ĐỀ THI HSG ĐÀ NẴNG 2013-2014
Thời gian: 150'
Bài 1:(2.5đ)
a)Cho $x>0;x\neq 1$. Chứng minh rằng:
$\left (\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1} \right ):\frac{\sqrt{x}+1}{x-2\sqrt{x}+1}<1$
b)Cho $A=\left (\frac{2-\sqrt[3]{4x}}{x-\sqrt[3]{2x^2}} \right ):\left ( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{x} \right )-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ với $x\neq 0;-2$.
Tìm $x$ nguyên sao cho $A^3$ nguyên.
Bài 2:(2đ)
a)Giải PT: $\sqrt{-2x^2+3x-1}+2=\sqrt{2x-1}+2\sqrt{1-x}$
b)Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} x=4y^2(x-1) & \\ y=4z^2(y-1) & \\ z=4x^2(z-1) & \end{matrix}\right.$
Bài 3:(2đ) Trên cùng mặt phẳng toạ độ, cho 2 hàm số $y=-2x+4$ và $y=mx+n$ có đồ thị là $d$ và $\bigtriangleup$
a)Tìm tất cả giá trị $m,n$ để 2 đồ thị trên cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
b)Khi $d, \bigtriangleup$ và $Oy$ đồng quy, tìm $m,n$ để $\bigtriangleup$ là phân giác của góc nhọn tạo bởi $d$ và $Oy$
Bài 4:(2đ) Cho $\bigtriangleup ABC$ cân tại $A$ nội tiếp $(O)$, $\widehat{BAC}<90^0$. $K$ là điểm chính giữa cung $AC$. Trên cung $KC$ nhỏ lấy $D$ tuỳ ý($D$ khác $C$), vẽ đường kính $DD'$. $BC$ cắt $AD,AD'$ tại $M,N$. Gọi $P$ là giao điểm $AC$ và $BD$.
a)Tìm hệ thức liên hệ giữa $\widehat{ABC},\widehat{APB},\widehat{CMD}$
b)Khi $D$ thay đổi, chứng minh $MNDD'$ luôn nội tiếp đường tròn.
Bài 5:(1.5đ) Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $AB$ tại $G$. Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $CG$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $M$. Trên cung nhỏ $BM$ lấy $D$ tuỳ ý. Gọi $E$ là điểm trên $(O)$ sao cho $CE//AD$, Gọi $F$ là giao điểm $CD$ và $BE$.
a)Chứng minh: $GF//AD$
b)Khi $D$ thay đổi, tìm quỹ tích điểm $F$.