Chủ đề này có 2 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2014}$

Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}.\sqrt{1007}$

[Trang Luong]

Tham khảo đáp án nha

 

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2014}$

Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}.\sqrt{1007}$

[Phuong Thu Quoc]

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2014}$

Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}.\sqrt{1007}$

AD Chebyshev ta được VT\geq \frac{1}{3}.\sum a^{2}.\sum \frac{1}{a+b}

Mặt khác theo AM-GM ta có các bất đẳng thức sau

2\sum a^{2}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum \left ( a^{2}+b^{2} \right ) \right )^{2}=\frac{1}{3}.2014

\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{2\sum a},2\sum a\leq \sqrt{2}.\sum \left ( a^{2}+b^{} \right )=\sqrt{2028}

Thay vào ta được kết quả của đề bài..