Lời giải của thuan192 cũng mắc lỗi tương tự nhatquangsin....
#21
Đã gửi 04-03-2014 - 20:26
#22
Đã gửi 05-03-2014 - 19:43
Cho $x=y=0$ vào (*):$f(0)=f(0)^{2}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} f(0)=0 & \\ f(0)=2 & \end{bmatrix}$
Cho $y=1$ vào (*):$f(x-1)=-f(1)+f(x).f(1)\Leftrightarrow f(x-1)=f(1)[f(x)-1]$ (2)
Cho $x=1$ vào $(2)$, đặt $f(1)=a$: $f(0)=f(1)[f(1)-1]=a(a-1)$
Trường hợp 1: $f(0)=0$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} a=0 & \\ a=1 & \end{bmatrix}$
Xét $a=0$: Thay $a=0$ vào $(2)$:$f(x-1)=0$ $\Rightarrow f(x)$ là hàm hằng (thỏa)
Xét $a=1$: Thay $a=1$ vào $(2)$:$f(x-1)=f(x)-1$ $\Rightarrow f(x+1)=f(x)+1$ (1a)
Cho $x=0$ vào $(1a)$: $f(-1)=-1$
Cho $y=-1$ vào $(*)$: $f(x+1)+f(-x)=f(x)-f(-1)+f(x)f(-1)$ (3)
Thay $f(-1)=-1$ vào $(3)$: $f(x+1)+f(-x)=f(x)+1-f(x)=1\Leftrightarrow f(x+1)=1-f(-x)$ (1b)
Từ $(1a)$ và $(1b)$ $\Rightarrow f(x)=-f(-x)$ $\Rightarrow f(x)$ là hàm lẻ.
Thay $y$ bởi $(-y)$ và áp dụng hàm lẻ vào (*):$f(x+y)-f(xy)=f(x)+f(y)-f(x)f(y)$ (4)
Kết hợp $(*)$ và $(4)$ $\Rightarrow f(x+y)+f(x-y)=2f(x)$ (5)
Cho $x=y$ vào $(5)$:$f(2x)=2f(x)$
Đặt $u=x+y, v=x-y$ vào (5):$f(u)+f(v)=2f(\frac{u+v}{2})\Leftrightarrow f(2u)+f(2v)=2f(u+v)=f(2u+2v)$
$\Rightarrow f(u)+f(v)=f(u+v)$ $\Rightarrow f(x)=kx$
Thay vào (*) ta được:$\begin{bmatrix} k=0 & \\ k=1 & \end{bmatrix}$
$k=0$: hàm hằng (thỏa).
$k=1$: f(x)=x (thỏa).
Trường hợp 2: $f(0)=2$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} a=-1 & \\ a=2 & \end{bmatrix}$
Xét $a=-1$:
Cho $x=0$ vào $(2)$: $f(-1)=-1$
Thay $f(-1)=-1$ vào (3):$f(x+1)+f(-x)=f(x)+1-f(x)\Leftrightarrow f(x+1)=1-f(-x)$
Ta có từ $(2)$: $f(x-1)=1-f(x)\Rightarrow f(x+1)=1-f(x)$
$\Rightarrow f(x)=f(-x)$ suy ra $f(x)$ là hàm chẵn
Thay $y$ bởi $(-y)$ và áp dụng hàm chẵn vào $(*)$:$f(x+y)+f(xy)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)$
$\Rightarrow f(x+y)=f(x-y)$, cho $y=x$ $\Rightarrow f(2x)=f(0)=2$ $\Rightarrow f(x)$ là hàm hằng (thỏa)
Xét $a=2$:
Cho $x=0$ vào $(2)$: $f(-1)=2$
Thay $f(-1)=2$ vào (3):$f(x+1)=3f(x)-2-f(-x)$
Từ $(2)$: $f(x-1)=2f(x)-2\Rightarrow f(x+1)=\frac{f(x)+2}{2}$
$\Rightarrow 6f(x)-4-2f(-x)=f(x)+2\Leftrightarrow 5f(x)-2f(-x)=6$
Thay $x$ bởi $(-x)$ ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} 5f(x)-2f(-x)=6 & \\ 5f(-x)-2f(x)=6 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow f(x)=f(-x)=2$ (hàm hằng thỏa).
Kết luận: $f(x)$ là hàm hằng hay $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$
Thay vào 1a có thỏa mãn đâu bạn????
Mà chỉ có hai hàm hằng thỏa mãn là f(x) = 0 và f(x) = 2 bạn ạ.....
- henry0905 yêu thích
#23
Đã gửi 05-03-2014 - 23:03
Thay vào 1a có thỏa mãn đâu bạn????
Mà chỉ có hai hàm hằng thỏa mãn là f(x) = 0 và f(x) = 2 bạn ạ.....
Mình làm vội nên không kiểm tra kĩ: thế $x=0$ vào $f(x-1)=f(x)-1$, còn câu kết luận mình không kiểm tra lại
- bachhammer yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mo 2014
mo 2014
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014 →
Trận 10 - Bất đẳng thứcBắt đầu bởi E. Galois, 23-05-2014 mo 2014 |
|
|||
mo 2014
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014 →
Trận 9 - Tổ hợp, rời rạcBắt đầu bởi E. Galois, 09-05-2014 mo 2014 |
|
|
||
|
mo 2014
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014 →
Trận 5 - Bất đẳng thứcBắt đầu bởi E. Galois, 14-03-2014 mo 2014 |
|
||
mo 2014
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014 →
Trận 1 - Số họcBắt đầu bởi E. Galois, 11-01-2014 mo 2014 |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh