Chủ đề này có 56 trả lời

[math_phd2010]

Phần lớn các bài tập trong mục này, mình lấy từ "Complex Analysis", Elias M. Stein & Rami Shakarchi, 2003.

1. Cho P(w) la một đa thức, hệ số phức, k là một số tự nhiên. Chứng minh rằng
w_{0} : |w_{0}|=1 và |P(w_{0}) + 1/w_{O}^{k}| 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_phd2010: 06-03-2006 - 22:07

[math_phd2010]

2. Cho f là một hàm analytic trên C thỏa: với mọi z_0 thuộc C, tồn tại số tự nhiên k(z_0) sao cho đạo hàm bậc k(z_0) của f tại z_0 bằng 0. Chứng minh rằng: f là một đa thức.

[titeoteo]

Phần lớn các bài tập trong mục này, mình lấy từ "Complex Analysis", Elias M. Stein & Rami Shakarchi, 2003.

1. Cho P(w) la một đa thức, hệ số phức, k là một số tự nhiên. Chứng minh rằng
  w_{0}  :  |w_{0}|=1 và |P(w_{0}) + 1/w_{O}^{k}| 1.

May quá, đang luyện Complex Analysis.

tương đương với
do
Nhận thấy đa thức trong | | bằng 1 tại w=0 nên sử dụng maximal modulus theorem được điều cần cm.
Câu 2: còn ...bí ^ _ ^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi titeoteo: 27-03-2006 - 18:00

[toilachinhtoi]

Bài 2: Với mỗi http://dientuvietnam...metex.cgi?f^{(k)} có nghệm là một tập không đếm được trọng nên ta có

To math_phd 2010: Hình như bạn học tiến sĩ năm 2004 phải không? Vì thấy ghi là 2010?

To titeoteo: BẠn đang học bên Mỹ hay sao mà thấy nói là đang ôn complex?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 27-03-2006 - 20:34

[titeoteo]

Lời giải tuyệt thật. (mình vẫn chưa đủ nhanh nhạy để nghĩ tới điều này )

Dạ em chỉ là sinh viên đại học( ở SG), đang ôn bởi vì thấy học mất căn bản, học lệch, kô nắm căn cơ gì hết, nên em đang học lại các môn (tại thấy các anh bảo phải học đều nên em học tập)
Anh math_phd2010 du học Mỹ hồi năm ngoái đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi titeoteo: 27-03-2006 - 21:10

[lavieestunemerde]

Hay quá nhờ bà con đả thông hộ vài bài nhé, đang cần gấp :

1) K là tập con đóng, đếm được của C. f chỉnh hình, bị chặn trên C\K. Khi đó f là hằng số.
(bài này trông cứ dễ dễ mà làm mãi không ra )

2) Cho -1<a<0<b<1. Tìm ánh xạ conformal (bảo giác ?) từ đĩa mở đơn vị bỏ đi (-1,a] và [b,1) lên đĩa mở đơn vị.

3) f giải tích trên đĩa mở đơn vị, liên tục trên đĩa đóng đơn vị. Khi đó có dãy đa thức P_n hội tụ đều đến f trên đĩa đón đơn vị (đang nghi ngờ là dãy các tổng riêng mà không biết chứng minh ra sao).

cám ơn nhiều !

[toilachinhtoi]

Bài 1: Vì K đóng, đếm được nên số điểm tụ của chính K là hữu hạn (không biết điều này có chính xác không???). Ở mỗi điểm x thuộc K mà x không phải là điểm tụ của K ta có thể sử dụng một định lý (không nhớ tên), phát biểu rằng: Nếu f giải tích trong vòng tròn trừ đi một điểm x, và f bị chận thì f có thể thác triển giải tích lên toàn vòng tròn. Sau khi đã thác triển f giải tích lên những điểm không là điểm tụ của K, ta tiếp tục thác triển nó tại hữu hạn điểm tụ của K. Như vậy f có thể tác triển giải tích lên toàn bộ C và bị chận, vậy nó phải là hằng số. (Thực ra hình như có một kết quả tổng quát hơn của Cartan rằng nếu K có cap(K)=0 và f giải tích trên C\K, f bị chận thì f là hằng số).

Bài 3: Xét hàm f trên đường tròn biên http://dientuvietnam...etex.cgi?|z|=1. Ta có thể xem vòng tròn này như tham số hóa bởi , và f liên tục với tính chất . Bây giờ ta có thể sử dụng phương pháp Lagrange để xấp xỉ f trên bởi những đa thức P_n với tính chất . Bây giờ dùng tích phân Poison mở rộng P_n lên toàn vòng tròn đóng
.

P_n(z) là một đa thức.

Bây giờ sử dụng nguyên lý maximum cho phần thực và phần ảo của các hàm f-P_n (mà là những hàm harmonic) ta suy ra P_n hội tụ về f trên vòng tròn đóng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 29-03-2006 - 17:38

[tthao]

Vì K đóng, đếm được nên số điểm tụ của chính K là hữu hạn  (không biết điều này có chính xác không???. 

chính xác. Kết quả bác sử dụng là hệ luận từ định lý Hartog và được tổng quát bởi Cartan-Thullen. Tuy nhiên để chỉ ra hàm thác triển bị chặn cần bổ sung thêm là có thể phủ K bởi một số hữu hạn các đa đĩa đóng, do đó hàm thác triển có modul cực đại không vượt quá max tại các điểm đó và modul của f do đó bị chặn.

Nếu lavie... muốn một chứng minh trực tiếp thì có thể tiến hành như chứng minh của định lý này nhờ khai triển Laurent, chứng minh các hệ số mũ âm đồng nhất không, rồi xét phần nguyên của chuỗi này sẽ nhận được thác triển mới. Hàm thác triển mới bi chặn trên C==> hằng.

[Kakalotta]

Bài 1: tại sao điểm tụ của K là hữu hạn. Tất nhiên, nếu mà điểm tụ là hữu hạn thì vấn đề là hiển nhiên,

[tthao]

tại sao điểm tụ của K là hữu hạn. Tất nhiên, nếu mà điểm tụ là hữu hạn thì vấn đề là hiển nhiên,

hmm cái đấy mới hiển nhiên (chỉ cần tí xíu hiểu biết về lực lượng), phần sau cóc hiển nhiên đâu ông.

[pizza]

@TLCT : Đ.c KK nói đúng đấy , số điểm tụ có thể là vô hạn . Chẳng hạn

X1=( 1 , 1+ 1/2 , 1+ 1/3 ...)
X2=(2 , 2+1/2 , ... )
.............................
Xn=( n , n+1/2 ,....)
...................................

Đặt X:= Xi thì X là tập đóng đếm được có số điểm tụ đếm được .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 30-03-2006 - 01:20

[tthao]

@TLCT : Đ.c KK nói đúng , số điểm tụ có thể là vô hạn . Chẳng hạn

X1=( 1 , 1+ 1/2 , 1+ 1/3 ...)
X2=(2 , 2+1/2 , ... )
.............................
Xn=( n , n+1/2 ,....)
...................................
X:=  Xi là tập đóng đếm được có số điểm tụ đếm được . Ợ !

Quá thất vọng! Tại sao X đóng ? 1,2,3, ... hội tụ về đâu thế .

Chứng minh cái điều này dễ ợt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthao: 30-03-2006 - 01:30

[lavieestunemerde]

@TLCT : Đ.c KK nói đúng , số điểm tụ có thể là vô hạn . Chẳng hạn

X1=( 1 , 1+ 1/2 , 1+ 1/3 ...)
X2=(2 , 2+1/2 , ... )
.............................
Xn=( n , n+1/2 ,....)
...................................
X:=  Xi là tập đóng đếm được có số điểm tụ đếm được . Ợ !

Quá thất vọng! Tại sao X đóng ? 1,2,3, ... hội tụ về đâu thế .

Chứng minh cái điều này dễ ợt.

Đến lượt tôi thất vọng bác tthao Tập đóng chứ có phải compact đâu . Mình vẫn chưa nghiên cứu mấy cái CM kia, bình luận sau nhé.

[Kakalotta]

thì mình nói hiển nhiên là bởi vì nó rất tự nhiên, chỉ có một đường. Đầu tiên đưa f lên CP1, sau đó thác triển giải tích để giết tất cả các điểm kì dị cô lập, rồi ánh xạ chỉnh hình trên đa tạp phức compact là tầm thường.

[toilachinhtoi]

Thực ra có một định lý tổng quát hơn là: Nếu K compact, polar, và f giải tích trên C\K, f bị chận quanh một lân cận của K thì f có thể thác triển lên C (xem Thomas Rasnfor, Potential theory in complex plane).

To KK: Có vẻ cậu nói đúng rồi.

Tuy nhiên, ta có thể dùng bổ đề Zorn để chứng minh bài toán bằng cách dùng định lý bỏ kì dị cổ điển.

Ta dùng một thứ tụ riêng phần cho những cặp (f,D) : f giải tích trên tập mở D, như sau (f,D)<=(g,E) nếu http://dientuvietnam...tex.cgi?g|_D=f. Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{f_i,D_i\} là một chain thì ta có thể thác triển tất cả f_i lên http://dientuvietnam...imetex.cgi?(g,E) của (f,C\K). Trong tập này có một phần tử maximal (g,E). Ta chứng minh rằng E=C. Thật vậy, ta có nên C\E có đếm được phần tử và đóng. Nếu C\E có một phần tử không phải là điểm tụ (E hội điểm này là một tập mở ) thì ta có thể dùng phương pháp trong bài giải trước đây để mở rộng g, mâu thuẫn với tính chất maximal của (g,E). Ngược lại, mọi điểm của C\E đều là điểm tụ của chính nó. Mà một tập compact khác rỗng có mọi điểm đều là điểm tụ thì không đếm được (không biết còn sai gì nữa không????).

[math_phd2010]

Bài tập tiếp theo:
3/ Giả sử bán kính hội tụ của chuỗi f(z) = a_0 + a_1 z^1 + a_2 z^2 +... là R (0<R<infinity). Với |w| = R, w được gọi là regular poit của chuỗi f(z) nếu tồn tại r>0 và một hàm holomorphic f_1 trên D_r(w) sao cho f=f_1 trên phần giao của D_R(0) và D_r(w). CMR: tồn tại a, |a|=R, sao cho a không phải là một regular point.

4/ Cho f(z) = z^2/(1x2) + z^3/(2x3) + z^4/(3x4) +....
a) Tìm tất cả regular point của f(z) trên đường tròn đơn vị.
b) Tồn tại hay không r>0 và một holomorphic function g trên D_r(1)\{1} sao cho f(z) = g(z) với z nằm trong phần giao D_r(1)\{1} và D_1(0).

5/ Let f be holomorphic in A={z: 0<|z-a|<r} except there is a sequence of poles {a_n} in A with lim a_n = a. Show that for each w in C, there is a sequence {z_n} in A with a = lim z_n and w = lim f(z_n)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_phd2010: 03-04-2006 - 16:20

[math_phd2010]

Mấy bài này chỉ để giải trí.
6/ Cho u là một hàm harmonic giá trị thực trên một miền simply connected \Omega . Chứng minh rằng: có một hàm holomorphic f trên \Omega sao cho u = Re f trên \Omega.

7/ Cho u là một số phức, không phải là một số nguyên. CMR:
.... + 1/(u-2)^2 + 1/(u-1)^2 + 1/(u)^2 + 1/(u+1)^2 + 1/(u+2)^2 + ... = (\Pi)^2/ {sin(u\Pi)}^2.

8/ Prove that all entire functions that are also injective take the form f(z) = az + b with a,b \in C, a<>0.

9/Show that there is no holomorphic function f in the open unit disc D that extends continuously to the boundary of D such that f(z) = 1/z for all z: |z|=1.

[toilachinhtoi]

Bài 3: Giả sử với mọi a trên http://dientuvietnam...metex.cgi?|z|=R ta đều có một quả cầu mở http://dientuvietnam...tex.cgi?B(a,r_a) sao cho f thác triển lên quả cầu này. Do http://dientuvietnam...metex.cgi?|z|=R là compact, ta có thể tìm một tập hữu hạn I sao cho . Vậy ta có thể thác triển f lên , do đó tồn tại r>0 sao cho f giải tích trên B(0,R+r), mâu thuẫn.

Bài 4: Đạo hàm f hai lần ta thấy .

Bài 8: Vì một hàm giải tích biến tập mở thành tập mở nên nếu f đơn ánh ta có f là một automorphism của C, nên phải có dạng f(z)=az+b (xem complex dynamics).

Bài 9: Dùng công thức Cauchy tính f(0).

[math_phd2010]

Bài 3: Giả sử với mọi a trên http://dientuvietnam...metex.cgi?|z|=R ta đều có một quả cầu mở http://dientuvietnam...tex.cgi?B(a,r_a) sao cho f thác triển lên quả cầu này. Do http://dientuvietnam...metex.cgi?|z|=R là compact, ta có thể tìm một tập hữu hạn I sao cho . Vậy ta có thể thác triển f lên , do đó tồn tại r>0 sao cho f giải tích trên B(0,R+r), mâu thuẫn.

Bài 4: Đạo hàm f hai lần ta thấy . 

Bài 8: Vì một hàm giải tích biến tập mở thành tập mở nên nếu f đơn ánh ta có f là một automorphism của C, nên phải có dạng f(z)=az+b (xem complex dynamics).

Bài 9: Dùng công thức Cauchy tính f(0).

Bài 3: thì đơn giản thật! Cách giải của tôilàchínhtôi giống như cách của mình.
Bài 4: Mình chưa hiểu ý của tôilà chính tôi lắm. Nhưng thực sự là câu 4a, dùng câu 3/, và có tính đạo hàm 2 lần của f. Câu 4b thì sao?
Bài 8: Bài này thực sự quá kinh điển, có trong khá nhiều sách (VD: Complex analysis , serge Lang). Ý tưởng: dùng Casorati - Weierstrass Theorem.
Bài 9: Nếu dùng công thức Cauchy để tính f(0) sẽ nhận được, f(0)=0? Sau đó thế nào? Tôilàchínhtôi nói hơi tắt, nên mình vẫn chưa hiểu ý của bạn.
Mời các bạn làm tiếp!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_phd2010: 03-04-2006 - 20:44

[toilachinhtoi]

Bài 4: Xét một tập mở đơn liên A chứa http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(z)=1/z.

Về bài 5: poles của bạn là dạng bất kì hay có order hữu hạn?