Chủ đề này có 1 trả lời

[nucnt772]

Cho hàm số: $y=x^{4}-3(m+1)x^{2}+3m+2$ (C).

Tìm các giá trị dương của tham số m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (C) tại giao điểm có hoành độ lớn nhất hợp với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 24.

[E. Galois]

Cho hàm số: $y=x^{4}-3(m+1)x^{2}+3m+2$ (C).

Tìm các giá trị dương của tham số m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (C) tại giao điểm có hoành độ lớn nhất hợp với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 24.

Hoành độ giao điểm của đồ thị $\left(C\right)$ và trục hoành là nghiệm của phương trình:

\begin{equation} x^{4}-3(m+1)x^{2}+3m+2 = 0 \Leftrightarrow  (x^2-1)(x^2-3m-2)=0\end{equation}

Dễ thấy với điều kiện $m>0$, phương trình trên luôn có bốn nghiệm: $\pm 1; \pm \sqrt{3m+2}$ và $x=\sqrt{3m+2}$ là nghiệm lớn nhất. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left(C\right)$ tại điểm có hoành độ bằng $\sqrt{3m+2}$ là:

$$y=(6m+2)\sqrt{3m+2}x-(6m+2)(3m+2)$$

Tiếp tuyến cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A\left(0;-(6m+2)(3m+2) \right),B \left(\sqrt{3m+2};0\right)$$

Theo bài ta có:

\begin{equation}24=\frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}(6m+2)(3m+2)\sqrt{3m+2} \end{equation}

Đặt $t=\sqrt{3m+2}, t>\sqrt{2}$, ta có:

\begin{equation} t^5-t^3-24=0 \Leftrightarrow t=2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3} \end{equation}