Chủ đề này có 2 trả lời

[thienminhdv]

Cho các số dương phân biệt thoả mãn $a^2+2b=12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P=\dfrac{4}{a^4}+\dfrac{4}{b^4}+\dfrac{5}{8(a-b)^2}$

[25 minutes]

Cho các số dương phân biệt thoả mãn $a^2+2b=12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P=\dfrac{4}{a^4}+\dfrac{4}{b^4}+\dfrac{5}{8(a-b)^2}$

Từ giả thiết và áp dụng AM-GM ta có 

            $16=a^2+4+2b\geqslant 4a+2b\geqslant 2\sqrt{4a.2b}\Rightarrow ab\leqslant 8$

        $\Rightarrow P\geqslant \frac{a^2b^2}{64}.(\frac{4}{a^4}+\frac{4}{b^4})+\frac{ab}{8}.\frac{5}{8(a-b)^2}=\frac{1}{16}(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})+\frac{5}{64(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}-2)}$

Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow t>2$

Và  $P\geqslant \frac{t^2-2}{16}+\frac{5}{64(t-2)}=\frac{t^2}{16}+\frac{5}{64 (t-2)}-\frac{1}{8}=f(t)$

Xét $f'(t)=\frac{t}{8}-\frac{5}{64(t-2)^2}=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}$

Lập bảng biến thiên ta suy ra $P\geqslant f(t)\geqslant f(\frac{5}{2})=\frac{27}{64}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=2, b=4$

[fcb]

làm sao dự đoán được dấu bằng  xảy ra khi a=2 b=2