Đến nội dung

Hình ảnh

Thi giải toán chào mừng 26/3/2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
mbrandm

mbrandm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Trường THPT chuyên Bắc Quảng Nam

 

Cuộc thi giải toán chào mừng 83 năm thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh

 

Đề chính thức

Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} +3\right )=3\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2\\ 4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}=x^{2}+3x+2 \end{matrix}\right.$

 

Bài 2: Cho $n=26^{26}+3^{3}+2014^{1931}$. Gọi S(x) là tổng các chữ số của số tự nhiên x. Đặt a=S(n), b=S(a) và c=S(b). Tìm c.

 

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc + a + b = c. Tìm giá trị lớn nhất của P biết ;

$P= \frac{26}{1+a^{2}}+\frac{3}{1+b^{2}}-\frac{3}{1+c^{2}}$

 

Bài 4: Cho hình thang có ba cạnh cùng độ dài là a. Tìm hình thang có diện tích lớn nhất.

 

Bài 5: Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f\left ( 1 \right )=-1, g\left ( 0 \right )=2$. Tìm f(2014) biết rằng:

$f\left ( x+y \right )+g\left ( x-y \right )=2f\left ( x \right )+2g\left ( y \right ), \forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Bài 6: Cho đa giác đều 101 cạnh , các đỉnh của đa giác được tô bởi hai màu xanh và đỏ. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại tam giác cân (các đỉnh là đỉnh của đa giác đều 101 cạnh) sao cho ba đỉnh được tô cùng một màu (xanh hoặc đỏ).

 

Đ/s: 1) (2,0)

       2) 5

       3) $\frac{2713}{104}$

       4) Hình thang cân có góc ở đáy $60^{o}$

       5) 4056194

       6) là bài toán lí luận nên để các bạn giải.

 

 



#2
Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết

4/ Ta làm bài toán tổng quát hơn với tứ giác có 3 cạnh bằng nhau

Giả sử tứ giác ABCD có 3 cạnh AB=BC=CD=a. Kẻ BH vuông góc với AC

Đặt $\angle BAC=\alpha ,\angle ACD=\beta$

TA có $S\left ( ABCD \right )=S\left ( ABC \right )+S\left ( ACD \right )=\frac{BH.AC}{2}+\frac{1}{2}AC.CD.sin\beta \leq acos\alpha .asin\alpha +a.acos\alpha=a^{2}cos\alpha \left ( 1+sin\alpha \right )$

DO đó theo BĐTCoosssi ta có $S^{2}\leq \frac{1}{3}.a^{4}.\left ( 3-3sin\alpha \right )\left ( 1+sin\alpha \right )\left ( 1+sin\alpha \right )\left ( 1+sin\alpha \right )\leq \frac{1}{3}a^{4}.\frac{\left ( 3-3sin\alpha+1+sin\alpha+1+sin\alpha+1+sin\alpha \right )^{4}}{4^{4}}=\frac{1}{3}a^{4}.\frac{3^{4}}{2^{4}}\Rightarrow S\leq \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Dấu = khi ABCD là nửa lục giác đều


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh