Chủ đề này có 4 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

$A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

[Trang Luong]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

$A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

Ta có : $\frac{a}{3a+b+c}=\frac{1}{3}\left ( 1-\frac{b+c}{3a+b+c} \right )$

$\sum \frac{b+c}{3a+b+c}=\frac{1}{2}\left ( \sum \frac{2b+2c}{3a+b+c} \right )=\frac{1}{2}\left ( \sum \frac{3a+3b+3c}{3a+b+c} -3\right )\geq \frac{3}{2}\left ( a+b+c \right ).\frac{9}{5(a+b+c)}-\frac{3}{2}=\frac{27}{10}-\frac{3}{2}=\frac{6}{5}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{1}{3}\left ( 3-\frac{6}{5} \right )=\frac{3}{5}$

[hoctrocuanewton]

$\sum \frac{a}{3a+b+c}= \sum (\frac{1}{3}-\frac{b+c}{3(3a+b+c)})(1)$

ta có

$\sum \frac{b+c}{3a+b+c}= \sum \frac{(b+c)^{2}}{3a(b+c)+(b+c)^{2}}\geqslant \frac{4(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)^{2}+4\sum ab}\geqslant \frac{4(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)^{2}+\frac{4}{3}(a+b+c)^{2}}= \frac{6}{5}(2)$

 

từ (1)(2) ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 12-03-2014 - 21:20

[NMDuc98]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

$A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

Không mất tính tổng quát chuẩn hoá $a+b+c=3$

Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\frac{a}{2a+3}+\frac{b}{2b+3}+\frac{c}{2c+3}\leq \frac{3}{5}$

Ta có BĐT sau:

$\frac{a}{2a+3}\leq \frac{1}{5}+\frac{3}{25}(a-1)$

(Cái này bạn chứng minh tương đương là được)

Tương tự với hai cái còn laiôif cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.

 

[NMDuc98]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

$A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

Không mất tính tổng quát chuẩn hoá $a+b+c=3$

Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\frac{a}{2a+3}+\frac{b}{2b+3}+\frac{c}{2c+3}\leq \frac{3}{5}$

Ta có BĐT sau:

$\frac{a}{2a+3}\leq \frac{1}{5}+\frac{3}{25}(a-1)$

(Cái này bạn chứng minh tương đương là được)

Tương tự với hai cái còn lại rồi cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.