Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 ongngua97

ongngua97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:volleyball.

Đã gửi 09-03-2014 - 11:05

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :

$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Trong đó a là số thực cho trước.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 09-03-2014 - 11:07

ONG NGỰA 97. :wub: 


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1762 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 15-07-2018 - 16:17

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :

$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Trong đó a là số thực cho trước.

Để khỏi nhầm lẫn hàm và biến, xin sửa lại đề như sau :

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn

$f(3u-v+a)=3f(u)-f(v),\forall u,v\in \mathbb{R}$ (1)

Trong đó $a$ là số thực cho trước.

 

GIẢI :

Thay $u$ bằng $u+\alpha$, thay $v$ bằng $v+3\alpha$, với $\alpha$ là số thực tùy ý khác $0$, ta được :

$f(3u-v+a)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha )$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $3f(u)-f(v)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha ),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 3[f(u+\alpha )-f(u)]=f(v+3\alpha )-f(v),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$ ($\alpha \neq 0$)

$\Leftrightarrow \lim_{\alpha \to0}\frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\lim_{\alpha \to0}\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow f'(u)=f'(v)=A,\forall u,v\in \mathbb{R}$ ($A$ là hằng số)

$\Leftrightarrow f(x)$ có dạng $Ax+B$

Cho $u=v=-a\Rightarrow f(-a)=2f(-a)\Rightarrow f(-a)=0$

Xét 2 trường hợp :

1) $a=0\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)

2) $a\neq 0$ :

   Đặt $f(0)=p\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{f(0)-f(-a)}{0-(-a)}=\frac{p}{a}\\B=f(0)=p \end{matrix}\right.$

   $\Rightarrow f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)

Thử lại đều thấy thỏa mãn điều kiện đề bài.

  

Kết luận :

+ Nếu $a=0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)

+ Nếu $a\neq 0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-07-2018 - 16:44

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-07-2018 - 17:06

Để khỏi nhầm lẫn hàm và biến, xin sửa lại đề như sau :

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn

$f(3u-v+a)=3f(u)-f(v),\forall u,v\in \mathbb{R}$ (1)

Trong đó $a$ là số thực cho trước.

 

GIẢI :

Thay $u$ bằng $u+\alpha$, thay $v$ bằng $v+3\alpha$, với $\alpha$ là số thực tùy ý khác $0$, ta được :

$f(3u-v+a)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha )$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $3f(u)-f(v)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha ),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 3[f(u+\alpha )-f(u)]=f(v+3\alpha )-f(v),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$ ($\alpha \neq 0$)

$\Leftrightarrow \lim_{\alpha \to0}\frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\lim_{\alpha \to0}\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow f'(u)=f'(v)=A,\forall u,v\in \mathbb{R}$ ($A$ là hằng số)

$\Leftrightarrow f(x)$ có dạng $Ax+B$

Cho $u=v=-a\Rightarrow f(-a)=2f(-a)\Rightarrow f(-a)=0$

Xét 2 trường hợp :

1) $a=0\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)

2) $a\neq 0$ :

   Đặt $f(0)=p\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{f(0)-f(-a)}{0-(-a)}=\frac{p}{a}\\B=f(0)=p \end{matrix}\right.$

   $\Rightarrow f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)

Thử lại đều thấy thỏa mãn điều kiện đề bài.

  

Kết luận :

+ Nếu $a=0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)

+ Nếu $a\neq 0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)

Bạn làm đúng rồi. +10 điểm PSW


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh