Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b > 0$ và $a+b=1$ Tìm min của $A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
zzhanamjchjzz

zzhanamjchjzz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

Cho $a,b > 0$ và $a+b=1$ Tìm min của $A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}$



#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho $a,b > 0$ và $a+b=1$ Tìm min của $A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}$

Theo bđt S.Vac

$A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{3}{3ab}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{a^3+b^3+3ab}$

$=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{a^2-ab+b^2+3ab}$

$=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{(a+b)^2}=(1+\sqrt{3})^2$



#3
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

$(a+b)^{3}=1\Leftrightarrow A=\frac{(a+b)^{3}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{(a+b)^{3}}{ab}=\frac{a^{3}+b^{3}+3ab}{a^{3}+b^{3}}+\frac{a^{3}+b^{3}+3ab}{ab}=4+\frac{3ab}{a^{3}+b^{3}}+\frac{a^{3}+b^{3}}{ab}\geq 4+2\sqrt{3}$

Vậy Min A = $4+2\sqrt{3}$



#4
vipboycodon

vipboycodon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

$(a+b)^{3}=1\Leftrightarrow A=\frac{(a+b)^{3}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{(a+b)^{3}}{ab}=\frac{a^{3}+b^{3}+3ab}{a^{3}+b^{3}}+\frac{a^{3}+b^{3}+3ab}{ab}=4+\frac{3ab}{a^{3}+b^{3}}+\frac{a^{3}+b^{3}}{ab}\geq 4+2\sqrt{3}$

Vậy Min A = $4+2\sqrt{3}$

 

 

Theo bđt S.Vac

$A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{3}{3ab}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{a^3+b^3+3ab}$

$=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{a^2-ab+b^2+3ab}$

$=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{(a+b)^2}=(1+\sqrt{3})^2$

Theo mình thì 2 bạn làm sai rồi.Dấu "=" xảy ra khi nào ? Mình nghĩ bài này phải chọn điểm rơi chứ nhỉ.

Đây là cách làm của mình:

$A = \dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{9}{3ab}-\dfrac{6}{3ab}$

$\ge \dfrac{(1+3)^2}{a^2-ab+b^2+3ab}-\dfrac{2}{ab}$

$\ge \dfrac{16}{(a+b)^2}-\dfrac{2}{\dfrac{(a+b)^2}{4}} = 16-8 = 8$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = \dfrac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 07-03-2014 - 19:02


#5
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Theo mình thì 2 bạn làm sai rồi.Dấu "=" xảy ra khi nào ? Mình nghĩ bài này phải chọn điểm rơi chứ nhỉ.

Dấu $=$ xảy ra $\frac{1}{a^2-ab+b^2}=\frac{\sqrt{3}}{3ab}\Leftrightarrow a^2-ab+b^2=ab\sqrt{3}$

Thế $a=1-b$ vào là tìm đc $a,b$ mà bạn  :lol:



#6
LCcau

LCcau

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Theo mình thì 2 bạn làm sai rồi.Dấu "=" xảy ra khi nào ? Mình nghĩ bài này phải chọn điểm rơi chứ nhỉ.

Đây là cách làm của mình:

$A = \dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{9}{3ab}-\dfrac{6}{3ab}$

$\ge \dfrac{(1+3)^2}{a^2-ab+b^2+3ab}-\dfrac{2}{ab}$

$\ge \dfrac{16}{(a+b)^2}-\dfrac{2}{\dfrac{(a+b)^2}{4}} = 16-8 = 8$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = \dfrac{1}{2}$

tìm đc a và b mà bạn

Dấu"=" xảy ra khi $a^{3}+b^{3}=ab\sqrt{3}\Leftrightarrow 1-3ab=ab\sqrt{3}\Leftrightarrow a(a-1)(3+\sqrt{3})-1=0\Leftrightarrow a^{2}-a-\frac{1}{3+\sqrt{3}}=0$

đến đây tìm $\Delta$ giải pt tìm a và b


3f14fa08.gif





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh