Tìm hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa :
$$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2),\;\forall x,y\in \mathbb{N}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 01-03-2014 - 18:09
#1
Đã gửi 01-03-2014 - 18:07
Juliel
-
- Thành viên
-
- 1240 Bài viết
Thượng úy
#2
Đã gửi 01-03-2014 - 19:40
Hoang Tung 126
-
- Thành viên
-
- 2061 Bài viết
Thiếu tá
Tìm hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa :
$$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2),\;\forall x,y\in \mathbb{N}$$
-Với $x=y=0= > f(0)=0$
-Với $x=0= > yf(0)=yf(y^2)< = > y(f(0)-f(y^2))=0$
-Với $y=0$.Từ pt ban đầu $= > xf(0)+0f(x)=xf(x^2)< = > xf(x^2)=0< = > x=0,f(x^2)=0= > f(x)=0$
-Với $f(0)=f(y^2)= > y=0= > f(x)=0$
#3
Đã gửi 01-03-2014 - 19:52
mathandyou
-
- Thành viên
-
- 171 Bài viết
Trung sĩ
-Với $x=y=0= > f(0)=0$
-Với $x=0= > yf(0)=yf(y^2)< = > y(f(0)-f(y^2))=0$
-Với $y=0$.Từ pt ban đầu $= > xf(0)+0f(x)=xf(x^2)< = > xf(x^2)=0< = > x=0,f(x^2)=0= > f(x)=0$
-Với $f(0)=f(y^2)= > y=0= > f(x)=0$
Hàng đầu là sai rồi né.
Đây là trên tập số tự nhiên nhé bạn.$f(x^2)=0$ không suy ra được $f(x)=0$
ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ.. 
ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. 
-Khải Hoàn-
#4
Đã gửi 01-03-2014 - 20:11
phatthemkem
-
- Thành viên
-
- 910 Bài viết
Trung úy
Hàng đầu là sai rồi né.
Đây là trên tập số tự nhiên nhé bạn.$f(x^2)=0$ không suy ra được $f(x)=0$
Sao lại không thể nhỉ, bạn ấy xét $x=y=0$ mà
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
#5
Đã gửi 25-03-2014 - 11:04
Khang Hy
-
- Thành viên
-
- 80 Bài viết
Hạ sĩ
Tìm hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa :
$$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2),\;\forall x,y\in \mathbb{N}$$
Giả sư tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Nếu f không là hàm hằng, khi đó tồn tại các số tự nhiên x,y sao cho f(y)-f(x)>0 và nhỏ nhất
Ta có $f(x)=\frac{xf(x)+yf(x)}{x+y}<\frac{xf(y)+yf(x)}{x+y}<\frac{xf(y)+yf(y)}{x+y}=f(y)$
Suy ra $f(x)<f(x^{2}+y^{2})<f(y)\Rightarrow 0<f(x^{2}+y^{2})-f(x)<f(y)-f(x)$ : mâu thuẫn tính nhỏ nhất
Do đó f là hàm hằng
Thử lại thỏa!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khang Hy: 25-03-2014 - 11:05
#6
Đã gửi 25-03-2014 - 11:05
Khang Hy
-
- Thành viên
-
- 80 Bài viết
Hạ sĩ
Giả sư tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài
Nếu f không là hàm hằng, khi đó tồn tại các số tự nhiên x,y sao cho f(y)-f(x)>0 và nhỏ nhất
Ta có $f(x)=\frac{xf(x)+yf(x)}{x+y}<\frac{xf(y)+yf(x)}{x+y}<\frac{xf(y)+yf(y)}{x+y}=f(y)$
Suy ra $f(x)<f(x^{2}+y^{2})<f(y)\Rightarrow 0<f(x^{2}+y^{2})-f(x)<f(y)-f(x)$ : mâu thuẫn tính nhỏ nhất
Do đó f là hàm hằng
Thử lại thỏa!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
