Chủ đề này có 4 trả lời

[doanlemanhtung191199]

Cho $a,b,c\in \mathbb{N}$ thỏa mãn : $a^2+b^2=c^2$

Chứng minh rằng: Trong 3 số $a,b,c$ có ít nhất 1 số chia hết cho 4

[letankhang]

Cho $a,b,c\in \mathbb{N}$ thỏa mãn : $a^2+b^2=c^2$

Chứng minh rằng: Trong 3 số $a,b,c$ có ít nhất 1 số chia hết cho 4

Giả sử cả 3 số đều không chia hết cho 4 $\Rightarrow a^{2};b^{2};c^{2}\equiv 1(\mod 4)$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 2(\mod 4)\Rightarrow a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$
Suy ra giả sử sai

Vậy ta có điều phải chứng minh.
 

[PT42]

Nhận xét : Số chính phương chia cho 8 dư 0, 1 hoặc 4.

Thật vậy : Xét số chính phương $n^{2}$

- Nếu n lẻ thì n = 2k + 1 với k nguyên $\Rightarrow n^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k(k + 1) + 1$

$\Rightarrow n^{2}$ chia 8 dư 1.

- Nếu n chia hết cho 4 thì $n^{2}$ chia hết cho 8.

- Nếu n chia 4 dư 2 thì n = 4k + 2 với k nguyên $\Rightarrow n^{2} = (4k + 2)^{2}$ = $16k^{2} + 16k + 4$ $\Rightarrow n^{2}$ chia 8 dư 4.

 

Có $a^{2} + b^{2} = c^{2}$.

- Nếu a, b cùng lẻ thì $a^{2} + b^{2}$ chia 8 dư 2 $\Rightarrow a^{2} + b^{2}$ không phải số chính phương (vô lý).

- Nếu trong a, b có 1 số chẵn, 1 số lẻ. Không mất tổng quát giả sử a chẵn, b lẻ

Nếu a chia hết cho 4 thì có điều phải chứng minh.

Nếu a chia 4 dư 2 thì $a^{2} + b^{2}$ chia 8 dư 4 + 1 = 5 $\Rightarrow$ $a^{2} + b^{2}$ không phải số chính phương (loại)

 

Vậy a, b cùng là số chẵn

- Nếu trong a, b có ít nhất 1 số chia hết cho 4 thì có điều phải chứng minh.

- Nếu a, b cùng chia 4 dư 2 thì $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ chia hết cho 8 $\Rightarrow$ c chia hết cho 4.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 02-03-2014 - 20:34

[PT42]

Chứng minh được : Nếu các số nguyên a, b, c thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ thì trong 2 số a, b có ít nhất 1 số chia hết cho 4.

 

Thật vậy: 

- Nếu a, b cùng lẻ thì $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ chia 4 dư 1 + 1 =2 $\Rightarrow c^{2}$ không phải số chính phương.

- Nếu trong a, b có 1 số lẻ, 1 số chia 4 dư 2 thì $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ chia 8 dư 4 + 1 = 5 $\Rightarrow c^{2}$ không phải số chính phương.

- Nếu cả a và b cùng chia 4 dư 2 thì c là số chẵn và $\frac{a}{2}, \frac{b}{2}$ cùng chia 2 dư 1

$\Rightarrow \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} + \left ( \frac{b}{2} \right )^{2} = \left ( \frac{c}{2} \right )^{2}$ chia 4 dư 1 + 1 = 2

$\Rightarrow \left ( \frac{c}{2} \right )^{2}$ là số nguyên và không phải số chính phương

$\Rightarrow c^{2}$ = $4. \left ( \frac{c}{2} \right )^{2}$ không phải số chính phương (vô lý).

 

Từ đó suy ra trong 2 số a, b phải có ít nhất 1 số chia hết cho 4.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 03-03-2014 - 15:00

[Aries Intelligent]

Giả sử cả 3 số đều không chia hết cho 4 $\Rightarrow a^{2};b^{2};c^{2}\equiv 1(\mod 4)$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 2(\mod 4)\Rightarrow a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$
Suy ra giả sử sai

Vậy ta có điều phải chứng minh.
 

Bạn thiếu rồi kìa. Phải xét TH chia 4 dư 3; chia 4 dư 2 nữa chứ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Aries Intelligent: 24-06-2014 - 09:38