Chủ đề này có 5 trả lời

[Juliel]

Bài 1 : Giải phương trình :

$$\sqrt{7x^2+25x+19}-\sqrt{x^2-2x-35}=7\sqrt{x+2}$$

 

Bài 2 : Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{sinA.sinB}{sin^2\dfrac{C}{2}}+\dfrac{sinB.sinC}{sin^2\dfrac{A}{2}}+\dfrac{sinC.sinA}{sin^2 \dfrac{B}{2}}\geq 9$$

 

Bài 3 : Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $x,y$ sao cho $\dfrac{x^2+py^2}{xy}$ là số tự nhiên.

Chứng minh rằng $\dfrac{x^2+py^2}{xy}=1$

 

Bài 4 : Tìm hàm số $f$ xác định và nhận giá trị trên tập số nguyên :

$$f(m+f(n))=f(m)-n$$ với mọi số nguyên $m,n$

 

Bài 5 : Trên bảng viết những số $1,2,3,...,2014$. Mỗi nước đi ta thay hai số bất kì bằng số là tổng hoặc hiệu của hai số đó. Sau $2013$ bước đi còn lại một số trên bảng. Chứng minh số đó không thể bằng $0$.

[Hoang Tung 126]

 

Bài 1 : Giải phương trình :

$$\sqrt{7x^2+25x+19}-\sqrt{x^2-2x-35}=7\sqrt{x+2}$$

 

Bài 2 : Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{sinA.sinB}{sin^2\dfrac{C}{2}}+\dfrac{sinB.sinC}{sin^2\dfrac{A}{2}}+\dfrac{sinC.sinA}{sin^2 \dfrac{B}{2}}\geq 9$$

 

Bài 3 : Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $x,y$ sao cho $\dfrac{x^2+py^2}{xy}$ là số tự nhiên.

Chứng minh rằng $\dfrac{x^2+py^2}{xy}=1$

 

Bài 4 : Tìm hàm số $f$ xác định và nhận giá trị trên tập số nguyên :

$$f(m+f(n))=f(m)-n$$ với mọi số nguyên $m,n$

 

Bài 5 : Trên bảng viết những số $1,2,3,...,2014$. Mỗi nước đi ta thay hai số bất kì bằng số là tổng hoặc hiệu của hai số đó. Sau $2013$ bước đi còn lại một số trên bảng. Chứng minh số đó không thể bằng $0$.

 

Bài 2:Theo định lý Cos trong tam giác có :

 $\sum \frac{sinA.sinB}{sin^2\frac{C}{2}}=\sum \frac{\sqrt{(1-cos^2A)(1-cos^2B)}}{\frac{1-cosC}{2}}=2\sum \frac{\sqrt{(1-(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})^2)(1-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac})^2)}}{1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}=2\sum \frac{\sqrt{\frac{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)(2ac+a^2+c^2-b^2)(2ac-a^2-c^2+b^2)}{16a^2b^2c^4}}}{\frac{(c-a+b)(c+a-b)}{2ab}}=\sum \frac{\sqrt{(a+b+c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2(a+b-c)^2}}{c^2(a+c-b)(c+b-a)}=\sum \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{c^2}=(\sum a)(\sum \frac{a+b-c}{c^2})=(\sum a)(\sum \frac{(a+b-c)^2}{c^2(a+b-c)})\geq (\sum a)(\frac{(\sum (a+b-c))^2}{\sum ab(a+b)-\sum c^2})=\frac{(\sum a)^3}{\sum ab(a+b)-\sum c^3}$

Do đó ta cần CM :$\frac{(\sum a)^3}{\sum ab(a+b)-\sum c^3}\geq 9< = > (\sum a)^3\geq 9\sum ab(a+b)-9\sum c^3< = > 5\sum c^3+3abc\geq 3\sum ab(a+b)$

Nhưng bdt này luôn đúng vì theo AM-GM 3 số và Schur bậc 3 có :

 $\sum c^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$

$4\sum c^3\geq 2\sum ab(a+b)$

 Do đó ta có ĐPCM. Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều 

[davidsilva98]

 

Bài 1 : Giải phương trình :

$$\sqrt{7x^2+25x+19}-\sqrt{x^2-2x-35}=7\sqrt{x+2}$$

 

Bài 2 : Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{sinA.sinB}{sin^2\dfrac{C}{2}}+\dfrac{sinB.sinC}{sin^2\dfrac{A}{2}}+\dfrac{sinC.sinA}{sin^2 \dfrac{B}{2}}\geq 9$$

 

Bài 3 : Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $x,y$ sao cho $\dfrac{x^2+py^2}{xy}$ là số tự nhiên.

Chứng minh rằng $\dfrac{x^2+py^2}{xy}=1$

 

Bài 4 : Tìm hàm số $f$ xác định và nhận giá trị trên tập số nguyên :

$$f(m+f(n))=f(m)-n$$ với mọi số nguyên $m,n$

 

Bài 5 : Trên bảng viết những số $1,2,3,...,2014$. Mỗi nước đi ta thay hai số bất kì bằng số là tổng hoặc hiệu của hai số đó. Sau $2013$ bước đi còn lại một số trên bảng. Chứng minh số đó không thể bằng $0$.

 

 

Bài 1: $\sqrt{7x^{2}+25x+19}-\sqrt{x^{2}-2x-35}=7\sqrt{x+2} <=>(\sqrt{x^{2}-2x-35}+7\sqrt{x+2})^{2}=7x^{2}+25x+19$

$<=>3x^{2}-11x-22=7\sqrt{(x^{2}-5x-14)(x+5)}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^{2}-5x-14=u\\ x+5=v \end{matrix}\right.$

Ta được phương trình: $3u+4v=7\sqrt{uv}<=>\left\{\begin{matrix} 3u+4v\geq 0\\ \begin{bmatrix} u=v\\ u=\frac{16}{9}v \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

$<=>\begin{bmatrix} x^{2}-5x-14=x+5\\ x^{2}-5x-14=\frac{16}{9}(x+5) \end{bmatrix}<=>\begin{bmatrix} x=3+2\sqrt{7}\\ x=3-2\sqrt{7} \\ x=\frac{61+\sqrt{11137}}{18} \\ x=\frac{61-\sqrt{11137}}{18} \end{bmatrix}$

Thử lại: $x=3+2\sqrt{7};x=\frac{61+\sqrt{11137}}{18}$ là nghiệm của phương trình.

Bài 3:

Đặt $\frac{x^{2}+pxy}{xy}=k=>x^{2}-kxy+py^{2}=0=>x=\frac{k\pm \sqrt{k^{2}-4p}}{2}.y$

Giả sử $\sqrt{k^{2}-4p}\epsilon \mathbb{I}=>x=i.y$ (trong đó $i\epsilon \mathbb{I}$)

Điều này vô lý vì $x,y\epsilon Z^{+}$

Vậy $\sqrt{k^{2}-4p}=m(m\epsilon Z^{+})$$=>k^{2}-4p=m^{2}=>(k+m)(k-m)=4p$

Mà $k+m;k-m$ cùng tính chẵn, lẻ và $k+m>k-m$ nên xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $\left\{\begin{matrix} k+m=4\\ k-m=p \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} p=2\\ k=3 \\ m=1 \end{matrix}\right.=>\begin{bmatrix} x=y\\x=2y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=3=p+1$

Trường hợp 2: $\left\{\begin{matrix} k+m=p\\k-m=4 \end{matrix}\right.=>k=\frac{p+4}{2}=>\begin{bmatrix} x=py\\ x=y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Trường hợp 3: $\left\{\begin{matrix} k+m=2p\\k-m=2 \end{matrix}\right.=>k=p+1=>\begin{bmatrix} x=py\\ x=y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Vậy $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Bài 4: Theo giả thiết ta có:    $f(m+f(n))=f(m)-n (1)$

Giả sử $f(a)=f(b)=>f(m+f(a))=f(m+f(b))=>f(m)-a=f(m)-b=>a=b$$=> $$f$ đơn ánh

Trong $(1)$ thay $m$ bởi $f(m)$ ta được:

$f(f(m)+f(n))=f(f(m))-n=f(0+f(m))-n=f(0)-(m+n)=f(f(m+n))=>f(m)+f(n)=f(m+n)$$=>f(n)=an$

Thay $=>f(n)=an$ vào $(1)$ ta được: $a(m+an)=am-n=>a^{2}=-1$ (vô lý)

Vậy không tồn tại $f$ thỏa

Bài 5:

Ta nhận thấy $a_{m}+a_{n}\equiv a_{m}-a_{n}\equiv a_{n}-a_{m}(mod 2)$

Vì vậy sau $k$ lần thay số thì tồng các số của dãy mới cùng tính chẵn lẻ với dãy ban đầu

Mà tồng các số của dãy ban đầu là: $1+2+3+...+2014\equiv 2029105\equiv 1(mod2)$

Suy ra sau $2013$ lần thay số thì còn lại moật số và dố đó phải là số lẻ

Vì vậy sau $2013$ lần thay số thì còn một số và số đó khác 0.

[mathandyou]

Bài 1: $\sqrt{7x^{2}+25x+19}-\sqrt{x^{2}-2x-35}=7\sqrt{x+2} <=>(\sqrt{x^{2}-2x-35}+7\sqrt{x+2})^{2}=7x^{2}+25x+19$

$<=>3x^{2}-11x-22=7\sqrt{(x^{2}-5x-14)(x+5)}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^{2}-5x-14=u\\ x+5=v \end{matrix}\right.$

Ta được phương trình: $3u+4v=7\sqrt{uv}<=>\left\{\begin{matrix} 3u+4v\geq 0\\ \begin{bmatrix} u=v\\ u=\frac{16}{9}v \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

$<=>\begin{bmatrix} x^{2}-5x-14=x+5\\ x^{2}-5x-14=\frac{16}{9}(x+5) \end{bmatrix}<=>\begin{bmatrix} x=3+2\sqrt{7}\\ x=3-2\sqrt{7} \\ x=\frac{61+\sqrt{11137}}{18} \\ x=\frac{61-\sqrt{11137}}{18} \end{bmatrix}$

Thử lại: $x=3+2\sqrt{7};x=\frac{61+\sqrt{11137}}{18}$ là nghiệm của phương trình.

Bài 3:

Đặt $\frac{x^{2}+pxy}{xy}=k=>x^{2}-kxy+py^{2}=0=>x=\frac{k\pm \sqrt{k^{2}-4p}}{2}.y$

Giả sử $\sqrt{k^{2}-4p}\epsilon \mathbb{I}=>x=i.y$ (trong đó $i\epsilon \mathbb{I}$)

Điều này vô lý vì $x,y\epsilon Z^{+}$

Vậy $\sqrt{k^{2}-4p}=m(m\epsilon Z^{+})$$=>k^{2}-4p=m^{2}=>(k+m)(k-m)=4p$

Mà $k+m;k-m$ cùng tính chẵn, lẻ và $k+m>k-m$ nên xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $\left\{\begin{matrix} k+m=4\\ k-m=p \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} p=2\\ k=3 \\ m=1 \end{matrix}\right.=>\begin{bmatrix} x=y\\x=2y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=3=p+1$

Trường hợp 2: $\left\{\begin{matrix} k+m=p\\k-m=4 \end{matrix}\right.=>k=\frac{p+4}{2}=>\begin{bmatrix} x=py\\ x=y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Trường hợp 3: $\left\{\begin{matrix} k+m=2p\\k-m=2 \end{matrix}\right.=>k=p+1=>\begin{bmatrix} x=py\\ x=y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Vậy $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Bài 4: Theo giả thiết ta có:    $f(m+f(n))=f(m)-n (1)$

Giả sử $f(a)=f(b)=>f(m+f(a))=f(m+f(b))=>f(m)-a=f(m)-b=>a=b$$=> $$f$ đơn ánh

Trong $(1)$ thay $m$ bởi $f(m)$ ta được:

$f(f(m)+f(n))=f(f(m))-n=f(0+f(m))-n=f(0)-(m+n)=f(f(m+n))=>f(m)+f(n)=f(m+n)$$=>f(n)=an$

Thay $=>f(n)=an$ vào $(1)$ ta được: $a(m+an)=am-n=>a^{2}=-1$ (vô lý)

Vậy không tồn tại $f$ thỏa

Bài 5:

Ta nhận thấy $a_{m}+a_{n}\equiv a_{m}-a_{n}\equiv a_{n}-a_{m}(mod 2)$

Vì vậy sau $k$ lần thay số thì tồng các số của dãy mới cùng tính chẵn lẻ với dãy ban đầu

Mà tồng các số của dãy ban đầu là: $1+2+3+...+2014\equiv 2029105\equiv 1(mod2)$

Suy ra sau $2013$ lần thay số thì còn lại moật số và dố đó phải là số lẻ

Vì vậy sau $2013$ lần thay số thì còn một số và số đó khác 0.

woa 

[Juliel]

Cách khác cho bài lượng giác :

Ta đặt $a=tan\dfrac{A}{2},b=tan\dfrac{B}{2},c=tan\dfrac{C}{2}\;\;(a,b,c>0)$ thì $ab+bc+ca=1$

Ta có $sinA=\dfrac{2a}{1+a^2},sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}$, tương tự với $B,C$

Từ đó ta có :

$\dfrac{sinA.sinB}{sin^{2}\dfrac{C}{2}}=\dfrac{\dfrac{4ab}{(1+a^2)(1+b^2)}}{\dfrac{c^2}{1+c^2}}=\dfrac{4(1+c^2)}{c^2(1+a^2)(1+b^2)}$

Chú ý là vì  $ab+bc+ca=1$ nên $a^2+1=(a+b)(a+c),b^2+1=(b+c)(b+a),c^2+1=(c+a)(c+b)$

Do đó :

$\dfrac{4ab(1+c^2)}{c^2(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{4ab}{c^2(a+b)^2}$

Như vậy ta cần chứng minh :

$\dfrac{ab}{c^2(a+b)^2}+\dfrac{bc}{a^2(b+c)^2}+\dfrac{ca}{b^2(c+a)^2}\geq \dfrac{9}{4}$

Thật vậy, áp dụng BĐT $Holder$ :

$\left [ \dfrac{ab}{c^2(a+b)^2}+\dfrac{bc}{a^2(b+c)^2}+\dfrac{ca}{b^2(c+a)^2} \right ]\left ( \sum abc(a+b) \right )\left ( \sum abc(a+b) \right )\geq \left ( \sum \sqrt[3]{\frac{ab.a^2b^2c^2(a+b)^2}{c^2(a+b)^2}} \right )^3=(ab+bc+ca)^3=1$

Kéo theo :

$\dfrac{ab}{c^2(a+b)^2}+\dfrac{bc}{a^2(b+c)^2}+\dfrac{ca}{b^2(c+a)^2} \geq \dfrac{1}{4a^2b^2c^2(a+b+c)^2}$

Mặt khác :

$a^2b^2c^2(a+b+c)^2\leq \dfrac{1}{9}(ab+bc+ca)^4=\dfrac{1}{9}$

Suy ra :

$\dfrac{ab}{c^2(a+b)^2}+\dfrac{bc}{a^2(b+c)^2}+\dfrac{ca}{b^2(c+a)^2}\geq \dfrac{9}{4}$

Đây là điều cần chứng minh.

[davidsilva98]

Bài 2 : Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{sinA.sinB}{sin^2\dfrac{C}{2}}+\dfrac{sinB.sinC}{sin^2\dfrac{A}{2}}+\dfrac{sinC.sinA}{sin^2 \dfrac{B}{2}}\geq 9$$

Bài lượng giác còn có thể giải theo 1 cách khác nữa là:

Ta có:

$sinA.sinB=\frac{2S}{bc}.\frac{2S}{ca}=\frac{4S^{2}}{abc^{2}}=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{abc^{2}}$

$sin\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}=>sin^{2}\frac{C}{2}=\frac{(p-a)(p-b)}{ab}$

Suy ra: $\frac{sinA.sinB}{sin^{2}\frac{C}{2}}=\frac{\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{abc^{2}}}{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}=\frac{4p(p-c)}{c^{2}}$

Tương tự: $\frac{sinB.sinC}{sin^{2}\frac{A}{2}}=\frac{4p(p-a)}{a^{2}}$; $\frac{sinC.sinA}{sin^{2}\frac{B}{2}}=\frac{4p(p-b)}{b^{2}}$

$=>P=\frac{sinA.sinB}{sin^{2}\frac{C}{2}}+\frac{sinB.sinC}{sin^{2}\frac{A}{2}}+\frac{sinC.sinA}{sin^{2}\frac{B}{2}}=\frac{4p(p-a)}{a^{2}}+\frac{4p(p-b)}{b^{2}}+\frac{4p(p-c)}{c^{2}}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} p-a=x\\ p-b=y \\ p-c=z \end{matrix}\right.$

$=>P=\frac{4(x+y+z)x}{(y+z)^{2}}+\frac{4(x+y+z)y}{(z+x)^{2}}+\frac{4(x+y+z)z}{(x+y)^{2}}$

$=>P=4(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{y}{z+x})+4[(\frac{x}{y+z})^{2}+(\frac{y}{z+x})^{2}+(\frac{y}{z+x})^{2}]$

$=>P\geq 4(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{y}{z+x})+4.\frac{(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{y}{z+x})^{2}}{3}$

Áp dụng bất đẳng thức Nesbit ta được:

$=>P\geq 4.\frac{3}{2}+4.\frac{(\frac{3}{2})^{2}}{3}=9$

Vậy $\frac{sinA.sinB}{sin^{2}\frac{C}{2}}+\frac{sinB.sinC}{sin^{2}\frac{A}{2}}+\frac{sinC.sinA}{sin^{2}\frac{B}{2}}\geq 9$