Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 4 - Tổ hợp, xác suất, số phức

mhs 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 30 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-02-2014 - 17:37

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 28/2/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

 

 

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.


Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 
Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Thành viên diễn đàn không đăng kí thi đấu vẫn có thể giải bài, nhưng phải ghi rõ là: Mình không phải là toán thủ thi đấu

 

4) Sau trận này, 01 toán thủ đứng cuối cùng của bảng xếp hạng sẽ bị loại khỏi giải đấu.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-02-2014 - 20:52

Có bao nhiêu cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam sao thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.

Đề thi của 

BoFaKe


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 28-02-2014 - 22:07

 

Có bao nhiêu cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam sao thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.

Đề thi của 

BoFaKe

coi $4$ bạn nữ là như nhau , $8$ bạn nam cũng như nhau.

Giả sử $8$ bạn nam đứng yên khi đó ta sẽ xếp $4$ bạn nữ vào đứng 

 khi đó ta có tất cả $9$ chỗ có thể đứng cho $4$ bạn suy ra có $C_{9}^{4}$ cách chọn

nhưng không thể coi các bạn nữ và nam là như nhau nên ta phải hoán vị các bạn nữ với nhau, các bạn nam với nhau

Vì vậy số cách xếp tất cả là $8!.4!.C_{9}^{4}=121927680$ thỏa mãn đề bài

 

$\boxed{ĐIỂM BÀI LÀM:} 10$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 09-03-2014 - 10:39
CHẤM BÀI


#4 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 28-02-2014 - 22:12

Mở rộng: Có bao nhiêu cách xếp cho $m+n$ bạn trong đó có $m$ bạn nữ và $n$ bạn nam $(n>m)$ thành $1$ hàng dọc sao cho giữa $2$ người nữ phải có ít nhất $1$ người nam

Bài làm

 

coi $m$ bạn nữ là như nhau , $n$ bạn nam cũng như nhau.

Giả sử $n$ bạn nam đứng yên khi đó ta sẽ xếp $m$ bạn nữ vào đứng 

 khi đó ta có tất cả $n+1$ chỗ có thể đứng cho $m$ bạn suy ra có $C_{n+1}^{m}$ cách chọn

nhưng không thể coi các bạn nữ và nam là như nhau nên ta phải hoán vị các bạn nữ với nhau, các bạn nam với nhau

Vì vậy số cách xếp tất cả là $n!.m!.C_{n+1}^{m}$ cách thỏa mãn đề bài



#5 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 28-02-2014 - 22:37

Có bao nhiêu cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam sao thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.

Đề thi của 

BoFaKe

MHS09

Theo đề thì thứ tự hai bạn đầu và cuối hàng sẽ là: Nữ; Nam; ...; Nam; Nữ (Trường hợp Nam; Nam; Nữ; Nam; Nữ; Nam; Nam; Nữ; Nam; Nam; Nam; Nữ thì sao bạn ?)

Như vậy bài toán trở thành tìm số cách sắp xếp $8$ bạn gồm $2$ nữ và $6$ nam thành một hàng sao cho không có bạn nữ nào kề nhau.

Suy ra số cách sắp xếp $2$ bạn nữ trong $8$ bạn nói trên là: $\frac{8!}{6!}=56$ (cách)

Số cách sắp xếp sao cho $2$ bạn nữ kề nhau trong $8$ bạn nói trên là: $7$ (cách)

Số cách sắp xếp sao cho không có bạn nữ nào kề nhau là: $56-7=49$ (cách)

Suy ra có $49$ cách sắp xếp thỏa đề bài. (Cách sắp xếp theo thứ tự A, B, C..... nó khác với B, A, C chứ bạn vì mỗi bạn đều có tên riêng mà.)

Đáp số: $49$ cách

 

$\boxed{ĐIỂM BÀI LÀM:} 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 09-03-2014 - 10:47

  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#6 motdaica

motdaica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:toán học,VMO,lịch sử

Đã gửi 28-02-2014 - 23:20

TOÁN THỦ :MHS012

Đánh số thứ tự các vị trí từ 1 đến 15,gọi các vị trí của nữ  lần lượt là $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$

Ta có bổ đề sau : Cho 4 số tự nhiên $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ phân biệt (có thể liền nhau) thỏa mãn $1\leq x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}\leq k$ thì số các số tự nhiên thỏa mãn là $C_{k}^{4}$

Chứng minh bổ đề: Ta có với 4 số tự nhiên bất kì được chọn từ tập $\left [ 1;k \right ]$ thì chỉ có duy nhất 1 cách sắp xếp từ bé đến lớn theo bổ đề => số số tự nhiên thỏa mãn là $C_{k}^{4}$

Bài giải :(trở lại đề bài ):

Vì giữa 2 nữ có ít nhất 1 nam nên ta có điều kiện $x_{2}-x_{1}\geq 2,x_{3}-x_{2}\geq 2,x_{4}-x_{3}\geq 2$.Để đưa về bài toán bổ đề với 4 số tự nhiên phân biệt bất kì thì  ta thấy

$x_{2}-x_{1}> 1,x_{3}-x_{2}> 1,x_{4}-x_{3}> 1$

Từ dãy :$1\leq x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}\leq 12$ =>$1\leq x_{1}< x_{2}-1< x_{3}-2< x_{4}-3\leq 9$.

Đặt $x_{1}=y_{1},x_{2}-1=y_{2},x_{3}-2=y_{3},x_{4}-3=y_{4}$ thì ta có

$1\leq y_{1}< y_{2}< y_{3}< y_{4}\leq 9$ sẽ là dãy 4 số tự nhiên phân biệt bất kì

Theo bổ đề thì số cách chọn các số tự nhiên đó là $C_{9}^{4}$ hay số cách chọn chỗ ngồi cho 4 bạn nữ là $C_{9}^{4}$

Vì 4 bạn nữ có thể đổi chỗ cho nhau nên số cách ngồi của các bạn nữ là $4!C_{9}^{4}$

Còn 8 chỗ còn lại cho các bạn nam ngồi thì số cách ngồi là $8!$

Vậy số cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam  thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam là $8!4!C_{9}^{4}$ $= 121927680$ (cách).

 

$\boxed{\text{ĐIỂM BÀI LÀM}}: 10$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 15-03-2014 - 19:37


#7 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 01-03-2014 - 09:04

Kí hiệu những người nữ là $G$, những người nam là $B$

Sô cách xếp $12$ người thành hàng dọc mà vị trí ngồi bất kì là $12.11.10....1=12!$

Bây giờ ta sẽ đi tìm số cách xếp các $G$ thành hàng dọc mà có ít nhất $2G$ ngồi cạnh nhau 

TH1: Có $2G$ ngồi cạnh nhau

Đặt $2G=x$, số cách để $x$ và $10$ người còn lại ngồi thành hàng dọc là $11!$

Mà có $4G$ nên số cách ngồi để thỏa mãn trường hợp này là $11!.\textrm{A}_{4}^{2}=12.11!$

TH2: Có $3G$ ngồi cạnh nhau 

Tương tự ta có số cách ngồi thỏa mãn trường hợp này là $10!.\textrm{A}_{4}^{3}=24.10!$

TH4: Có $4G$ ngồi cạnh nhau 

Số cách thỏa mãn là $19!.\textrm{A}_{4}^{4}=24.9!$

Vậy số cách thỏa mãn đề bài đã cho là $12!-6.11!-24.10!-24.9!=143700480$ cách

 

Bài làm của bạn sử dụng phần bù đúng nhưng không chặt. Cụ thể ở TH1 bạn chỉ xét đến yếu tố chỉ 2G cạnh nhau nên đã bị trùng với TH4, tức giả sử ở TH1 mình đã chọn được 2G, thì 2G còn lại mình có quyền xếp dưới hàng của 2G kia tạo thành 4G đứng chung với nhau, trùng với TH4. Tương tự với TH2, TH3 bạn cũng bị trùng.

 

$\boxed{ĐIỂM BÀI LÀM:} 5.0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 09-03-2014 - 11:17

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#8 TonnyMon97

TonnyMon97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kiên giang
  • Sở thích:Vừa nghe nhạc vừa làm bài

Đã gửi 01-03-2014 - 09:46

Gọi A:"cách xếp 12 người thành một hàng dọc"

       B:"cách xếp 12 người thành một hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ không có người nam nào"

       C:"cách xếp 12 người thành một hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ có ít nhất 1 người nam"

-Mỗi cách xếp 12 người vào một hàng dọc là một hoán vị của 12 phần tử. Nên có tất cả $12!$ cách xếp 12 người vào một hàng dọc. 

$\Rightarrow n(A)=12!=479001600$

-Cách xếp 12 người thành một hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ không có người nam nào:

+Đầu tiên ta xếp 1 nhóm gồm 4 người nữ liên tiếp. Nên có $12-4+1=9$ cách xếp.

+Sau đó, ứng với mỗi cách xếp 1 nhóm như thế ta hoán vị 4 người nữ có $4!$ cách, và hoán vị 8 người nam có $8!$ cách.

Theo qui tắc nhân ta có $9.4!.8!=8709120$ cách xếp như đã nêu.

$\Rightarrow n(B)=8709120$

Sử dụng phần bù ta có: $n(A)=n(B)+n(C)$  hay $n(C)=n(A)-n(B)=479001600-8709120=470292480$

Tóm lại: Có 470292480 cách xếp thỏa yêu câu đề bài.


                          "Số nguyên tố là để nhân chứ không phải để cộng."
                                                                                                                       Lev Landau

#9 TonnyMon97

TonnyMon97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kiên giang
  • Sở thích:Vừa nghe nhạc vừa làm bài

Đã gửi 01-03-2014 - 10:13

Cho em nói trước tại đó giờ em không biết mở rộng là gì. Nhưng em nghĩ là vậy, nếu có sai xin mọi người đừng cười.

Đề: Có bao nhiêu cách xếp n người gồm k người nữ là (n-k) người nam thành một hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ có ít nhất một người nam.

$(n \ge 4 ;n \ge k \ge 3;n,k \in Z)$

Giải:

Gọi A:"cách xếp n người thành một hàng dọc"

       B:"cách xếp n người thành một hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ không có người nam nào"

       C:"cách xếp n người thành một hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ có ít nhất 1 người nam"

-Mỗi cách xếp n người thành một hàng dọc là một hoán vị của n phần tử. Nên có $n!$ cách xếp

$$\Rightarrow n(A)=n!$$

-Xếp n người thành một hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ không có người nam nào.

+Đầu tiên ta xếp k người nữ liên tiếp vào một nhóm. Nên có $n-k+1$ cách xếp.

+Sau đó, ứng với mỗi cách xếp ta hoán vị k người nữ có k! cách và hoán vị (n-k) người nam có (n-k)! cách.

Theo qui tắc nhân có $(n-k+1).k!(n-k)!$ cách xếp như trên.

$\Rightarrow n(B)=(n-k+1).k!(n-k)!$

Theo phần bù thì $n(A)=n(B)+n(C)$ hay $n(C)=n(A)-n(B)=n!-(n-k+1).k!(n-k)!=n!-(n-k+1)!.k!$


                          "Số nguyên tố là để nhân chứ không phải để cộng."
                                                                                                                       Lev Landau

#10 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 01-03-2014 - 20:36

Có bao nhiêu cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam sao thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.

Đề thi của 

BoFaKe

Vì không xem kĩ đề nên sai trầm trọng, em xin làm lại bài

MHS09

Bài giải:

Theo đề, giữa $2$ nữ phải ít nhất $1$ nam thì ta có thể hiểu rằng không có $2$ nữ nào đứng kề nhau.

$*)$ Số cách sắp xếp $4$ nữ trong đội hình $12$ bạn thành một hàng là: $A_{12}^{4}=11880$ cách

$*)$ Số cách sắp xếp các bạn sao cho $4$ nữ đứng kề nhau: $9A_{4}^{4}=216$ cách

$*)$ Số cách sắp xếp các bạn sao cho $2$ nữ đứng kề nhau ở đầu hàng hoặc cuối hàng và chỉ có nhiều nhất $2$ bạn nữ kề nhau:

$2A_{9}^{2}A_{4}^{2}=1728$ cách

$*)$ Số cách sắp xếp các bạn sao cho $2$ nữ đứng kề nhau nhưng $2$ bạn này không đứng ở đầu hàng hay cuối hàng và chỉ có nhiều nhất $2$ bạn nữ kề nhau: $9A_{8}^{2}A_{4}^{2}=6048$ cách

$*)$ Số cách sắp xếp các bạn sao cho $3$ nữ đứng kề nhau ở đầu hàng hoặc cuối hàng và chỉ có nhiều nhất $3$ bạn nữ kề nhau:

$2A_{8}^{1}A_{4}^{3}=384$ cách

$*)$ Số cách sắp xếp các bạn sao cho $3$ nữ đứng kề nhau nhưng $3$ bạn này không đứng ở đầu hàng hay cuối hàng và chỉ có nhiều nhất $3$ bạn nữ kề nhau: $8A_{7}^{1}A_{4}^{3}=1344$ cách

$\Rightarrow$ Số cách xếp $12$ người gồm $4$ nữ và $8$ nam thành $1$ hàng dọc sao cho không có $2$ nữ nào kề nhau hay giữa $2$ nữ có ít nhất $1$ nam là: $11880-216-1728-6048-384-1344=2160$ cách.

Đáp số: $2160$ cách.


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#11 chagtraife

chagtraife

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Diêu_Bình Định

Đã gửi 01-03-2014 - 20:46

Có bao nhiêu cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam sao thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.

Đề thi của 

BoFaKe

hehe, bài này có vẻ giống chỉnh hợp lặp nhỉ???

giải:minh họa chút, xem như người nữ là vạch $(|)$, người nam là $(*)$

vậy thì $1$ hàng có thể minh họa như thế này: $*|**|*|*|***$

vậy số cách sắp xếp nam và nữ, cũng chính là cách sắp xếp số vạch (|) và số $(*)$ sao cho giữa $2$ vạch, có ít nhất $1$ $(*)$

nhận thấy có $9$ khoảng giữa $2$ $(*)$, do đó số cách xếp chính là số cách chọn $4$ từ $9$ khoảng đó do đó có $C^4_9=126$ cách xếp

đáp số: có $126$ cách xếp thỏa mãn bài toán



#12 THYH

THYH

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1-THPT Quốc Học Quy Nhơn
  • Sở thích:Ăn - ngủ

Đã gửi 01-03-2014 - 21:27

Số cách xếp $12$ người gồm cả nam và nữ thành 1 hàng dọc là $12!$

Số cách xếp $4$ nữ vào $4$ vị trí là $4!$

Số cách xếp $8$ nam vào 8 vị trí là $8!$

 

Ta xem 4 nữ là 1 nhóm số cách xếp 1 nhóm 4 nữ ( không tính số cách xếp trong 1 nhóm ) vào 12 vị trí là 9

suy ra số cách xếp 4 nữ và 8 nam thành một hàng dọc mà nữ được xếp liền nhau ( không có nam xen giữa ) là $9.4!8!$

 

Vậy số cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam sao thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam. là 12!-9.4!8!


''math + science = success''


TVT


#13 diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-03-2014 - 21:38

Có bao nhiêu cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam sao thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.

Đề thi của 

BoFaKe

Ta sẽ sử dụng phương pháp đếm bù

* Đếm số cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam thành 1 hàng dọc sao cho giữa hai người nữ không có người nam nào

Vì giữa hai em nữ bất kì đều khong có 1 em nam nào nên 4 em nữ lập  thành một khối, ta coi khối "4 em nữ" là một vị trí trong hàng. Như vậy, 8 em nam và khối 4 em nữ tạo thành 9 vị trí trong hàng. Việc xếp chỗ được tiến hành theo hai công đoạn

 - Công đoạn 1: Xếp chỗ cho 8 em nam và khối 4 em nữ . Ta có 9! cách xếp.

 - Công đoạn 2: Xếp chỗ trong nội bộ khối 4 em nữ: ta có 4! cách xếp

Theo quy tắc nhân ta có 9!.4!=8709120 cách xếp

* Số cách xếp 12 em học sinh gồm 4 nữ và 8 nam thành một hàng dọc là 12!

Vậy số cách sắp xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam thành một hàng dọc sao cho giữa hai bạn nữ phải có ít nhất 1 bạn nam là 

$12!-9!.4!=470292480$



#14 nhatlinh3005

nhatlinh3005

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-03-2014 - 22:27

Tổng số cách xếp 12 người vào 1 hàng dọc là: N=12!(cách ).

Gọi A là biến cố: "xếp 12 người  thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam"

khi đó biến cố đối của A là biến cố B:"xếp 12 người thành 1 hàng dọc sao cho có ít nhất 2 người nữ đứng cạnh nhau".

*Số phần tử của B :

+Nếu ghép 2 bạn nữ lại thành 1 thì sẽ có 11(cách) chọn vị trí .

+Còn lại 10 bạn xếp vào 10 chỗ có 10!(cách).

+Tiếp tục hoán vị chỗ của 2 bạn nữ trên ta có 2!(cách).

-Do đó n(B)=11.10!.2!=11!.2!(cách)

Vì A và B là 2 biến cố đối nên:

n(A)=N-n(B)=12!-11!.2!=11!.10(cách).

Vậy có 11!.10(cách) xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 năm thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.

*Em học phần này hơi kém mong mọi người góp ý cho lời giải của em! Em xin cảm ơn!!! :lol:  :icon12:  :lol: 


Linh


#15 motdaica

motdaica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:toán học,VMO,lịch sử

Đã gửi 02-03-2014 - 20:15

Mở rộng: Cho m nam và n nữ ($m+1\geq n$) thì số cách xếp $m+n$ người đó sao cho thành một hàng dọc mà giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam là $A_{m+1}^{n}m!$

Chứng minh :Đánh số vị trí từ 1 đến $m+n$ , gọi các vị trí của nữ lần lượt là $x_{1},x_{2},...,x_{n}$

Ta có bổ đề sau: Cho các số tự nhiên phân biệt $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ sao cho  $1\leq x_{1}< x_{2}< ...< x_{n}\leq a$ thì số các bộ số tự nhiên thỏa mãn là $C_{a}^{n}$

-Chứng minh bổ đề:Với mỗi bộ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ bất kì $\in \left [ 1; a\right ]$ thì chỉ có duy nhất một cách sắp xếp từ lớn đến bé => số các bộ số tự nhiên đó là $C_{a}^{n}$

Trở lại bài toán :Ta có điều kiện của bài toán là giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam

=> ta có các bất phương trình sau $x_{2}-x_{1}> 1,x_{3}-x_{2}> 1,...,x_{n}-x_{n-1}>1$

Ta thấy với các bộ số $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ này có điều kiện chặt hơn bài toán bổ đề.(Bổ đề chỉ cần các bộ các số phân biệt và có thể liền nhau)

Để đưa về bài toán bổ đề thì ta thấy $1\leq x_{1}< x_{2}-1< x_{3}-2< ...< x_{n}-(n-1)\leq m+n-(n-1)= m+1$

Đặt $y_{1}=x_{1},y_{2}=x_{2}-1,y_{3}=x_{3}-2,...,y_{n}=x_{n}-(n-1)$ thì $1\leq y_{1}< y_{2}< y_{3}< ...< y_{n}\leq m+1$

Bộ $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ là bộ các số tự nhiên phân biệt và thỏa mãn bổ đề => số các bộ đó là $C_{m+1}^{n}$

=>số cách đặt chỗ ngồi cho các bạn nữ là $C_{m+1}^{n}$

Vì các bạn nữ có thể đổi chỗ ngồi cho nhau nên số cách xếp chỗ ngồi cho n cô gái là $n!C_{m+1}^{n}=A_{m+1}^{n}$

Còn m chỗ còn lại cho các bạn nam ngồi => số cách xếp các bạn nam là $m!$

Vậy số cách xếp m nam và n nữ sao cho thành một hàng dọc mà giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam là $A_{m+1}^{n}m!$ (cách)

Nhận xét: với $m+1< n$ thì không có cách để thỏa mãn đề bài. Bài toán chỉ có cách khi $m+1\geq n$

P/s:em nghĩ có thể bài làm của em hơi khó hiểu.Nếu vậy thì mong giám khảo góp í ạ. :biggrin: :)

 

 

 



#16 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 03-03-2014 - 22:47

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#17 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3329 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-03-2014 - 01:49

Có bao nhiêu cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam sao thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.

Đề thi của 

BoFaKe

 

$x_1N_1x_2N_2x_3N_3x_4N_4x_5\quad(1)$

Gọi $x_1,...,x_5$ tương ứng là số bạn nam ở $5$ vị trí trên

Ta có $\begin{cases}x_1,\, x_5\ge 0;\; x_2,\,x_3,\,x_4 \ge 1\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=8\end{cases}$

Hay $\begin{cases}y_1,\, y_5,\,x_2,\,x_3,\,x_4 \ge 1\\ y_1+x_2+x_3+x_4+y_5=10\end{cases}\quad(2)$

Số nghiệm của $(2)$ theo bài toán chia kẹo Euler là $C_9^4=126$

Như vậy để xếp được một hàng $(1)$ thì có $126$ cách

Có $8!$ hoán vị giữa các bạn nam

Có $4!$ hoán vị giữa các bạn nữ

 

Và kết quả của bài toán là $126\times 8! \times 4! = 121\,927\,680$


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#18 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 04-03-2014 - 11:37

$x_1N_1x_2N_2x_3N_3x_4N_4x_5\quad(1)$

Gọi $x_1,...,x_5$ tương ứng là số bạn nam ở $5$ vị trí trên

Ta có $\begin{cases}x_1,\, x_5\ge 0;\; x_2,\,x_3,\,x_4 \ge 1\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=8\end{cases}$

Hay $\begin{cases}y_1,\, y_5,\,x_2,\,x_3,\,x_4 \ge 1\\ y_1+x_2+x_3+x_4+y_5=10\end{cases}\quad(2)$

Số nghiệm của $(2)$ theo bài toán chia kẹo Euler là $C_9^4=126$

Như vậy để xếp được một hàng $(1)$ thì có $126$ cách

Có $8!$ hoán vị giữa các bạn nam

Có $4!$ hoán vị giữa các bạn nữ

 

Và kết quả của bài toán là $126\times 8! \times 4! = 121\,927\,680$

Theo đề thì giữa $2$ nữ có ít nhất $1$ nam nên có thể sắp xếp $N_1x_1x_2N_2x_3N_3x_4x_5N_4\quad(1)$ mà, vậy là thiếu trường hợp????

Em hỏi thế thôi, tại vì mới học nên kiến thức còn non.


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#19 motdaica

motdaica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:toán học,VMO,lịch sử

Đã gửi 04-03-2014 - 12:32

hehe, bài này có vẻ giống chỉnh hợp lặp nhỉ???

giải:minh họa chút, xem như người nữ là vạch $(|)$, người nam là $(*)$

vậy thì $1$ hàng có thể minh họa như thế này: $*|**|*|*|***$

vậy số cách sắp xếp nam và nữ, cũng chính là cách sắp xếp số vạch (|) và số $(*)$ sao cho giữa $2$ vạch, có ít nhất $1$ $(*)$

nhận thấy có $9$ khoảng giữa $2$ $(*)$, do đó số cách xếp chính là số cách chọn $4$ từ $9$ khoảng đó do đó có $C^4_9=126$ cách xếp

đáp số: có $126$ cách xếp thỏa mãn bài toán

bạn quên mất là bạn nữ và bạn nam có thể đổi chỗ cho nhau à :icon6:  phải nhân thêm $8!4!$ nhé bạn :)

 

Ta sẽ sử dụng phương pháp đếm bù

* Đếm số cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam thành 1 hàng dọc sao cho giữa hai người nữ không có người nam nào

Vì giữa hai em nữ bất kì đều khong có 1 em nam nào nên 4 em nữ lập  thành một khối, ta coi khối "4 em nữ" là một vị trí trong hàng. Như vậy, 8 em nam và khối 4 em nữ tạo thành 9 vị trí trong hàng. Việc xếp chỗ được tiến hành theo hai công đoạn

 - Công đoạn 1: Xếp chỗ cho 8 em nam và khối 4 em nữ . Ta có 9! cách xếp.

 - Công đoạn 2: Xếp chỗ trong nội bộ khối 4 em nữ: ta có 4! cách xếp

Theo quy tắc nhân ta có 9!.4!=8709120 cách xếp

* Số cách xếp 12 em học sinh gồm 4 nữ và 8 nam thành một hàng dọc là 12!

Vậy số cách sắp xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam thành một hàng dọc sao cho giữa hai bạn nữ phải có ít nhất 1 bạn nam là 

$12!-9!.4!=470292480$

Còn trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau ngăn cách với 1 nữ còn lại và 2 nữ ngồi cạnh nhau ngăn cách với 2 nữ còn lại nữa bạn ^_^ :lol:   bạn trừ thiếu rồi :)



#20 TonnyMon97

TonnyMon97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kiên giang
  • Sở thích:Vừa nghe nhạc vừa làm bài

Đã gửi 04-03-2014 - 12:39

 

 

coi $4$ bạn nữ là như nhau , $8$ bạn nam cũng như nhau.

Giả sử $8$ bạn nam đứng yên khi đó ta sẽ xếp $4$ bạn nữ vào đứng 

 khi đó ta có tất cả $9$ chỗ có thể đứng cho $4$ bạn suy ra có $C_{9}^{4}$ cách chọn

nhưng không thể coi các bạn nữ và nam là như nhau nên ta phải hoán vị các bạn nữ với nhau, các bạn nam với nhau

Vì vậy số cách xếp tất cả là $8!.4!.C_{9}^{4}=121927680$ thỏa mãn đề bài

 

Làm sao bạn có thể coi 4 bạn nữ là như nhau và 8 bạn nam là như nhau.

Theo mình thì người làm gì có chuyện "như nhau".

Bên sinh học mình cũng học rồi


                          "Số nguyên tố là để nhân chứ không phải để cộng."
                                                                                                                       Lev Landau





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh