Bài 3: Tính các góc của tam giác biết rằng $\left\{\begin{matrix} 4p\left ( p-a \right )\leq bc\\ sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{2\sqrt{3}-3}{8}\end{matrix}\right.$
Ta có:
$4p\left ( p-a \right )\leq bc\Leftrightarrow \left ( b+c+a \right )\left ( b+c-a \right )\le bc\\\Leftrightarrow \left ( b+c \right )^2-a^2\le bc\Leftrightarrow a^2\ge b^2+c^2+bc$
Lại có: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Rightarrow \cos A\le-\frac{1}{2}\Rightarrow 120^0\le A<180^0 {\color{Red}{(1)}}$
$\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2}\left ( \cos\frac{B-C}{2}-\cos\frac{B+C}{2} \right )\sin\frac{A}{2}\le\frac{1}{2}\left ( 1-\sin\frac{A}{2} \right )\sin\frac{A}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{2}\left ( 1-\sin\frac{A}{2} \right )\sin\frac{A}{2} \ge \frac{2\sqrt{3}-3}{8}\\\Leftrightarrow -\sin^2\frac{A}{2}+\sin\frac{A}{2}-\frac{2\sqrt{3}-3}{4}\ge 0\\\Leftrightarrow \frac{2-\sqrt3}{2}\le\sin\frac{A}{2}\le \frac{\sqrt3}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{A}{2}\le 60^0\Leftrightarrow A\le 120^0$
Từ $\color{Red}{(1)}$ suy ra $A=120^0$ và $B=C=30^0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 04-08-2015 - 18:52