Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi HSG TP. Hồ Chí Minh năm học 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 04-03-2014 - 13:52

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP THÀNH PHỐ 
KHÓA THI NGÀY 04-03-2014
MÔN: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1. (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) $\sin 6x+\sin 2x+\sin^3 2x=4(\sin^6x +\cos^6 x)$
b) $(3x+2)\sqrt{2x^2-3}=5x^2+x-6$
 
Bài 2. (3 điểm)
Giải hệ\[\left\{ \begin{array}{l}
16{x^2} + 4xy + {y^2} = 12\\
8{x^2} + 4xy - 28x - 5y =  - 18
\end{array} \right.\]
 
Bài 3. (3 điểm)
Cho hai số không âm $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a+b=1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{1+a^{2014}}+\sqrt{1+b^{2014}}$
 
Bài 4. (4 điểm)
Tìm $m$ để phương trình $\sqrt{mx^2+mx+3}=mx+1$ có nghiệm duy nhất.
 
Bài 5. (4 điểm)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $SA=2\sqrt{3}$ và hình chiếu $H$ của $A$ lên $(SBC)$ là trực tâm tam giác $SBC$ ($H$ nằm trong tam giác $SBC$). Giả sử góc giữa hai mặt $(HAB)$ và $(ABC)$ có số đo bằng $30^0$, tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
 
Bài 6. (2 điểm)
Với số tự nhiên $n\ge 2$, gọi $a_n$ là hệ số của $x$ trong khai triển nhị thức $(5+\sqrt{x})^n$. Tìm giá trị của $n$ để biểu thức $A=\frac{5^2}{a_2}+\frac{5^3}{a_3}+\frac{5^4}{a_4}+...+\frac{5^n}{a_n}$ có giá trị bằng $48$.

 

Hết 

 

File gửi kèm  de thi HSG TPHCM 2014.pdf   130.02K   354 Số lần tải


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-03-2014 - 18:07

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 04-03-2014 - 18:16

 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP THÀNH PHỐ 
KHÓA THI NGÀY 04-03-2014
MÔN: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
 
 
Bài 2. (3 điểm)
Giải hệ\[\left\{ \begin{array}{l}
16{x^2} + 4xy + {y^2} = 12\\
8{x^2} + 4xy - 28x - 5y =  - 18
\end{array} \right.\]
 
 

 

Hết 

 

attachicon.gifde thi HSG TPHCM 2014.pdf

 

Lấy :

$PT(1)+2PT(2)$
$\Rightarrow 32x^2+y^2+12xy-56x-10y+24=0\Rightarrow (4x+y-4)(8x+y-6)=0\Rightarrow ...$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#3 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 04-03-2014 - 18:28

 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP THÀNH PHỐ 
KHÓA THI NGÀY 04-03-2014
MÔN: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
 
Bài 4. (4 điểm)
Tìm $m$ để phương trình $\sqrt{mx^2+mx+3}=mx+1$ có nghiệm duy nhất.
 
 

Hết 

 

attachicon.gifde thi HSG TPHCM 2014.pdf

 

Nhận thấy $m=0$ thì $PT$ vô nghiệm 
$m=1$ thì $PT$ có 1 nghiệm duy nhất ( chọn )
Xét $m\neq 0;1$
$PT\Rightarrow mx^{2}+mx+3=m^2x^2+2mx+1\Rightarrow x^{2}(m^{2}-m)+xm-2=0\Rightarrow \Delta =m^{2}+8(m^{2}-m)=0\Rightarrow 9m^{2}-8m=0\Rightarrow m=\frac{8}{9}$
Thử lại thì $m=\frac{8}{9}$ thỏa mãn
Vậy : $m\in \left \{ 1;\frac{8}{9} \right \}$
 


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#4 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 04-03-2014 - 19:38

Bài 1: b)

Từ $GT\Rightarrow$$4x^2 - 6 -(3x+2)\sqrt{2x^2-3}+x^2+x=0$

đặt $\sqrt{2x^2-3}=t$ $t\geq 0$

phương trình trở thành

$2t^2-(3x+2)t+x^2+x=0$

Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn t có

$\Delta = (3x+2)^2 - 8(x^2+x)=9x^2+12x+4 - 8x^2 -8x = (x-2)^2$

Khi đó phương trình có nghiệm

$\begin{bmatrix} t=\frac{3x+2+x-2}{2} & & \\ t=\frac{3x+2-x+2}{2} & & \end{bmatrix}$

$<=> \begin{bmatrix} t=2x & & \\ t=x+2 & & \end{bmatrix}$

Đoạn này thay t vào là ra


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#5 qthinh4996

qthinh4996

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 05-03-2014 - 16:32

Nhận thấy $m=0$ thì $PT$ vô nghiệm 
$m=1$ thì $PT$ có 1 nghiệm duy nhất ( chọn )
Xét $m\neq 0;1$
$PT\Rightarrow mx^{2}+mx+3=m^2x^2+2mx+1\Rightarrow x^{2}(m^{2}-m)+xm-2=0\Rightarrow \Delta =m^{2}+8(m^{2}-m)=0\Rightarrow 9m^{2}-8m=0\Rightarrow m=\frac{8}{9}$
Thử lại thì $m=\frac{8}{9}$ thỏa mãn
Vậy : $m\in \left \{ 1;\frac{8}{9} \right \}$
 

Bạn ơi! bạn chưa đặt ĐK đó.

Nếu mà ĐK nằm trong khoảng hai nghiệm của pt bậc 2 thì nó cũng có nghiệm duy nhất cơ mà...?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi qthinh4996: 05-03-2014 - 16:34


#6 hoaadc08

hoaadc08

    Trung úy

  • Thành viên
  • 777 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Âm nhạc - Toán học - Bài giảng thuyết pháp (Phật giáo)

Đã gửi 05-03-2014 - 19:33

Bài 1: b)

Từ $GT\Rightarrow$$4x^2 - 6 -(3x+2)\sqrt{2x^2-3}+x^2+x=0$

đặt $\sqrt{2x^2-3}=t$ $t\geq 0$

phương trình trở thành

$2t^2-(3x+2)t+x^2+x=0$

Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn t có

$\Delta = (3x+2)^2 - 8(x^2+x)=9x^2+12x+4 - 8x^2 -8x = (x-2)^2$

Khi đó phương trình có nghiệm

$\begin{bmatrix} t=\frac{3x+2+x-2}{2} & & \\ t=\frac{3x+2-x+2}{2} & & \end{bmatrix}$

$<=> \begin{bmatrix} t=2x & & \\ t=x+2 & & \end{bmatrix}$

Đoạn này thay t vào là ra

Bạn tính nhầm dấu Delta . Giải ra đúng là : t = x/2 , t = x + 1 .
ĐS là :
\[S = \left\{ {1 + \sqrt 5 ;\frac{{2\sqrt {21} }}{7}} \right\}\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 05-03-2014 - 19:56


#7 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 06-03-2014 - 00:16

 


 
Bài 3. (3 điểm)
Cho hai số không âm $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a+b=1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{1+a^{2014}}+\sqrt{1+b^{2014}}$
 

Min:
Áp dụng BĐT Minkowsky ta có
$$P\ge \sqrt{4+(a^{1007}+b^{1007})^2} $$
Áp dụng BĐT trung bình lũy thừa ta có
$a^{1007}+b^{1007}\ge \frac{(a+b)^{1007}}{2^{1006}}$

Do đó $P\ge \sqrt{4+\frac{1}{2^{2012}}}$
Khi đó $a=b=\frac{1}{2}$

Cách khác
Giả sử $a\ge b$ khi đó, tồn tại 2 số thực dương $t;s$ sao cho $b=t+s;c=t-s$ và $s \in [0;t]$

Khi đó $P=\sqrt{1+(t+s)^{2014}}+\sqrt{1+(t-s)^{2014}}$

Xét hàm số $f(s)=\sqrt{1+(t+s)^{2014}}+\sqrt{1+(t-s)^{2014}}; s\in [0;t]$
$f'(s)=\frac{1007(t+s)^{2013}}{\sqrt{1+(t+s)^{2014}}}+\frac{1007(s-t)^{2013}}{\sqrt{1+(s-t)^{2014}}}>0 \forall s\in [0;t]$

Suy ra $f(s)$ đồng biến trên $[0;t]$

Do đó $f(s)\le f(t)=\sqrt{1+(2t)^{2014}}+1 \le \sqrt{2}+1$ (do $t \le 1$)
Khi đó $a=1;b=0$ và hoán vị tương ứng.
$f(s)\ge f(0)$ khi đó $a=b=t$

Từ đây ta dễ dàng tìm dược min .


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#8 youkito89

youkito89

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-03-2014 - 23:08

Bài hình làm sao để chứng minh đó là hình chóp tam giác đều vậy mọi người ?



#9 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 08-03-2014 - 01:15

Bài hình làm sao để chứng minh đó là hình chóp tam giác đều vậy mọi người ?

Bạn tham khảo cái này nhen :3 của 1 thầy tr` mình

Hình gửi kèm

  • 1932352_515220058597585_544936600_n.jpg

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#10 khong la gi ca

khong la gi ca

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh

Đã gửi 16-03-2014 - 15:34

Bài 6. (2 điểm)

Với số tự nhiên $n\ge 2$, gọi $a_n$ là hệ số của $x$ trong khai triển nhị thức $(5+\sqrt{x})^n$. Tìm giá trị của $n$ để biểu thức $A=\frac{5^2}{a_2}+\frac{5^3}{a_3}+\frac{5^4}{a_4}+...+\frac{5^n}{a_n}$ có giá trị bằng $48$.

 

Với mọi số tự nhiên $2 \le k \le n$, ta có

$$ \left ( 5 + \sqrt{x} \right ) ^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} 5^{k-i} x^{\frac{i}{2}} $$

Theo đó thì

$$ a_k = \binom{k}{2} 5^{k-2} = \frac{k(k-1)5^k}{50} $$

Ta viết lại

$$ A = \sum_{k=2}^{n} \frac{5^k}{a_k} = \sum_{k=2}^{n} \frac{50}{k(k-1)} = 50 \left( 1 - \frac{1}{n}  \right ) = 48 $$

Như vậy $n=25$


"The Universe appears to be flawed.

If things exist because they ought to,

why are they not much better than they are?"


#11 baduong1998

baduong1998

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Quang Trung _Hà Đông
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên

Đã gửi 14-11-2014 - 16:47

 

Với mọi số tự nhiên $2 \le k \le n$, ta có

$$ \left ( 5 + \sqrt{x} \right ) ^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} 5^{k-i} x^{\frac{i}{2}} $$

Theo đó thì

$$ a_k = \binom{k}{2} 5^{k-2} = \frac{k(k-1)5^k}{50} $$

Ta viết lại

$$ A = \sum_{k=2}^{n} \frac{5^k}{a_k} = \sum_{k=2}^{n} \frac{50}{k(k-1)} = 50 \left( 1 - \frac{1}{n}  \right ) = 48 $$

Như vậy $n=25$

bạn làm kĩ hơn được không ?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh