Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG TP. Hồ Chí Minh năm học 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP THÀNH PHỐ 
KHÓA THI NGÀY 04-03-2014
MÔN: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1. (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) $\sin 6x+\sin 2x+\sin^3 2x=4(\sin^6x +\cos^6 x)$
b) $(3x+2)\sqrt{2x^2-3}=5x^2+x-6$
 
Bài 2. (3 điểm)
Giải hệ\[\left\{ \begin{array}{l}
16{x^2} + 4xy + {y^2} = 12\\
8{x^2} + 4xy - 28x - 5y =  - 18
\end{array} \right.\]
 
Bài 3. (3 điểm)
Cho hai số không âm $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a+b=1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{1+a^{2014}}+\sqrt{1+b^{2014}}$
 
Bài 4. (4 điểm)
Tìm $m$ để phương trình $\sqrt{mx^2+mx+3}=mx+1$ có nghiệm duy nhất.
 
Bài 5. (4 điểm)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $SA=2\sqrt{3}$ và hình chiếu $H$ của $A$ lên $(SBC)$ là trực tâm tam giác $SBC$ ($H$ nằm trong tam giác $SBC$). Giả sử góc giữa hai mặt $(HAB)$ và $(ABC)$ có số đo bằng $30^0$, tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
 
Bài 6. (2 điểm)
Với số tự nhiên $n\ge 2$, gọi $a_n$ là hệ số của $x$ trong khai triển nhị thức $(5+\sqrt{x})^n$. Tìm giá trị của $n$ để biểu thức $A=\frac{5^2}{a_2}+\frac{5^3}{a_3}+\frac{5^4}{a_4}+...+\frac{5^n}{a_n}$ có giá trị bằng $48$.

 

Hết 

 

File gửi kèm  de thi HSG TPHCM 2014.pdf   130.02K   354 Số lần tải


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-03-2014 - 18:07

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP THÀNH PHỐ 
KHÓA THI NGÀY 04-03-2014
MÔN: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
 
 
Bài 2. (3 điểm)
Giải hệ\[\left\{ \begin{array}{l}
16{x^2} + 4xy + {y^2} = 12\\
8{x^2} + 4xy - 28x - 5y =  - 18
\end{array} \right.\]
 
 

 

Hết 

 

attachicon.gifde thi HSG TPHCM 2014.pdf

 

Lấy :

$PT(1)+2PT(2)$
$\Rightarrow 32x^2+y^2+12xy-56x-10y+24=0\Rightarrow (4x+y-4)(8x+y-6)=0\Rightarrow ...$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#3
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP THÀNH PHỐ 
KHÓA THI NGÀY 04-03-2014
MÔN: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
 
Bài 4. (4 điểm)
Tìm $m$ để phương trình $\sqrt{mx^2+mx+3}=mx+1$ có nghiệm duy nhất.
 
 

Hết 

 

attachicon.gifde thi HSG TPHCM 2014.pdf

 

Nhận thấy $m=0$ thì $PT$ vô nghiệm 
$m=1$ thì $PT$ có 1 nghiệm duy nhất ( chọn )
Xét $m\neq 0;1$
$PT\Rightarrow mx^{2}+mx+3=m^2x^2+2mx+1\Rightarrow x^{2}(m^{2}-m)+xm-2=0\Rightarrow \Delta =m^{2}+8(m^{2}-m)=0\Rightarrow 9m^{2}-8m=0\Rightarrow m=\frac{8}{9}$
Thử lại thì $m=\frac{8}{9}$ thỏa mãn
Vậy : $m\in \left \{ 1;\frac{8}{9} \right \}$
 


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#4
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Bài 1: b)

Từ $GT\Rightarrow$$4x^2 - 6 -(3x+2)\sqrt{2x^2-3}+x^2+x=0$

đặt $\sqrt{2x^2-3}=t$ $t\geq 0$

phương trình trở thành

$2t^2-(3x+2)t+x^2+x=0$

Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn t có

$\Delta = (3x+2)^2 - 8(x^2+x)=9x^2+12x+4 - 8x^2 -8x = (x-2)^2$

Khi đó phương trình có nghiệm

$\begin{bmatrix} t=\frac{3x+2+x-2}{2} & & \\ t=\frac{3x+2-x+2}{2} & & \end{bmatrix}$

$<=> \begin{bmatrix} t=2x & & \\ t=x+2 & & \end{bmatrix}$

Đoạn này thay t vào là ra


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#5
qthinh4996

qthinh4996

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Nhận thấy $m=0$ thì $PT$ vô nghiệm 
$m=1$ thì $PT$ có 1 nghiệm duy nhất ( chọn )
Xét $m\neq 0;1$
$PT\Rightarrow mx^{2}+mx+3=m^2x^2+2mx+1\Rightarrow x^{2}(m^{2}-m)+xm-2=0\Rightarrow \Delta =m^{2}+8(m^{2}-m)=0\Rightarrow 9m^{2}-8m=0\Rightarrow m=\frac{8}{9}$
Thử lại thì $m=\frac{8}{9}$ thỏa mãn
Vậy : $m\in \left \{ 1;\frac{8}{9} \right \}$
 

Bạn ơi! bạn chưa đặt ĐK đó.

Nếu mà ĐK nằm trong khoảng hai nghiệm của pt bậc 2 thì nó cũng có nghiệm duy nhất cơ mà...?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi qthinh4996: 05-03-2014 - 16:34


#6
hoaadc08

hoaadc08

    Trung úy

  • Thành viên
  • 777 Bài viết

Bài 1: b)

Từ $GT\Rightarrow$$4x^2 - 6 -(3x+2)\sqrt{2x^2-3}+x^2+x=0$

đặt $\sqrt{2x^2-3}=t$ $t\geq 0$

phương trình trở thành

$2t^2-(3x+2)t+x^2+x=0$

Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn t có

$\Delta = (3x+2)^2 - 8(x^2+x)=9x^2+12x+4 - 8x^2 -8x = (x-2)^2$

Khi đó phương trình có nghiệm

$\begin{bmatrix} t=\frac{3x+2+x-2}{2} & & \\ t=\frac{3x+2-x+2}{2} & & \end{bmatrix}$

$<=> \begin{bmatrix} t=2x & & \\ t=x+2 & & \end{bmatrix}$

Đoạn này thay t vào là ra

Bạn tính nhầm dấu Delta . Giải ra đúng là : t = x/2 , t = x + 1 .
ĐS là :
\[S = \left\{ {1 + \sqrt 5 ;\frac{{2\sqrt {21} }}{7}} \right\}\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 05-03-2014 - 19:56


#7
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

 


 
Bài 3. (3 điểm)
Cho hai số không âm $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a+b=1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{1+a^{2014}}+\sqrt{1+b^{2014}}$
 

Min:
Áp dụng BĐT Minkowsky ta có
$$P\ge \sqrt{4+(a^{1007}+b^{1007})^2} $$
Áp dụng BĐT trung bình lũy thừa ta có
$a^{1007}+b^{1007}\ge \frac{(a+b)^{1007}}{2^{1006}}$

Do đó $P\ge \sqrt{4+\frac{1}{2^{2012}}}$
Khi đó $a=b=\frac{1}{2}$

Cách khác
Giả sử $a\ge b$ khi đó, tồn tại 2 số thực dương $t;s$ sao cho $b=t+s;c=t-s$ và $s \in [0;t]$

Khi đó $P=\sqrt{1+(t+s)^{2014}}+\sqrt{1+(t-s)^{2014}}$

Xét hàm số $f(s)=\sqrt{1+(t+s)^{2014}}+\sqrt{1+(t-s)^{2014}}; s\in [0;t]$
$f'(s)=\frac{1007(t+s)^{2013}}{\sqrt{1+(t+s)^{2014}}}+\frac{1007(s-t)^{2013}}{\sqrt{1+(s-t)^{2014}}}>0 \forall s\in [0;t]$

Suy ra $f(s)$ đồng biến trên $[0;t]$

Do đó $f(s)\le f(t)=\sqrt{1+(2t)^{2014}}+1 \le \sqrt{2}+1$ (do $t \le 1$)
Khi đó $a=1;b=0$ và hoán vị tương ứng.
$f(s)\ge f(0)$ khi đó $a=b=t$

Từ đây ta dễ dàng tìm dược min .


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#8
youkito89

youkito89

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Bài hình làm sao để chứng minh đó là hình chóp tam giác đều vậy mọi người ?



#9
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài hình làm sao để chứng minh đó là hình chóp tam giác đều vậy mọi người ?

Bạn tham khảo cái này nhen :3 của 1 thầy tr` mình

Hình gửi kèm

  • 1932352_515220058597585_544936600_n.jpg

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#10
khong la gi ca

khong la gi ca

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Bài 6. (2 điểm)

Với số tự nhiên $n\ge 2$, gọi $a_n$ là hệ số của $x$ trong khai triển nhị thức $(5+\sqrt{x})^n$. Tìm giá trị của $n$ để biểu thức $A=\frac{5^2}{a_2}+\frac{5^3}{a_3}+\frac{5^4}{a_4}+...+\frac{5^n}{a_n}$ có giá trị bằng $48$.

 

Với mọi số tự nhiên $2 \le k \le n$, ta có

$$ \left ( 5 + \sqrt{x} \right ) ^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} 5^{k-i} x^{\frac{i}{2}} $$

Theo đó thì

$$ a_k = \binom{k}{2} 5^{k-2} = \frac{k(k-1)5^k}{50} $$

Ta viết lại

$$ A = \sum_{k=2}^{n} \frac{5^k}{a_k} = \sum_{k=2}^{n} \frac{50}{k(k-1)} = 50 \left( 1 - \frac{1}{n}  \right ) = 48 $$

Như vậy $n=25$


"The Universe appears to be flawed.

If things exist because they ought to,

why are they not much better than they are?"


#11
baduong1998

baduong1998

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

 

Với mọi số tự nhiên $2 \le k \le n$, ta có

$$ \left ( 5 + \sqrt{x} \right ) ^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} 5^{k-i} x^{\frac{i}{2}} $$

Theo đó thì

$$ a_k = \binom{k}{2} 5^{k-2} = \frac{k(k-1)5^k}{50} $$

Ta viết lại

$$ A = \sum_{k=2}^{n} \frac{5^k}{a_k} = \sum_{k=2}^{n} \frac{50}{k(k-1)} = 50 \left( 1 - \frac{1}{n}  \right ) = 48 $$

Như vậy $n=25$

bạn làm kĩ hơn được không ?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh