Mở rộng: Cho m nam và n nữ ($m+1\geq n$) thì số cách xếp $m+n$ người đó sao cho thành một hàng dọc mà giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam là $A_{m+1}^{n}m!$
Chứng minh :Đánh số vị trí từ 1 đến $m+n$ , gọi các vị trí của nữ lần lượt là $x_{1},x_{2},...,x_{n}$
Ta có bổ đề sau: Cho các số tự nhiên phân biệt $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ sao cho $1\leq x_{1}< x_{2}< ...< x_{n}\leq a$ thì số các bộ số tự nhiên thỏa mãn là $C_{a}^{n}$
-Chứng minh bổ đề:Với mỗi bộ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ bất kì $\in \left [ 1; a\right ]$ thì chỉ có duy nhất một cách sắp xếp từ lớn đến bé => số các bộ số tự nhiên đó là $C_{a}^{n}$
Trở lại bài toán :Ta có điều kiện của bài toán là giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam
=> ta có các bất phương trình sau $x_{2}-x_{1}> 1,x_{3}-x_{2}> 1,...,x_{n}-x_{n-1}>1$
Ta thấy với các bộ số $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ này có điều kiện chặt hơn bài toán bổ đề.(Bổ đề chỉ cần các bộ các số phân biệt và có thể liền nhau)
Để đưa về bài toán bổ đề thì ta thấy $1\leq x_{1}< x_{2}-1< x_{3}-2< ...< x_{n}-(n-1)\leq m+n-(n-1)= m+1$
Đặt $y_{1}=x_{1},y_{2}=x_{2}-1,y_{3}=x_{3}-2,...,y_{n}=x_{n}-(n-1)$ thì $1\leq y_{1}< y_{2}< y_{3}< ...< y_{n}\leq m+1$
Bộ $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ là bộ các số tự nhiên phân biệt và thỏa mãn bổ đề => số các bộ đó là $C_{m+1}^{n}$
=>số cách đặt chỗ ngồi cho các bạn nữ là $C_{m+1}^{n}$
Vì các bạn nữ có thể đổi chỗ ngồi cho nhau nên số cách xếp chỗ ngồi cho n cô gái là $n!C_{m+1}^{n}=A_{m+1}^{n}$
Còn m chỗ còn lại cho các bạn nam ngồi => số cách xếp các bạn nam là $m!$
Vậy số cách xếp m nam và n nữ sao cho thành một hàng dọc mà giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam là $A_{m+1}^{n}m!$ (cách)
Nhận xét: với $m+1< n$ thì không có cách để thỏa mãn đề bài. Bài toán chỉ có cách khi $m+1\geq n$
P/s:em nghĩ có thể bài làm của em hơi khó hiểu.Nếu vậy thì mong giám khảo góp í ạ.