Chủ đề này có 1 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn $x+y+z=2014$

Chứng minh rằng T = $\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq 2014$

 

[lahantaithe99]

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn $x+y+z=2014$

Chứng minh rằng T = $\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq 2014$

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

$(x^4+y^4)(x^2+y^2)\geq (x^3+y^3)^2\Rightarrow \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \sum \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$

Lại áp dụng bđt Bunhia tương tự có 

$\sum \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\geq \sum \frac{x^2+y^2}{x+y}\Rightarrow T\geq \sum \frac{x^2+y^2}{x+y}$

Có $\sum \frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \sum \frac{x+y}{2}=x+y+z=2014$

suy ra $T\geq 2014$