Chủ đề này có 56 trả lời

[Nameless]

Cách của anh em thấy hơi khó hiểu . Lúc nào em sẽ đọc kỹ lại . Em nghĩ bài 11 thì sử dụng tính compact của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{U}, và arg f dao động đủ nhỏ trong một lân cận đủ nhỏ .Chỉ có điều em vướng mắc phần lý luận là tất cả các hàm g đó tạo thành 1 hàm g trên toàn U ???

Em cũng thắc mắc là : nếu 2 đường cong cùng điềm đầu và cuối mà phần trong có hole (chính xác là 2 đường cong xác định trên một miền nào đó ) , thì 2 đường có đồng luân không ? Nhìn thì hiển nhiên là không đồng luân, nhưng mà em không hiểu chứng minh thế nào ?
Bài toán này em cũng không hiểu giải thế nào : cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Omega là miền đơn liên , mọi điểm biên là điểm đơn giản , thì biên của nó là đường cong Jordan .
Em có bài toán này nữa , gửi tạm ở đây . Anh giải hộ em nhé .

14.Cho A là đại số phức Banach giao hoán có đơn vị , và thỏa mãn tập các đa thức của x trù mật trong A .Chứng minh phần bù phổ của x là tập liên thông .

[toilachinhtoi]

Cách giải bài 11 của anh thực ra không chính xác. Anh nghĩ bài 11 không đơn giản đâu vì hình như nó liên quan đến những tính chất topo. (Có một định lý liên quan là định lý Riemannian cho hàm giải tích không có không điểm. Và định lý này chứng minh không dễ lắm). Bài 11 có thể đưa về bài toán sau: Xét http://dientuvietnam...mimetex.cgi?h(z)=\dfrac{f(z)}{|f(z)|} thì h liên tục và ta đưa bài toán về dạng tương đương: Nếu http://dientuvietnam...etex.cgi?h=e^g. Vì hàm h có thể quay theo nhiều kiểu khác nhau nên g có thể không liên tục. Để lấy một ví dụ, chẳng hạn hàm http://dientuvietnam...ex.cgi?h=e^{g}.

Bài về đồng luân thì có thể làm như sau: Ta có thể giả sử hai đường cong đó tạo thành đường tròn. Giả sử có một đồng luân H(x,t) của hai đường cong đó và luôn không đi qua tâm. Khi đó bài toán tương đương với việc chứng minh đường tròn không cùng homotopy type với một điểm (ngầy mai anh sẽ post bài giải chứng minh này).

[Nameless]

Cho em hỏi S^1 là cái gì đấy ạ ?
Nếu S^1 là hình tròn đơn vị thì hàm h mà anh nói ở trên nó có không điểm rồi .

[quantum-cohomology]

Không hiểu Nameless định nói gì? Không điểm của z trong S^1 là cái gì thế?

[Nameless]

Thì em nói rồi mà , em chưa hiểu S^1 là gì mà

[toilachinhtoi]

To Nameless: Uh, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^1=\{z:~|z|=1\}. Ví dụ của anh chỉ là h đi từ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 vào http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 thôi.

Lời giải http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 không cùng homotopy type với một điểm: Nói chung có nhiều lời giải cho tính chất này. Ở đây chỉ trình bày một lời giải sơ cấp. Tham khảo thêm: Algebraic Topology của Alain Hatcher hay Geometric Topology của R. Levi (cuốn này có trên mạng và trình bày khá trực giác).

Trước hết đưa bài toán của Nameless về bài toán của các dạng homotopy: Ta có thể giả sử hai đường cong đó là hai nửa trên và dưới của đường tròn đơn vị. Hơn nữa giả sử ảnh của homotopy H(x,t) luôn được chứa trong B(0,r) với mọi http://dientuvietnam...metex.cgi?G(x,t) như sau: Bởi vì H(x,t) không bao giờ là tâm O của đường tròn nên tia xuất phát từ O và qua H(x,t) luôn cắt đường tròn B(0,R) tại một điểm cố định, kí hiệu là G(x,t). Như vậy ta thấy bài toán đưa về chứng minh rằng: Không tồn tại một hàm liên tục http://dientuvietnam...metex.cgi?G(x,1) được chứa trong nửa vòng tròn bên dưới. Ta có thể đưa về xa hơn như sau: Không tồn tại một hàm liên tục G(x,t) sao cho G(x,0)=Id và G(x,1)=a và G(a,t)=a với mọi t, ở đây a là một điểm cố định trên vòng tròn đơn vị.

Bây giờ ta sẽ điều chỉnh G(x,t) thêm một chút thành H(x,t): Cố định http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 compact và G(a,t)=a, sẽ có tồn tại một cung tròn bc chứa a (về tổng quát sẽ có hai cung tròn đi qua 2 điểm b và c, trong đó có một cung chứa a) sao cho: Nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 compact và H(a,t)=a, có tồn tại một cung de chứa a sao cho http://dientuvietnam...tex.cgi?H(S^1,t)=de. Ta sẽ chứng minh thực sự d=a hoặc e=a.

Thật vậy giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d\not=a và tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H(x,t)=d. Khi đó tồn tại một lân cận mở của x trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^1 gọi là cung U sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H(U,t) được chứa trong cung da. Tiếp tục làm như vậy với hai đầu mút của U và lưu ý tính chất của H(x,t) ta suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H(S^1,t)=da. Ta thêm chỉ số dưới http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d_t.

Lưu ý khi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_t là một điểm sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H(x_t,t)=d_t thì theo định lý giá trị trung bình (xem http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^1 như đoạn [0,1]), ảnh của cung nhỏ nối x_t và a là cung lớn nối d_t và a. Nhưng ta dễ dàng chứng minh được http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^1 nghĩa là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H(a,0)=a=S^1 vô lý.

(Vì không vẽ hình được nên mong các bạn tự vẽ hình để tiện theo dõi).

[Nameless]

Cho em hỏi bài này
15.Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\dfrac{2}{\pi}\ln\left(\dfrac{1+|z|}{1-|z|}\right)

[toilachinhtoi]

Bài này là một dạng của định lý Schwartz.
Để đánh giá |Im f(z)| của một hàm giải tích thì ta dùng mẹo sau:
Đặt http://dientuvietnam...mimetex.cgi?g(z)=e^{if(z)},h(z)=e^{-if(z)}. Khi đó g(z), h(z) là các hàm giải tích và
.
Bây giờ với , g(0)=1. Dùng ánh xạ Riemann ta có:
. Vậy ta có thể dùng bổ đề Schwartz cho g_1(z), sau đó quay lại với g(z) (dùng metric Poincare trong các không gian hyperbolic D và K để tính ngược lại). Tương tự ta đánh giá cho h.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 06-05-2006 - 14:22

[Nameless]

Cho em hỏi , metric Poincare là gì ạ ? Em chưa nghe thấy bao giờ cả ??

[toilachinhtoi]

À, bài này thật ra cũng không cần metric Poincare, em cứ thế ngược lại là đánh giá được g. Chỉ khó ở chỗ em tính được ánh xạ Riemman.
Còn metric Poincare là metric trên đĩa tròn đơn vị (và các không gian hyperbolic) biến nó thành không gian đầy đủ. Chẳng hạn trong đĩa tròn thì
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?ds^2=\dfrac{|dz|^2}{1-|z|^2}.
Em xem trong Complex dynamics của J. Milnor (search trên mạng).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 06-05-2006 - 14:21

[titeoteo]

Cái ánh xạ Riemann ấy em thấy có ở trong đề
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi sẽ maps http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{D} vào |Re(z)| < 1

[toilachinhtoi]

Có một định lý tổng quát của định lý Schwartz, gọi là định lý Pick:(xem định lý 1.10 trong Dynamics in one complex variable )
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d_N(w_1,w_2)=d_M(z_1,z_2). Nếu http://dientuvietnam...x.cgi?z_1=w_1=0, http://dientuvietnam...tex.cgi?d_N(0,w) ở trên vào ta được điều phải chứng minh.

[Nameless]

Cám ơn các anh . Em vừa mới tìm ra là bài 15 có trong cuốn Problems and Theorems in Analysis, Volume I của Polya và Szego có trên Viện Toán , trong phần bổ đề Schwarz (Mã của cuốn này là : Lv547 05 PO, cho bác nào lười tìm ) .
Trong cuốn này có khá nhiều bài khó , rất may là có lời giải , chứ không như giáo trình, bài khó thì tịt ngóm .

[titeoteo]

16)Em đang ngồi tính tích phân nhưng đầu óc lùng bùng quá nên bí..., cho em hỏi bài này tí:
cho z, zo thỏa Im(z) và Im(zo) >0,
Làm sao chứng minh được tồn tại tích phân


@nameless: ngoài đấy sướng nhỉ, sách quá trời. Trong này thư viện chán phèo, may mà có mấy thầy với các anh đi trước góp sách làm cái thư viện nho nhỏ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi titeoteo: 08-05-2006 - 12:25

[toilachinhtoi]

Em chia tích phân cần tính thành tích phân trên K và R\K với
. Lưu ý là K compact.

Lúc đó
.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 08-05-2006 - 13:51

[Nameless]

Công nhận là Viện Toán có nhiều sách thật, tha hồ mà đọc .
PS : Thế bác titeoteo là người miền Nam à

[pan]

tài liệu nói về các định nghĩa hàm chỉnh hình sự tương tương của các đn đó. Tính chất
[COLOR=red]