Đến nội dung

Hình ảnh

N* ---> N* thỏa f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n)=3n mọi n thuôc N*

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
ZzZzZzZzZ

ZzZzZzZzZ

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Tìm hàm số f: N*---------->N* thỏa:

 

N* ---> N* thỏa f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n)=3n mọi n thuôc N*



#2
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Tìm hàm số f: N*---------->N* thỏa:

 

N* ---> N* thỏa f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n)=3n mọi n thuôc N*

Dễ thấy f đơn ánh

Do đó $f(n)\geqslant n$ với mọi n

Suy ra $f(f(n))+f(f(n))+f(n)\geqslant 3n\rightarrow f(n)=n$


Đứng dậy và bước tiếp

#3
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Tìm hàm số f: N*---------->N* thỏa:

 

N* ---> N* thỏa f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n)=3n   (1) mọi n thuôc N*

 

*Giả sử $f(n_{1})=f(n_{2})=>\left\{\begin{matrix} f(f(n_{1}))=f(f(n_{2}))\\ f(f(f(n_{1})))=f(ff(n_{2})) \end{matrix}\right.$

$=>f(n_{1})+f(f(n_{1}))+f(f(f(n_{1})))=f(n_{2})+f(f(n_{2})+f(f(f(n_{2})))=>3n_{2}=3n_{2}=>n_{1}=n_{2}$

Do đó $f$ đơn ánh

*Thay $n$ bởi $1$ trong $(1)$ ta được:

              $f(f(f(1)))+f(f(1))+f(1)=3$

   Do $f:N\rightarrow N$ nên $f(f(f(1)))\geq 1$; $f(f(1))\geq 1$; $f(1)\geq 1$

         $=>f(f(f(1)))+f(f(1))+f(1)\geq 3$

   Dấu bằng xảy ra khi $f(1)=1$

*Giả sử $f(n)=n$ (với $\forall n=\bar{1;k}$)

*Ta cần chứng minh: $f(k+1)=k+1$

   Do $f$ đơn ánh nên $f(k+1)\geq k+1$

   Nếu $f(f(k+1))=m$ (với $m\epsilon [1;k]$) thì $f(f(k+1))=f(m)=>f(k+1)=m$ (do $f$ đơn ánh)

          $=>f(k+1)=f(m)=>k+1=m$ (vô lý)

   Do đó dẫn đến $f(f(k+1))\geq k+1$ và $f(f(f(k+1)))\geq k+1$

          $=>f(k+1)+f(f(k+1))+f(f(f(k+1)))\geq 3(k+1)$

   Mà trong $(1)$ thay $n$ bởi $k+1$ ta được:

          $f(k+1)+f(f(k+1))+f(f(f(k+1)))= 3(k+1)$

   Đẳng thức xảy ra khi $f(k+1)=k+1$

Do đó: $f(n)=n$ với $\forall n\epsilon N^{*}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh