Cho $a,b > 0$ và $a+b=1$ Tìm min của $A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}$
Cho $a,b > 0$ và $a+b=1$ Tìm min của $A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}$
#1
Đã gửi 07-03-2014 - 17:52
#2
Đã gửi 07-03-2014 - 18:07
Cho $a,b > 0$ và $a+b=1$ Tìm min của $A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}$
Theo bđt S.Vac
$A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{3}{3ab}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{a^3+b^3+3ab}$
$=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{a^2-ab+b^2+3ab}$
$=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{(a+b)^2}=(1+\sqrt{3})^2$
- Vu Thuy Linh, hoctrocuanewton, Phuong Thu Quoc và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 07-03-2014 - 18:12
$(a+b)^{3}=1\Leftrightarrow A=\frac{(a+b)^{3}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{(a+b)^{3}}{ab}=\frac{a^{3}+b^{3}+3ab}{a^{3}+b^{3}}+\frac{a^{3}+b^{3}+3ab}{ab}=4+\frac{3ab}{a^{3}+b^{3}}+\frac{a^{3}+b^{3}}{ab}\geq 4+2\sqrt{3}$
Vậy Min A = $4+2\sqrt{3}$
- Yagami Raito, Hyenas, angleofdarkness và 2 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 07-03-2014 - 18:49
$(a+b)^{3}=1\Leftrightarrow A=\frac{(a+b)^{3}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{(a+b)^{3}}{ab}=\frac{a^{3}+b^{3}+3ab}{a^{3}+b^{3}}+\frac{a^{3}+b^{3}+3ab}{ab}=4+\frac{3ab}{a^{3}+b^{3}}+\frac{a^{3}+b^{3}}{ab}\geq 4+2\sqrt{3}$
Vậy Min A = $4+2\sqrt{3}$
Theo bđt S.Vac
$A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{3}{3ab}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{a^3+b^3+3ab}$
$=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{a^2-ab+b^2+3ab}$
$=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{(a+b)^2}=(1+\sqrt{3})^2$
Theo mình thì 2 bạn làm sai rồi.Dấu "=" xảy ra khi nào ? Mình nghĩ bài này phải chọn điểm rơi chứ nhỉ.
Đây là cách làm của mình:
$A = \dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{9}{3ab}-\dfrac{6}{3ab}$
$\ge \dfrac{(1+3)^2}{a^2-ab+b^2+3ab}-\dfrac{2}{ab}$
$\ge \dfrac{16}{(a+b)^2}-\dfrac{2}{\dfrac{(a+b)^2}{4}} = 16-8 = 8$
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = \dfrac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 07-03-2014 - 19:02
- lahantaithe99 yêu thích
#5
Đã gửi 07-03-2014 - 18:55
Theo mình thì 2 bạn làm sai rồi.Dấu "=" xảy ra khi nào ? Mình nghĩ bài này phải chọn điểm rơi chứ nhỉ.
Dấu $=$ xảy ra $\frac{1}{a^2-ab+b^2}=\frac{\sqrt{3}}{3ab}\Leftrightarrow a^2-ab+b^2=ab\sqrt{3}$
Thế $a=1-b$ vào là tìm đc $a,b$ mà bạn
#6
Đã gửi 07-03-2014 - 19:40
Theo mình thì 2 bạn làm sai rồi.Dấu "=" xảy ra khi nào ? Mình nghĩ bài này phải chọn điểm rơi chứ nhỉ.
Đây là cách làm của mình:
$A = \dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{9}{3ab}-\dfrac{6}{3ab}$
$\ge \dfrac{(1+3)^2}{a^2-ab+b^2+3ab}-\dfrac{2}{ab}$
$\ge \dfrac{16}{(a+b)^2}-\dfrac{2}{\dfrac{(a+b)^2}{4}} = 16-8 = 8$
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = \dfrac{1}{2}$
tìm đc a và b mà bạn
Dấu"=" xảy ra khi $a^{3}+b^{3}=ab\sqrt{3}\Leftrightarrow 1-3ab=ab\sqrt{3}\Leftrightarrow a(a-1)(3+\sqrt{3})-1=0\Leftrightarrow a^{2}-a-\frac{1}{3+\sqrt{3}}=0$
đến đây tìm $\Delta$ giải pt tìm a và b
- lahantaithe99 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh