Phạm Anh Quân")

Nhưng hình như trong list thí sinh không có bạn này hoặc bạn ấy đổi tên ???

Bài ấy được 8đ



#68 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 14-07-2014 - 00:05

Anh lâu lắm không lên nên cũng không chú ý . Anh chỉ được phân công chấm chứ không có biết các khoản còn lại. Em cứ đăng lên thế đi , để thầy Thế vào xem lại .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#69 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 14-07-2014 - 12:35

Bài làm của MSS 13 buiminhhieu:Bùi Minh Hiếu

Bài làm:

Ta có với mọi số thực x,y thì $(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy$

Do đó từ giả thiết ta được $2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^{2}+2)\geq 0\Rightarrow x+y\geq 1$

Lại có $(x-y)^{2}\geq 0\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\Rightarrow$

$x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

Ta có:

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1=(x^{2}+y^{2}-1)^{2}+2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}$

$\geq (\frac{1}{2}-1)^{2}+(x^{2}+y^{2})^{2}+x^{2}y^{2}$(Do $2(x^{4}+y^{4})\geq (x^{2}+y^{2})^{2}$(Theo BĐT cauchy-schawrz)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

$((x^{2}+y^{2})^{2}+(\left |xy \right |)^{2})(4+1)\geq (2(x^{2}+y^{2})+\left | xy \right |)^{2}\geq (2(x^{2}+y^{2})+xy)$

$=(\frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{3(x^{2}+y^{2})}{2})^{2}\geq (\frac{1}{2}+\frac{3}{2}.\frac{1}{2})^{2}=\frac{25}{16}$

$\Rightarrow 2(x^{4}+y^{4})+x^{2}y^{2}\geq \frac{5}{16}\Rightarrow P\geq \frac{1}{4}+\frac{5}{16}=\frac{9}{16}$

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Vậy $P_{min}=\frac{9}{16}$ Tại $x=y=\frac{1}{2}$

 

Màu đỏ sai .

 

Điểm 3đ

Sai chỗ nào anh chỉ hộ em với


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#70 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 14-07-2014 - 15:04

Sai chỗ nào anh chỉ hộ em với

$x^2+y^2-1\geq -\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2-1)\geq \frac{1}{4}$  :excl:  :excl:  :excl:

Sai nè!



#71 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 15-07-2014 - 18:08

Ang trừ em 2 lỗi nhé : 

1) Sử dụng sai định lý (1đ) 

2) Gõ $Latex$ sai (1đ ) 

 

 

 

Anh ơi latex em có sai đâu? Anh tô màu đỏ 1 đoạn trong công thức dãy latex em viết nên cả đoạn biến đổi đấy không hiển thị được chứ không phải em gõ sai mà -_-



#72 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 15-07-2014 - 18:29

Rồi ok, lỗi của anh, anh sẽ sửa điểm cho em . Em nhắn tin cho thầy E.Galois sửa điểm cho em .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 15-07-2014 - 18:31

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#73 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 15-07-2014 - 20:25

$x^2+y^2-1\geq -\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2-1)\geq \frac{1}{4}$  :excl:  :excl:  :excl:

Sai nè!

Uh sai đâu???

viết ở dưới mà??


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#74 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 15-07-2014 - 20:27

Uh sai đâu???

viết ở dưới mà??

Chưa xác định âm dương sao mà bình phương

Giả sử $x^2+y^2-1=\frac{-1}{4}$ bình phương lên xem có $\geq \frac{1}{4}$ không?



#75 toanhoc2017

toanhoc2017

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Đã gửi 20-12-2017 - 21:31

Nhiều cách giải rất hay ,cảm ơn anh em nhé

#76 Finnd

Finnd

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 17-01-2018 - 21:14

Ta có: ab= 1/4[ (a+b)^2 -(a-b)^2] =< 1/4(a+b)^2 và a^2+b^2= 1/2[ (a+b)^2 +(a-b)^2] >= 1/2(a+b)^2

 

Lại có (a+b)^3 +4ab >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + [(a+b)^2 -(a-b)^2] >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + (a+b)^2 -2 >= (a-b)^2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 - (a+b)^2 +2(a+b)^2 -2(a+b) +2(a+b) -2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1)[ (a+b)^2 +2(a+b) +2] >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1) >=0 $\Leftrightarrow$ a+b >=1

 

Khi đó A= 3 { (a^2+b^2)^2 - 1/4[ (a^2+b^2)^2 -(a^2-b^2)^2]} -2(a^2+b^2) +1

             = 9/4(a^2+b^2 -4/9)^2 +3/4(a^2-b^2) +5/9

Do 1 =< (a+b)^2 =< 2(a^2+b^2) $\Rightarrow$ a^2+b^2 >= 1/2 , (a^2-b^2) >=0 .

  Vậy A >= 9/4[1/2-4/9]^2 +3/2*0^2 +5/9 = 9/16 $\Rightarrow$ min A =9/16 $\Leftrightarrow$ a=b=1/2



#77 Finnd

Finnd

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 17-01-2018 - 21:18

Ta có: ab= 1/4[ (a+b)^2 -(a-b)^2] =< 1/4(a+b)^2 và a^2+b^2= 1/2[ (a+b)^2 +(a-b)^2] >= 1/2(a+b)^2

 

Lại có (a+b)^3 +4ab >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + [(a+b)^2 -(a-b)^2] >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + (a+b)^2 -2 >= (a-b)^2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 - (a+b)^2 +2(a+b)^2 -2(a+b) +2(a+b) -2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1)[ (a+b)^2 +2(a+b) +2] >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1) >=0 $\Leftrightarrow$ a+b >=1

 

Khi đó A= 3 { (a^2+b^2)^2 - 1/4[ (a^2+b^2)^2 -(a^2-b^2)^2]} -2(a^2+b^2) +1

             = 9/4(a^2+b^2 -4/9)^2 +3/4(a^2-b^2) +5/9

Do 1 =< (a+b)^2 =< 2(a^2+b^2) $\Rightarrow$ a^2+b^2 >= 1/2 , (a^2-b^2) >=0 .

  Vậy A >= 9/4[1/2-4/9]^2 +3/2*0^2 +5/9 = 9/16 $\Rightarrow$ min A =9/16 $\Leftrightarrow$ a=b=1/2

New hope, new life.







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh