Tìm hàm số f: N*---------->N* thỏa:
N* ---> N* thỏa f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n)=3n mọi n thuôc N*
Tìm hàm số f: N*---------->N* thỏa:
N* ---> N* thỏa f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n)=3n mọi n thuôc N*
Tìm hàm số f: N*---------->N* thỏa:
N* ---> N* thỏa f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n)=3n mọi n thuôc N*
Dễ thấy f đơn ánh
Do đó $f(n)\geqslant n$ với mọi n
Suy ra $f(f(n))+f(f(n))+f(n)\geqslant 3n\rightarrow f(n)=n$
Tìm hàm số f: N*---------->N* thỏa:
N* ---> N* thỏa f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n)=3n (1) mọi n thuôc N*
*Giả sử $f(n_{1})=f(n_{2})=>\left\{\begin{matrix} f(f(n_{1}))=f(f(n_{2}))\\ f(f(f(n_{1})))=f(ff(n_{2})) \end{matrix}\right.$
$=>f(n_{1})+f(f(n_{1}))+f(f(f(n_{1})))=f(n_{2})+f(f(n_{2})+f(f(f(n_{2})))=>3n_{2}=3n_{2}=>n_{1}=n_{2}$
Do đó $f$ đơn ánh
*Thay $n$ bởi $1$ trong $(1)$ ta được:
$f(f(f(1)))+f(f(1))+f(1)=3$
Do $f:N\rightarrow N$ nên $f(f(f(1)))\geq 1$; $f(f(1))\geq 1$; $f(1)\geq 1$
$=>f(f(f(1)))+f(f(1))+f(1)\geq 3$
Dấu bằng xảy ra khi $f(1)=1$
*Giả sử $f(n)=n$ (với $\forall n=\bar{1;k}$)
*Ta cần chứng minh: $f(k+1)=k+1$
Do $f$ đơn ánh nên $f(k+1)\geq k+1$
Nếu $f(f(k+1))=m$ (với $m\epsilon [1;k]$) thì $f(f(k+1))=f(m)=>f(k+1)=m$ (do $f$ đơn ánh)
$=>f(k+1)=f(m)=>k+1=m$ (vô lý)
Do đó dẫn đến $f(f(k+1))\geq k+1$ và $f(f(f(k+1)))\geq k+1$
$=>f(k+1)+f(f(k+1))+f(f(f(k+1)))\geq 3(k+1)$
Mà trong $(1)$ thay $n$ bởi $k+1$ ta được:
$f(k+1)+f(f(k+1))+f(f(f(k+1)))= 3(k+1)$
Đẳng thức xảy ra khi $f(k+1)=k+1$
Do đó: $f(n)=n$ với $\forall n\epsilon N^{*}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh