Chủ đề này có 1 trả lời

[ChuDong2008]

Tìm số nguyên tố p thỏa mãn: $\frac{p+1}{2}$ và $\frac{p^2+1}{2}$ là các số chính phương.

[buitudong1998]

Tìm số nguyên tố p thỏa mãn: $\frac{p+1}{2}$ và $\frac{p^2+1}{2}$ là các số chính phương.

Đặt $p+1=2x^{2};p^{2}+1=2y^{2}$

Không mất tính tổng quat ta chỉ cần xét với x, y không âm

Từ GT suy ra p>3 và x<y<p

Ta có: $2x^{2}\equiv 2y^{2}(mod p)\rightarrow x\equiv +-y(modp)$ mà x<y<p nên x+y=p

Do đó: $p^{2}=2(p-x)^{2}-1=2p^{2}-4px+2x^{2}-1=2p^{2}-4px+p\rightarrow p=4x-1$ 

Thay vào: $p+1=2x^{2}$ suy ra p=7