Sở GD&ĐT Nghệ An Kỳ Thi Chọn Học Thi Giỏi Lớp 9
Năm Học 2013-2014
Đề Chính Thức Môn Thi: Toán- Bảng A
Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1
a.Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $2013^{k}-1$ chia hết cho $10^5$
b. Tìm mọi số nguyên $x$ sao cho $x^2+28$ là số chính phương
Câu 2
a.Giải phương trình: $\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$
b.Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2x+y}=3-2x-y & & \\ x^2-2xy-y^2=2 & & \end{matrix}\right.$
Câu 3: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$.
Tìm min của $P=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}$
Câu 4 Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Từ điểm $M$ là điểm ngoài đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến $MA;MB$ (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến đi qua M cắt đường tròn tại $C,D$ (C nằm giữa M và D) cung $CAD$ nhỏ hơn cung $CBD$. Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ với $OM$.
a. Chứng minh $\angle DEC=2\angle DBC$
b. Từ $O$ kẻ tia $Ot$ vuông góc với $CD$ cắt tia $BA$ ở $K$. Chứng minh $KC$ và $KD$ là tiếp tuyến của đường tròn $O$
Câu 5 Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài bằng $1$.Chứng minh rằng luôn tồn tại một hình tròn có bán kính $R=\dfrac{1}{4}$ chứa toàn bộ đường gấp khúc đó