Đến nội dung

Hình ảnh

Đề Thi HSG Tỉnh Lớp 9 Tỉnh Hà Tĩnh Năm 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 20 trả lời

#1
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Câu $1$ ,

a, Giải phương trình $2\sqrt{2x-1}=x^2+1.$

b, Giải hệ phương trình $$\begin{cases}3x^3+xy^2=2y \\ y^3+x^2y=-2x. \end{cases}$$

Câu $2$ , 

a, Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $$a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1.$$ Tính $$\mathbb{P}=a^{2012}+b^{2013}+c^{2014}.$$

b, Cho $x,y>0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\mathbb{P}=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}.$$

Câu $3$ ,

Giả sử phương trình $\dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{zx}+\dfrac{z^2}{xy}=3$ có 3 nghiệm không đồng thời bằng nhau $(a;b;c); (p;q;r); \left(\dfrac{a}{p};\dfrac{b}{q}; \dfrac{c}{r}\right).$ 

Chứng minh $(ap^2;bq^2;cr^2)$ cũng là nghiệm của phương trình đó.

Câu $4$ ,

Tam giác $ABC$ có $AB=AC=a; \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\alpha \in (0^0;90^0).$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Góc $\widehat{xMy}$ quay quanh điểm $M$ sao cho $Mx, My$ cắt $AB, AC$ tại $D, E.$

a) Tính tích $BD.CE$ theo $a; \alpha.$
b) Gọi $d_{(M;DE)}=R.$ Chứng minh rằng $AB, AC$ là các tiếp tuyến của $(M;R).$
c) Tìm vị trí của $D; E$ sao cho $S_{ADE}$ lớn nhất.

Câu $5$ ,

Lấy 2014 điểm phân biệt trên đường tròn bán kính $R=1$ sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ khác $\sqrt{3}.$ Chứng minh có thể chọn ra 672 điểm sao cho bất cứ bộ ba điểm nào cũng là 3 đỉnh của một tam giác có một góc lớn hơn $120^0.$

 



#2
vuvanquya1nct

vuvanquya1nct

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

Câu $1$ ,

a, Giải phương trình $2\sqrt{2x-1}=x^2+1.$

b, Giải hệ phương trình $$\begin{cases}3x^3+xy^2=2y \\ y^3+x^2y=-2x. \end{cases}$$

Câu b nhân chéo để mà ra PT đẳng cấp suy ra mối quan hệ x và y

Câu a

ĐK...

PT$\Leftrightarrow (x+1)^2=(\sqrt{2x-1}+1)^2$

Đến đây ok


:ukliam2:  


#3
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Câu 1:

a. ĐK: $x\geq \frac{1}{2}$

gt => $(2x-1)+2\sqrt{2x-1}+1=x^{2}+2x+1$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}+1)^{2}=(x+1)^{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=x$ ( vì x $\geq \frac{1}{2}$)

$\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=1$



#4
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Câu 2b) Đặt $x^2=a,y^2=b$

$\Rightarrow P=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{4ab}{(a+b)^2}=\frac{1}{2}\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+\frac{a^2+b^2}{2ab}+\frac{4ab}{(a+b)^2}\geq 1+\frac{(a+b)^2}{4ab}+\frac{4ab}{(a+b)^2}\geq 3$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#5
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

2a

gt => $a^{2}(a-1)+b^{2}(b-1)+c^{2}(c-1)=0$ (*)

Ta có: $a^{2}+b^{2}=1-c^{2}\geq 0\Leftrightarrow c^{2}\leq 1\Leftrightarrow -1\leq c\leq 1$

CMTT => $-1\leq a,b,c\leq 1$

Suy ra: $a^{2}(a-1)\leq 0$, $b^{2}(b-1)\leq 0$ , $c^{2}(c-1)\leq 0$

=> (*)$\leq 0$. Dấu "=" xảy ra khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1

=> P = 1



#6
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Câu $1$ ,

 

b, Giải hệ phương trình $$\begin{cases}3x^3+xy^2=2y \\ y^3+x^2y=-2x. \end{cases}$$

Câu $2$ , 

 

b, Cho $x,y>0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\mathbb{P}=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}.$$

 

Câu 1:

b) Thấy $x=y=0$ là 1 nghiệm của pt

Với $x,y\neq 0$

Đặt $x=ty$

HPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3t^3y^2+ty^2=2 & \\ y^2+t^2y^2=-2t & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow y^2+t^2t^2+t(3t^3y^2+ty^2)=0$

$\Leftrightarrow 3t^4+2t^2+1=0$ (pt này vô nghiệm)

Câu 2b áp dụng bđt Cô si

$P+2=\frac{x^2+y^2}{2x^2}+\frac{x^2+y^2}{2x^2}+\frac{x^2+y^2}{2y^2}+\frac{x^2+y^2}{2y^2}+\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}$

$\geq 5.\sqrt[5]{\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}}\geq 5\Rightarrow P\geq 3$



#7
pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết

 

Câu $4$ ,

Tam giác $ABC$ có $AB=AC=a; \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\alpha \in (0^0;90^0).$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Góc $\widehat{xMy}$ quay quanh điểm $M$ sao cho $Mx, My$ cắt $AB, AC$ tại $D, E.$

a) Tính tích $BD.CE$ theo $a; \alpha.$
b) Gọi $d_{(M;DE)}=R.$ Chứng minh rằng $AB, AC$ là các tiếp tuyến của $(M;R).$
c) Tìm vị trí của $D; E$ sao cho $S_{ADE}$ lớn nhất.

 

Cho mình hỏi góc xMy có thay đổi ko????????????????????


                           80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#8
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài giải hệ phương trình trên là $\left\{\begin{matrix} 3x^{2}+xy^{2}=2y & \\ y^{2}+x^{2}y=-2x& \end{matrix}\right.$ mới đúng đề thi HSG lớp 9 Hà Tĩnh



#9
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Bài giải hệ phương trình trên là $\left\{\begin{matrix} 3x^{2}+xy^{2}=2y & \\ y^{2}+x^{2}y=-2x& \end{matrix}\right.$ mới đúng đề thi HSG lớp 9 Hà Tĩnh

Với $x=y=0$ là nghiệm của HPT

Với $xy\neq \Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy^2=2y\\ 3x^3+y^3+2x^2y^2=0 \end{matrix}\right.$

Đặt $x=ty\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3t^2y^2+ty^3=2y\\ 3t^3y^3+y^3=2t^2y^4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3t^2y+ty^2=2\\ 3t^3-2t^2y=-1 \end{matrix}\right.$ ra HPT đẳng cấp rồi

Đặt $t=zy\Rightarrow z=-1\Rightarrow y^2+x=0$

$\Rightarrow y=1,x=-1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#10
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Với $x=y=0$ là nghiệm của HPT

Với $xy\neq \Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy^2=2y\\ $3x^3+y^3+2x^2y^2=0 \end{matrix}$\right.$

Đặt $x=ty\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3t^2y^2+ty^3=2y\\ 3t^3y^3+y^3=2t^2y^4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3t^2y+ty^2=2\\ 3t^3-2t^2y=-1 \end{matrix}\right.$ ra HPT đẳng cấp rồi

Đặt $t=zy\Rightarrow z=-1\Rightarrow y^2+x=0$

$\Rightarrow y=1,x=-1$

chỗ này biến đổi từ đâu? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 12-03-2014 - 20:01


#11
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

chỗ này biến đổi từ đâu? 

Ta có : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy^2=2y\\ y^2+x^2y=-2x \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3x^3+x^2y^2=2xy\\ y^3+x^2y^2=-2xy \end{matrix}\right.\Rightarrow 3x^3+y^3+2x^2y^2=0$

Đc chưa  :closedeyes:  :closedeyes:


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#12
Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết

Câu $5$ ,

Lấy 2014 điểm phân biệt trên đường tròn bán kính $R=1$ sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ khác $\sqrt{3}.$ Chứng minh có thể chọn ra 672 điểm sao cho bất cứ bộ ba điểm nào cũng là 3 đỉnh của một tam giác có một góc lớn hơn $120^0.$

 Ta chia đường tròn thành 3 cung bằng nhau $(120^o)$

Như vậy theo đi rich lê, tồn tại 1 cung có trên 672 điểm

Giả sử trên cung $\widehat{AB}$ có 3 điểm $M,N,P$ theo thứ tự  thì $\widehat{MNP}>120^o$

Q.E.D



#13
Johan Liebert

Johan Liebert

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Câu cuối:

Chia đường tròn thành 3 cung mỗi cung là 120 độ

Theo Dirichlet thì có một cung chứa 672 điểm

3 điểm bất kì thì đều tạo thành tam giác tù có một đỉnh lớn hơn 120 độ



#14
bengoyeutoanhoc

bengoyeutoanhoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Cho mình hỏi góc xMy có thay đổi ko????????????????????

$\widehat{xMy}=\alpha$ bạn à!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bengoyeutoanhoc: 13-03-2014 - 16:52


#15
DucPhong

DucPhong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

 

Câu $2$ , 

a, Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $$a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1.$$ Tính $$\mathbb{P}=a^{2012}+b^{2013}+c^{2014}.$$

 

 

Bài này thấy hay không biết giải thế nào các bạn?

 



#16
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Câu 3

Phương trình $\frac{x^{2}}{yz} + \frac{y^{2}}{zx} + \frac{z^{2}}{xy} = 3$ $\Rightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$

$\Rightarrow (x + y + z)(x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx) = 0$

$\Rightarrow (x + y + z).\frac{1}{2}((x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}) = 0$

$\Rightarrow x + y + z = 0$ hoặc x = y = z

Mà phương trình có 3 nghiệm (x, y, z) không đồng thời bằng nhau nên x + y + z = 0. Do đó từ giả thiết ta có:

$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{p} + \frac{b}{q} + \frac{c}{r} = 0\\a + b + c = 0 \\p + q + r = 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{a}{p} + \frac{b}{q} + \frac{a + b}{p + q} = 0$

$\Rightarrow (aq + bp)(p + q) + (a + b)pq = 0$

$\Rightarrow aq^{2} + bp^{2} + 2(a + b)pq = 0$

$\Rightarrow ap^{2} + bq^{2} = (a + b)(p^{2} + q^{2}) + 2(a + b)pq$ = $(a + b)(p + q)^{2}$ = $-c(-r)^{2}$

$\Rightarrow ap^{2} + bq^{2} + cr^{2} = 0$

$\Rightarrow (ap^{2})^{3} + (bq^{2})^{3} + (cr^{2})^{3} = 3ap^{2}. bq^{2}. cr^{2}$

Hay $(ap^{2}, bq^{2}, cr^{2})$ là nghiệm của phương trình $\frac{x^{2}}{yz} + \frac{y^{2}}{zx} + \frac{z^{2}}{xy} = 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 22-03-2014 - 22:58

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#17
Thienthcstphu

Thienthcstphu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Sao không ai giải câu hình hết nhỉ ?



#18
bengoyeutoanhoc

bengoyeutoanhoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Câu 3

Phương trình $\frac{x^{2}}{yz} + \frac{y^{2}}{zx} + \frac{z^{2}}{xy} = 3$ $\Rightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$

$\Rightarrow (x + y + z)(x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx) = 0$

$\Rightarrow (x + y + z).\frac{1}{2}((x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}) = 0$

$\Rightarrow x + y + z = 0$ hoặc x = y = z

Mà phương trình có 3 nghiệm (x, y, z) không đồng thời bằng nhau nên x + y + z = 0. Do đó từ giả thiết ta có:

$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{p} + \frac{b}{q} + \frac{c}{r} = 0\\a + b + c = 0 \\p + q + r = 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{a}{p} + \frac{b}{q} + \frac{a + b}{p + q} = 0$

$\Rightarrow (aq + bp)(p + q) + (a + b)pq = 0$

$\Rightarrow aq^{2} + bp^{2} + 2(a + b)pq = 0 (*)$

$\Rightarrow ap^{2} + bq^{2} = (a + b)(p^{2} + q^{2}) + 2(a + b)pq (*)$ = $(a + b)(p + q)^{2}$ = $-c(-r)^{2}$

$\Rightarrow ap^{2} + bq^{2} + cr^{2} = 0$

$\Rightarrow (ap^{2})^{3} + (bq^{2})^{3} + (cr^{2})^{3} = 3ap^{2}. bq^{2}. cr^{2}$

Hay $(ap^{2}, bq^{2}, cr^{2})$ là nghiệm của phương trình $\frac{x^{2}}{yz} + \frac{y^{2}}{zx} + \frac{z^{2}}{xy} = 3$

Hai hàng đáng dấu (*) có liên quan gì sao ạ ??!



#19
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Hai hàng đáng dấu (*) có liên quan gì sao ạ ??!

 

$aq^{2} + bp^{2} + 2(a + b)pq = 0$

$\Rightarrow ap^{2} + bq^{2} = ap^{2} + bq^{2} + (aq^{2} + bp^{2} + 2(a + b)pq)$ $= (a + b)(p + q)^{2} = -cr^{2}$

 

 


Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#20
liethaugia

liethaugia

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

 

 

Câu $2$ , 

a, Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $$a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1.$$ Tính $$\mathbb{P}=a^{2012}+b^{2013}+c^{2014}.$$

 

 

Bài này thấy hay không biết giải thế nào các bạn?

 

 

dễ mà;trị tuyẹt đối a b c nhỏ hơn 1

lấy 2 vế trừ cho nhau suy ra

a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)=0

dễ thấy VT >=0

kết hợp Đk suy ra trong 3 số a b c có 2 số bằng 0 ,1 số bằng 1 suy ra giá trị biểu thức cần tìm là 1

  1. từ đk >





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh