Chủ đề này có 22 trả lời

[bachhammer]

Lời giải của thuan192 cũng mắc lỗi tương tự nhatquangsin....

[bachhammer]

Cho $x=y=0$ vào (*):$f(0)=f(0)^{2}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} f(0)=0 & \\ f(0)=2 & \end{bmatrix}$

Cho $y=1$ vào (*):$f(x-1)=-f(1)+f(x).f(1)\Leftrightarrow f(x-1)=f(1)[f(x)-1]$ (2)

Cho $x=1$ vào $(2)$, đặt $f(1)=a$: $f(0)=f(1)[f(1)-1]=a(a-1)$

Trường hợp 1: $f(0)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} a=0 & \\ a=1 & \end{bmatrix}$

Xét $a=0$: Thay $a=0$ vào $(2)$:$f(x-1)=0$ $\Rightarrow f(x)$ là hàm hằng (thỏa)

Xét $a=1$: Thay $a=1$ vào $(2)$:$f(x-1)=f(x)-1$ $\Rightarrow f(x+1)=f(x)+1$ (1a)

Cho $x=0$ vào $(1a)$: $f(-1)=-1$

Cho $y=-1$ vào $(*)$: $f(x+1)+f(-x)=f(x)-f(-1)+f(x)f(-1)$ (3)

Thay $f(-1)=-1$ vào $(3)$: $f(x+1)+f(-x)=f(x)+1-f(x)=1\Leftrightarrow f(x+1)=1-f(-x)$ (1b)

Từ $(1a)$ và $(1b)$ $\Rightarrow f(x)=-f(-x)$ $\Rightarrow f(x)$ là hàm lẻ.

Thay $y$ bởi $(-y)$ và áp dụng hàm lẻ vào (*):$f(x+y)-f(xy)=f(x)+f(y)-f(x)f(y)$ (4)

Kết hợp $(*)$ và $(4)$ $\Rightarrow f(x+y)+f(x-y)=2f(x)$ (5)

Cho $x=y$ vào $(5)$:$f(2x)=2f(x)$

Đặt $u=x+y, v=x-y$ vào (5):$f(u)+f(v)=2f(\frac{u+v}{2})\Leftrightarrow f(2u)+f(2v)=2f(u+v)=f(2u+2v)$

$\Rightarrow f(u)+f(v)=f(u+v)$ $\Rightarrow f(x)=kx$

Thay vào (*) ta được:$\begin{bmatrix} k=0 & \\ k=1 & \end{bmatrix}$

$k=0$: hàm hằng (thỏa).

$k=1$: f(x)=x (thỏa).

Trường hợp 2: $f(0)=2$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} a=-1 & \\ a=2 & \end{bmatrix}$

Xét $a=-1$:

Cho $x=0$ vào $(2)$: $f(-1)=-1$

Thay $f(-1)=-1$ vào (3):$f(x+1)+f(-x)=f(x)+1-f(x)\Leftrightarrow f(x+1)=1-f(-x)$

Ta có từ $(2)$: $f(x-1)=1-f(x)\Rightarrow f(x+1)=1-f(x)$

$\Rightarrow f(x)=f(-x)$ suy ra $f(x)$ là hàm chẵn

Thay $y$ bởi $(-y)$ và áp dụng hàm chẵn vào $(*)$:$f(x+y)+f(xy)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)$

$\Rightarrow f(x+y)=f(x-y)$, cho $y=x$ $\Rightarrow f(2x)=f(0)=2$ $\Rightarrow f(x)$ là hàm hằng (thỏa)

Xét $a=2$:

Cho $x=0$ vào $(2)$: $f(-1)=2$

Thay $f(-1)=2$ vào (3):$f(x+1)=3f(x)-2-f(-x)$

Từ $(2)$: $f(x-1)=2f(x)-2\Rightarrow f(x+1)=\frac{f(x)+2}{2}$

$\Rightarrow 6f(x)-4-2f(-x)=f(x)+2\Leftrightarrow 5f(x)-2f(-x)=6$

Thay $x$ bởi $(-x)$ ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} 5f(x)-2f(-x)=6 & \\ 5f(-x)-2f(x)=6 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow f(x)=f(-x)=2$ (hàm hằng thỏa).

Kết luận: $f(x)$ là hàm hằng hay $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Thay vào 1a có thỏa mãn đâu bạn????

Mà chỉ có hai hàm hằng thỏa mãn là f(x) = 0 và f(x) = 2 bạn ạ.....

[henry0905]

Thay vào 1a có thỏa mãn đâu bạn????

Mà chỉ có hai hàm hằng thỏa mãn là f(x) = 0 và f(x) = 2 bạn ạ.....

Mình làm vội nên không kiểm tra kĩ: thế $x=0$ vào $f(x-1)=f(x)-1$, còn câu kết luận mình không kiểm tra lại