Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 5 - toán rời rạc

mss 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 32 trả lời

#21 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-03-2014 - 16:03

Bài làm MSS42

 

 

[ Hình của SieuNhanVang]

 

Coi số hạt ngô trên các ô từ thứ một đến thứ sáu tư của bàn cờ là một dãy số $(u_{n}) : 1,2,4,8,16,32...$ với $n\leq 64$

Ta thấy rằng từ số hạng thứ hai trở đi thì mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với số $2$

Ta có : $u_{1}=1$

            $u_{2}=1.2$

            $u_{3}=1.2.2=1.2^{2}$

            ................

            $u_{64}=1.2^{63}$

Xét tổng : $S=2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+...+2^{63}$

$\Rightarrow 2S=2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+...+2^{64}$

$\Rightarrow S=2^{64}-1$

Vì lượt đi đầu ( đi hết 64 ô) , con mã không ăn hạt ở ô đầu tiên nên trong lượt đi này con mã ăn được $2^{64}-1-1$ hạt ngô

Lượt đi về con mã không ăn hạt ngô ở ô 64 , vậy số hạt ngô con mã ăn ở lượt đi về là $2^{64}-1-2^{63}$

Vậy tổng số hạt ngô con mã ăn được là $2^{65}-2^{63}-3$

Ta có $2^{2}\equiv 1$ (mod $3$ )

$\Rightarrow 2^{64}\equiv 1$ (mod $3$)

Nên $2^{65}\equiv 2$ (mod $3$) và $2^{63}\equiv 2$ (mod $3$)

Vậy $2^{65}-2^{63}-3\equiv 0$ (mod $3$)

Kết luận : số ngô mà con mã ăn chia hết cho 3.

 

Hiểu sai đề: Quân mã không nhất thiết phải đi hết tất cả các ô càng không đúng nếu quân mã không đi hai vòng mà cứ lòng vòng quanh bàn cờ. 

 

Theo cách làm của SieuNhanVang lại sai ở phần tô màu nâu vì:

 

Đề bài là:  Sau khi con mã đi xong nó quay trở về ô đầu tiên và ăn nốt hạt ngô ở ô đó.

---------------------------------------------------------

 

MSS 52 :

 

Vì lời giải trên của bài toán không liên quan đến kích thước của bàn cờ nên có thể mở rộng như sau:

 

Mở rộng 1: 

 

Bài toán vẫn đúng nếu thay bàn cờ $8 \times 8$ ô vuông bằng bàn cờ $n \times n$ ô vuông. (n là số tự nhiên lớn hơn 2)

 

Chứng minh giống như chứng minh bài toán, không có gì thay đổi.

 

Mở rộng 2:

 

Bài toán vẫn đúng nếu thay bàn cờ $8 \times 8$ ô vuông bằng bàn cờ $a \times b$ ô vuông. (với $a,b$ là 2 số tự nhiên bất kì lớn hơn hoặc bằng 2, nhưng a,b không thể đồng thời bằng 2)

 
Chứng minh giống như chứng minh bài toán, không có gì thay đổi.

Phần màu xanh và màu đỏ điều kiện đều sai , nếu $n$ luôn lẻ với phần xanh và $a$ và $b$ luôn lẻ với phần đỏ thì quân mã không thể di chuyển sao cho trở lại được vị trí mà nó xuất phát vì theo mở rộng $1$ mà mình đã chứng minh ở bài dự thi trên ( được trích dưới đây):

 

 

Bài dự thi trận $5$ của $\textrm{MSS}27$:

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$
 
Mở rộng $1$: Cho bàn cờ trống kích thước $m \times n$ , trong đó $m\leq n$ và $m;n$ đều lẻ, chứng minh một quân mã đặt từ một ô bất kì trên bàn cờ này không thể di chuyển sao cho trở lại được vị trí bạn đầu. 
 
Chứng minh:

Trên bàn cờ vua, các ô đen và trắng xen kẽ nhau, một quân mã luôn đi từ một ô tới ô khác màu. Vì $m$ và $n$ đều là lẻ nên khi đó số các ô đen và trắng trên bàn cờ là khác nhau. Chẳng hạn bàn cờ $5 \times 5$ có $13$ ô đen và $12$ ô trắng. Muốn quân mã trở lại ô ban đầu thì phải có số ô đen và trắng bằng nhau, tổng số ô trên các nước đi là số chẵn. Do đó một hành trình đó không thể đi qua mỗi ô đúng một lần khi số các ô trên bàn cờ là số lẻ(theo đường đi Hamilton).

 

----------------------------------------------------

 

 

1484739_259745494200233_1356535561_n.jpg

 

em xin nộp lại hình (không hiểu tại sao máy tính của em vẫn không thể up ảnh lên được)

 

 

SBD:15
Lời giải.

 

File gửi kèm  1.png   42.32K   0 Số lần tải

 

 

Thứ tự từ trái qua phải , từ trên xuống dưới (gt) ($1$)

 

Nhưng trong hai hình của Jinbe và lovemathforever99 đã gửi đều trái trật tự : ở hàng $2$ thứ tự bị đảo ngược là từ phải sang trái. 

 

Phải nói thêm là số hạt ngô của lovemathforever99 cũng không đúng khi ô đầu tiên bạn gọi $1$ là số mũ . Nếu đó là số hạt thóc thì bàn cờ không thể có các số lẻ khác $1$?

 

Nhưng không phải khẳng định :  hình của angleofdarkness là đúng

 

File gửi kèm  untitled20.bmp   2.85MB   8 Số lần tải

 

Vì $1$ chưa rõ như luôn theo thứ tự trái qua phải nhưng khi đến cuối hàng thì trờ lại đầu hàng dưới?

hay  luôn theo thứ tự trái qua phải nhưng khi đến cuối hàng thì lại đi thẳng xuống dưới?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 18-03-2014 - 16:04


#22 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-03-2014 - 16:12

Bài toán trên chỉ là mở rộng của bài toán tính tổng $S=2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+....+2^{n}$, với $n$ nguyên và $n\geq 1$

Mở rộng : Bàn cờ có kích thước là $\sqrt{n}\times \sqrt{n}$ với $n$ là số chính phương thõa mãn $n\geq 1$.

Trong ô cờ thứ nhất đặt $a.r^{0}$ hạt ngô.

Trong ô cờ thứ hai đặt $a.r^{1}$ hạt ngô

Trong ô cờ thứ ba đặt $a.r^{2}$ hạt ngô

..............
Trong ô cờ thứ $n$ đặt $a.r^{n-1}$ hạt ngô.

Với $a$ nguyên và $a\geq 1$

____________________________________________________________________________________________________________________

 

Tổng tất cả hạt ngô ở trên bàn cờ là $S=\sum_{k=0}^{n-1}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+...+ar^{n-1}$

Nhân cả $2$ vế với $r$ ta có : $r.S-S=ar^{n}-a\Rightarrow S=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$

Lượt đi đầu tiên , quân mã không ăn số hạt ngô ở ô đầu tiên nên ở lượt này số hạt ngô quân mã ăn được là $\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}-a$

Lượt đi tiếp theo , quân mã không ăn số hạt ngô ở ô $n$ nên ở lượt đi này số hạt ngô quân mã ăn được là $\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}-ar^{n-1}$

Vậy số hạt ngô quân mã ăn được là $\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}-a+\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}-ar^{n-1}=a[\frac{2(r^{n}-1)}{r-1}-(r^{n-1}+1)]$

 

Vì Lời giải sai nên Mở rộng cũng không đúng vào đề bài!

 

MSS30 canhhoang30011999

Đầu tiên ta tô màu các ô có có số hạt ngô là số mũ chẵn là trắng có số mũ lẻ là đen thì theo cách đặt các hạt ngô ta được 1 bàn cờ vua có màu giống như 1 bàn cờ vua bình thường (đen trắng xen kẽ)

Ta lại dễ dàng thấy được con mã trong cờ vua khi di chuyển thì nó sẽ nhảy từ ô màu này sang ô màu khác 

Con mã của ta xuất phát ơ ô màu trắng nên dễ thấy để nó đi vào 1 ô màu trắng thì phải qua chăn nước đi (vì cứ sau 1 nước đi thì ô của nó lại đổi màu)

Từ đó ta thấy con mã cần chẵn nước đi để trở lại ô ban đầu 

Mà con mã lại đổi màu mỗi khi nó nhảy nên số ô màu trắng bằng số ô màu đen nó đi qua hay số ô có số hạt ngô có số mũ chẵn bằng số ô có số hạt ngô có số mũ lẻ (1)

Lại có $2^{2k}\equiv 1$ (mod 3)(2)

$2^{2q+1}\equiv -1$(mod 3)(3)

Từ (1) (2) (3) $\Rightarrow$ số ngô con mã ăn được chia hết cho 3

Phần màu đỏ chưa được chứng minh.


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#23 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 18-03-2014 - 21:00


Vì $1$ chưa rõ như luôn theo thứ tự trái qua phải nhưng khi đến cuối hàng thì trờ lại đầu hàng dưới?

hay  luôn theo thứ tự trái qua phải nhưng khi đến cuối hàng thì lại đi thẳng xuống dưới?

 

Mình nghĩ cách đặt ngô theo hình của mình như vậy là đúng vì theo chiều từ trái sang phải từ trên xuống dưới như đề nêu, nếu không đặt như hình của mình thì đặt thế nào cho đúng chiều của đề???? 



#24 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-03-2014 - 22:09

Mình nghĩ cách đặt ngô theo hình của mình như vậy là đúng vì theo chiều từ trái sang phải từ trên xuống dưới như đề nêu, nếu không đặt như hình của mình thì đặt thế nào cho đúng chiều của đề???? 

$0\rightarrow 1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 5\rightarrow 6\rightarrow 7$

$8\rightarrow 9\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 12\rightarrow 13\rightarrow 14\rightarrow 15$

$...\rightarrow 63$


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#25 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 18-03-2014 - 22:41

 

$0\rightarrow 1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 5\rightarrow 6\rightarrow 7$

$8\rightarrow 9\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 12\rightarrow 13\rightarrow 14\rightarrow 15$

$...\rightarrow 63$

 

 

Nếu như bạn sắp xếp thì hãy thử chọn một nước đi bất kì sau đó tính thử xem có ra số chia hết cho 3 không. Như mình đã thử nghiệm nhiều lần nhưng đều chia 3 dư 1 hoặc 2 thôi:

 

VD: a8 --> b6 --> d5 --> c3 --> e2 --> d4 --> b5 --> c7 -- > a8 (tính số ngô từ ô b6 đến a8 trong bước đi này thôi, tức tính 1 lần a8) thì tổng số ngô chia 3 dư 1.

 

VD tiếp đi cho chắc: a8 --> c7 --> b5 --> a3 --> c2 --> e3 --> c4 --> d6 --> f7 --> d8 -- > e6 --> g5 --> h3 --> f4 --> d5 --> b6 --> d7 --> c5 --> e6 --> c7 --> a8 thì tổng số ngô chia 3 dư 2.

 

Cho dù có T.h số ngô chia hết cho 3 nhưng vẫn còn T.h chia cho 3 dư 1; 2 như mình đã nêu VD, như vậy là chưa đúng so vs đề là luôn chia hết cho 3!!!

 

1897801_1480367662184977_740563675_n.jpg



#26 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-03-2014 - 22:59

Đề này hình như em nộp thì phải

Thôi kệ cứ làm vậy

ta tô màu các ô đen và ô trắng xen kẽ nhau ( ô đầu tiên là ô đen)

Khi đó ta có nhận xét: Các ô đen có dạng $2^{2k}=4^{k}\equiv 1(mod3)$

Các ô trắng có dạng $2^{2k+1}=4^{k}.2\equiv 2(mod3)$

Mà mỗi lần con mã nhảy sẽ nhảy qua 2 ô khác màu nhau mà con mã muốn quay về ô đầu tiên(không ăn ở ô đầu tiên lúc đầu) thì nó sẽ phải ăn ở số ô đen bằng số ô trắng

Khi con mã nhảy vào 1 ô đen và một ô trắng thì tổng 2 ô nó ăn sẽ đồng dư với (1+2)=0(mod3). Mà nó ăn số ô đen bằng số ô trắng vậy số ngô mà con mã ăn chia hết cho 3

 

Ta có 

$2^{2a}=4^{k}\equiv 1^{a}\left ( mod 3 \right )$

suy ra $2^{a}$ chia $3$ dư $1$

$2^{2b+1}=2.4^{k}\equiv 2.1^{b}\left ( mod3 \right )$

$2^{2b+1}$ chia $3$ dư $2$

Quay trở lại bài toán,đánh thứ tự cột từ trái sang phải là $a,b,c,d,e,f,g,h$,đánh thứ tự cột là $1,2,3,4,5,6,7,8$

gọi ô có số hạt ngô khi chia cho $3$ dư $1$ là ô trắng,gọi ô có số hạt ngô khi chia cho $3$ dư $2$ là ô đen

dễ thấy ô $a1$ là ô trắng,trong mỗi hàng, ô đen và ô trắng xen kẽ nhau theo nên ô cuối của hàng 1 (ô $a8$) là ô đen do mỗi hàng có 8 ô.

vì thế ô cuối cùng của hàng $2$ là ô trắng vì thế ô đầu tiên của hàng 2 là ô đen do mỗi hàng có 8 ô.

Lập luận như thế ta cũng có ở cột $a$ ô trắng và ô đen xen kẽ nhau.Nhưng do ô đen và ô trắng mỗi hàng xen kẽ nhau nên ô đen và ô trắng ở mỗi hàng cũng xen kẽ nhau.

Vậy ô trắng và ô đen đều xen kẽ nhau ở mỗi hàng và mỗi cột ( theo bàn cờ vua )

Dễ thấy sau mỗi lượt đi,con mã nhảy từ trắng sang ô đen và ô đen sang ô trắng.

Vì thế,sau mỗi 2 lần đi,con mã sẽ nhảy quá lanf ô trắng và 1 lần ô đen,số hạt ngô con ngựa ăn được sẽ chia hết cho 3(cho dù chúng có nhảy qua ô chúng đã đi qua hay không vì sau mỗi lần nó ăn,người ta lại đặt lại số ngô nó ăn)do $2^{2a}+2^{2b+1}\equiv 1+2\left ( mod 3 \right )$ hay chia hết cho $3$ 

Ta có, con ngựa xuất phát ở ô trắng và kết thúc ở ô trắng nên số nước đi của chúng là lẻ nhưng do ở ô đầu tiên nó không ăn hạt ngô đó,vì vậy số nước đi của nó là chẵn,nên số hạt ngô nó ăn chia hết cho 3 (đpcm)

 

MSS 34

Ta thấy được bàn cờ vua được tô màu bởi các ô đen và trắng xen kẽ nhau.

Không mất tính tông quát, ta giả sử ô cờ đầu tiên thứ nhất đặt 1 hạt ngô($2^{0}$ hạt ngô) màu trắng thì các ô trắng tiếp theo sẽ đặt $2^{2}$,$2^{4}$,...,$2^{62}$ hạt ngô, còn các ô màu đen sẽ đặt $2^{1}$,$2^{3}$,...,$2^{63}$ hạt ngô.

Con mã sẽ đứng ở ô màu trắng đầu tiên. Do con mã luôn đi từ ô trắng sang ô đen hoặc từ ô đen sang ô trắng nên từ ô đầu tiên nó sẽ đi sang ô màu đen, rồi từ ô đen đó đến ô trắng khác... cứ như vậy cho đến khi nó quay về ô trắng đầu tiên thì sô ô trắng mà nó đi nhiều hơn ô đen 1 ô (do khi đi nó bắt đầu từ ô màu trắng, khi quay về nó cũng về ô màu trắng và nó đi xen kẽ từ trắng sang đen và ngược lại)

Mà theo giả thiết nó không ăn hạt ngô ở ô đầu mà khi trở về ô đầu nó mới ăn và khi nó ăn ngô ở ô nào thì người ta lại đặt số ngô bằng số ngô ban đầu ở ô đó (khi nó quay lại 1 ô nào đó trên bàn cờ khác ô đầu tiên thì nó vẫn có thể ăn số ngô bằng số ngô trước đó) nên số ô đen mà nó ăn ngô cũng bằng số ô trắng mà nó ăn ngô. 

Lại có: các ô trắng được đặt  $2^{2}$,$2^{4}$,...,$2^{62}$ hạt ngô (số mũ chẵn ) nên ta đặt số ngô trong mỗi ô trắng là $2^{2k}$($k\in \mathbb{N}$,$k\leq 31$)

Tương tự ta đặt số ngô trong mỗi ô đen là $2^{2q+1}$ ($q\in \mathbb{N}$,$q\leq 31$)

do số ô đen mà nó ăn ngô cũng bằng số ô trắng mà nó ăn ngô nên ta gọi số ô đen(trắng) mà nó đi đến và đồng thời ăn ngô là $n$ ($n\in \mathbb{N}$,$n\geq 1$)

Từ đó ta có số ngô mà nó ăn là:

 $n.2^{2k}+n.2^{2q+1}=n(4^{k}+4^{q}.2)$

$4\equiv 1(mod 3)$$\Leftrightarrow 4^{k}\equiv 1(mod 3)$ và $4^{q}.2\equiv 2(mod 3)$

nên $4^{q}.2+4^{k}\equiv 3\equiv 0(mod 3)$$\Leftrightarrow n(4^{q}.2+4^{k})\equiv 0(mod 3)$

Suy ra số ngô mà nó ăn chia hết cho 3 (đpcm)

 

SBD:15
Lời giải.

attachicon.gifUntitled.png

Ta đánh số thứ tự vào các ô trong bàn cờ vua như hình vẽ. Ô thứ $n$ có nghĩa là ô đó có $2^n$ hạt ngô trong ô.
Ta sẽ chứng minh rằng con mã đứng ở ô thứ $k$ bất kì, sau khi đi lòng vòng và trở lại ăn hat ngô ở ô thứ $k$ (ban đầu nó không ăn ở ô đó) thì số ngô con mã ăn luôn chia hết cho $3$.
 
Ở đây, ta định nghĩa ô chẵn là ô có số thứ tự chẵn, ô lẻ là ô có số thứ tự lẻ. Ta có hai nhận xét sau:
 
Nhận xét 1. Số ngô ở mỗi ô: Ô chẵn thì có số ngô trong ô luôn chia $3$ dư $1$, ô lẻ có số ngô trong ô chia $3$ dư $2$ (vì $2^{2k} \equiv 1 \pmod{3}$ và $2^{2k+1} \equiv 2 \pmod{3}$ với mọi $k \in \mathbb{N}$).
 
Nhận xét 2. Nước đi của con mã: Nếu ban đầu nó đứng ở ô chẵn thì sau bước di chuyển tiếp theo, nó đứng ở ô lẻ. Và ngược lại, nếu ban đầu nó đứng ở ô lẻ thì ở bước di chuyển tiếp theo, nó sẽ đứng ở ô chẵn. (Điều này có thể nhận thấy khi nhìn vào bàn cờ).
 
Đầu tiên, ta hãy xét trường hợp con mã bắt đầu tại ô chẵn. Sau lượt di chuyển đầu tiên, con mã bước vào ô lẻ. Và vì con mã không ăn tại ô đầu tiên nó đứng nên số ngô con mã ăn lúc đó chia $3$ dư $2$. Sau lượt di chuyển thứ hai, con mã bước vào ô chẵn, số ngô con mã ăn lúc đó sẽ chia $3$ dư $2+1=3$ hay chia hết cho $3$. 
 
Hành trình của con mã cứ tiếp tục như vậy. Và tính từ sau lượt di chuyển thứ nhất của con mã (lúc đó con mã ở ô lẻ), thì cứ hai lượt di chuyển từ ô lẻ đến ô chẵn, số ngô mà con mà con mã ăn sẽ được cộng thêm với một số chia hết cho $3$. 
 
Theo như đề bài, con mã sau khi đi lòng vòng sẽ quay lại ô đầu tiên nó bắt đầu, tức là ô chẵn. Điều đó đồng nghĩa với việc hai lượt di chuyển ô lẻ đến ô chẵn của con mã cứ tiếp diễn cho đến khi nó kết thúc di chuyển. Hay nói, cách khác, số ngô của con mã luôn được cộng với một số chia hết cho $3$. Mặt khác, ban đầu, con mã đã không ăn ô nó khởi đầu nên số ngô ban đầu của nó là $0$ (chia hết cho $3$) . Và cứ sau hai bước di chuyển đó, kết cục, số ngô con mã luôn là số chia hết cho $3$.
 
Trong trường hợp nó khởi đầu bởi ô lẻ, chứng minh hoàn toàn tương tự. 
Vậy số ngô mà con mã ăn luôn chia hết cho $3$. $\blacksquare$
 
[Mở rộng 1 của Jinbe]

 

 

MSS 54: 

 

Mở rộng: Với những điều kiện về số ngô trong mỗi ô bàn cờ đã cho ở bài toán và lúc này, ở mọi vị trí xuất phát trên bàn cờ của quân mã (không nhất thiết là ô đầu tiên) thì nó đi lòng vòng và ăn các hạt ngô trong ô nó nhảy đến( con mã di chuyển theo hình chữ L - 3 ô như đối với môn cờ vua) nhưng nó không ăn ở ô ban đầu và không nhảy trở lại ô ban đầu. Sau mỗi lần nó ăn người ta lại đặt số ngô bằng số ngô ban đầu vào trong ô đó. Sau khi con mã đi xong nó quay trở về ô ban đầu và ăn nốt hạt ngô ở ô đó.

 

Lúc này thì số ngô mà quân mã ăn cũng luôn chia hết cho 3.

 

Thật vậy: Ta cũng tô ô bàn cờ $8 \times 8$ sao cho các ô chứa số hạt ngô có số lũy thừa của 2 là lẻ thì màu đen, ngược lại, các ô chứa số hạt ngô có số lũy thừa của 2 là chẵn thì màu trắng, hình vẽ cụ thể như sau: 

 

 

Xét quân mã xuất phát ở vị trí một ô màu trắng bất kì thì khi quân mã di chuyển theo hình chữ L - 3 ô như đối với môn cờ vua thì mỗi lần di chuyển, quân mã sẽ đi đến một ô màu khác với ô hiện tại.

 
Do quân mã này không ăn ở ô ban đầu và không nhảy trở lại ô ban đầu, nên:
Ô đầu tiên nó đi đến là ô màu đen;
Ô thứ hai nó đi đến là ô màu trắng;
Ô thứ ba nó đi đến là ô màu đen; ...
Quá trình cứ tiếp tục như vậy thì ta thấy nếu kết thúc bước đi của quân mã là ô màu đen thì số ô màu đen nó đã đi hơn số ô màu trắng là 1; còn nếu kết thúc bước đi của quân mã là ô màu trắng thì số ô màu đen và trắng nó đã đi là bằng nhau.
 
Mà theo bài thì sau khi con mã đi xong nó quay trở về ô ban đầu và ăn nốt hạt ngô ở ô đó nên ô cuối cùng nó đi đến là ô màu trắng.
 
Vậy ta có số ô màu đen và trắng nó đã đi là bằng nhau; tức số ô chứa số hạt ngô có số lũy thừa của 2 là lẻ và số ô chứa số hạt ngô có số lũy thừa của 2 là chẵn mà quân mã đã đi qua là như nhau. (*)
 
Ta nhận xét số ngô ở mỗi ô đen và trắng có dạng là $2^{2k+1}$ và $2^{2k}$ với $k \in N$
 
Ta có $2^2 \equiv 1$ (mod 3) nên $2^{2k} \equiv (2^2)^k \equiv 1^k = 1$ (mod 3) Suy ra $2^{2k+1}=2^{2k}.2 \equiv 1.2=2$ (mod 3)
 
Như vậy số ngô quân mã đã ăn ở mỗi ô đen đều chia 3 dư 2 và số ngô con mã đã ăn ở mỗi ô trắng đều chia 3 dư 1.
 
Kết hợp (*) thì ta có tổng số ngô mà con mã đã ăn sẽ chia cho 3 dư là 0, tức chia hết cho 3.
 
Xét quân mã xuất phát ở vị trí một ô màu đen bất kì thì lập luận tương tự trên ta cũng có tổng số ngô mà con mã đã ăn sẽ chia cho 3 dư là 0, tức chia hết cho 3.
 
Vậy bài toán được c/m.

 

 

Theo mình, các bạn đều sai ngay ở phần màu đỏ , bởi:

 

Ô đen vừa có thể có lũy thừa chẵn hoặc lẻ của 2

 

Và tương tự ô trắng cũng vừa có thể có lũy thừa chẵn hoặc lẻ của 2 

 

Cả 2 điều này đều không phụ thuộc vào ô mà quân mã bắt đầu đi (dù đó là ô có lũy thừa lẻ hay chẵn của 2)

 

Lấy ví dụ:

 

File gửi kèm  6.jpg   20.74K   0 Số lần tải

 

Giả sử quân mã bắt đầu đi ở ô đầu tiên tức số hạt ngô ở $A8$ là $1=2^{0}$ . Vậy lũy thừa ( ở đây nói tắt là của 2 luôn) là chẵn ($0$ chẵn ?)

 

Vậy $8$ ô tiếp theo tức $A7$ có lũy thừa chẵn hay lẻ? Chẵn + chẵn ( $8$ chẵn?) = chẵn. Vậy $A7$ có lũy thừa chẵn ( các bạn có thể đếm tay : chẵn, lẻ, chẵn , lẻ,... để kiểm tra xem)

 

A! Thấy là lạ!! $A7$ là đen mà có lũy thừa chẵn là sao? Chẳng sao cả vì nó là như vậy!!

 

Tiếp theo $A7$ chẵn thì tương tự $A6$ cũng chẵn và cả cột $A$ đó đều chẵn vì đây là bàn cờ $8 \times 8$ (gt). $A6$ chẵn thì ô tiếp theo $B6$ hiển nhiên là lẻ! Đây lại là một ô đen nhưng lũy thừa lại lẻ!!

 

Tương tự cho ô trắng nhé!

 

$A8$ lũy thừa chẵn , mình đã giả sử rồi. Theo trên lại thấy $A7$ cũng lũy thừa chẵn , vậy $B7$ có lũy thừa lẻ. Phi lí không? Không hề!

 

Thêm chắc chắn, giả sử mã ở ô có luỹ thừa lẻ , mà điều này có thể xảy ra không? Quân mã ở ô đầu tiên trên bàn cờ? Có $4$ ô đầu tiên? Mà theo đề có ô 1 đặt 1 hạt ngô vậy ô $1$ này là ô đầu tiên? ( Đề có nhiều chỗ chưa rõ thật)

 

Thôi cứ giả sử nó ở ô có luỹ thừa lẻ cho là $H1$ đi , $H1$ có số hạt ngô $2^{63}$ đây là luỹ thừa lẻ nhỉ?

Kế bên nó là $G1$ có luỹ thừa chẵn, trên nó $H2$ có luỹ thừa lẻ vì : lẻ + chẵn ( từ $H1$ đến $H2$ cách $8$ ô : chẵn) = lẻ. Dễ thấy $2$ ô màu đen có lũy thừa ô chẵn ô lẻ! Đến đây thì chẳng cần tương tự cho ô trắng làm gì nhỉ?

 

Vậy điều mình bôi đen in nghiêng ở trên là đúng?

 


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#27 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-03-2014 - 23:02

Xin được tách làm $2$ lần gửi vì gộp chung $1$ bài bị lỗi Sử dụng quá nhiều trích dẫn

 

------------------------------------------

 

 

Đến đây! Có vài bạn làm cách này:

 

 

SBD: MSS 48

Bài giải:

Tô màu bàn cờ: ô thứ lẻ tô màu trắng, ô thứ chẵn tô màu đỏ:

[Hình của phuocdinh1999]

Với $n$ là số lẻ bất kỳ thì : $2^n\equiv (-1)^n\equiv -1(mod3)$

      $n$ là số chẵn thì :$2^n\equiv (-1)^n\equiv 1(mod3)$

Suy ra $2^1\equiv 2^3\equiv ...\equiv 2^{63}\equiv -1(mod3)$

           $2^0\equiv 2^2\equiv ...\equiv 2^{62}\equiv 1(mod3)$

Do đó số ngô ở ô đỏ chia 3 dư 2, số ngô ở ô trắng chia 3 dư 1 $(1)$

Ban đầu, con mã đứng ở ô trắng

Sau bước $1$, con mã đứng ở ô đỏ (do cách đi của nó)

Sau bước $2$, con mã đứng ở ô trắng

Sau bước $3$, con mã đứng ở ô đỏ 

$...$

Sau bước $a$, con mã trở lại ô đầu tiên, đứng ở ô trắng

Như vậy số lần đi $a\vdots 2$ và số lần con mã ăn ở ô đỏ bằng số lần ở ô trắng và bằng $\frac{a}{2}(2)$

Từ $(1),(2)$ suy ra số ngô con mã ăn chia 3 cùng dư với: $\frac{a}{2}.2+\frac{a}{2}.1=\frac{3a}{2}\equiv 0(mod3)$

Vậy số ngô con mã ăn chia hết cho 3

 

MSS30 canhhoang30011999

Đầu tiên ta tô màu các ô có có số hạt ngô là số mũ chẵn là trắng có số mũ lẻ là đen thì theo cách đặt các hạt ngô ta được 1 bàn cờ vua có màu giống như 1 bàn cờ vua bình thường (đen trắng xen kẽ)

Ta lại dễ dàng thấy được con mã trong cờ vua khi di chuyển thì nó sẽ nhảy từ ô màu này sang ô màu khác 

Con mã của ta xuất phát ơ ô màu trắng nên dễ thấy để nó đi vào 1 ô màu trắng thì phải qua chăn nước đi (vì cứ sau 1 nước đi thì ô của nó lại đổi màu)

Từ đó ta thấy con mã cần chẵn nước đi để trở lại ô ban đầu 

Mà con mã lại đổi màu mỗi khi nó nhảy nên số ô màu trắng bằng số ô màu đen nó đi qua hay số ô có số hạt ngô có số mũ chẵn bằng số ô có số hạt ngô có số mũ lẻ (1)

Lại có $2^{2k}\equiv 1$ (mod 3)(2)

$2^{2q+1}\equiv -1$(mod 3)(3)

Từ (1) (2) (3) $\Rightarrow$ số ngô con mã ăn được chia hết cho 3

 

 

Mình không dám bôi đỏ hay làm gì gì bài của hai bạn sau này, vì mình nghĩ cách này không nói cụ thể như các bạn ở trên mà chỉ nói tổng quát như:

 

Con mã của ta xuất phát ơ ô màu trắng nên dễ thấy để nó đi vào 1 ô màu trắng thì phải qua chăn nước đi (vì cứ sau 1 nước đi thì ô của nó lại đổi màu)

Từ đó ta thấy con mã cần chẵn nước đi để trở lại ô ban đầu 

Mà con mã lại đổi màu mỗi khi nó nhảy nên số ô màu trắng bằng số ô màu đen nó đi qua hay số ô có số hạt ngô có số mũ chẵn bằng số ô có số hạt ngô có số mũ lẻ (1)

 

Hay:

 

Sau bước $a$, con mã trở lại ô đầu tiên, đứng ở ô trắng

Như vậy số lần đi $a\vdots 2$ và số lần con mã ăn ở ô đỏ bằng số lần ở ô trắng và bằng $\frac{a}{2}(2)$

 

Nhưng như đã phân tích ở trên! Mã có thể nhảy không theo quy luật nào ( vẫn đi đúng luật cờ vua), có thể từ ô đen có lũy thừa chẵn như ô $C7$ rồi lại sang $E6$ là ô trắng nhưng lại lũy thừa chẵn rồi lại $C5$ và vòng qua lượn lại chẳng theo quy luật đi số ô có lũy thừa chẵn bằng đi số ô có lũy thừa lẻ . Nên theo mình cách làm của hai bạn này cũng chưa chặt hay chính xác là thiếu.

 

-----------------------------

Đây cũng là nhận xét khách quan của mình! Có thể không đúng , các bạn cứ góp ý!


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#28 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 18-03-2014 - 23:10


Theo mình, các bạn đều sai ngay ở phần màu đỏ , bởi:

 

Ô đen vừa có thể có lũy thừa chẵn hoặc lẻ của 2

 

Và tương tự ô trắng cũng vừa có thể có lũy thừa chẵn hoặc lẻ của 2 

 

Cả 2 điều này đều không phụ thuộc vào ô mà quân mã bắt đầu đi (dù đó là ô có lũy thừa lẻ hay chẵn của 2)

 

 

Đọc kĩ lại đề thì đề là: đặt số ngô tương ứng từ trái qua phải từ trên xuống dưới

 

Nếu quy luật của bạn Super Fields tức là số hạt ngô ở các ô thẳng theo hàng dọc (VD hàng a, c,...) thì sẽ luôn có số hạt ngô có số lũy thừa của 2 là chẵn. Như vậy thử lấy 2 bước đi VD như mình đã lấy ở bình luận trước thì thấy ngay cả hai T.h đó đều có kết quả số hạt ngô con mã ăn được đã không thỏa mãn đề (không chia hết cho 3)

 

Nếu quy luật như mình đã nói thì nó luôn đúng.



#29 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-03-2014 - 23:20

Nếu như bạn sắp xếp thì hãy thử chọn một nước đi bất kì sau đó tính thử xem có ra số chia hết cho 3 không. Như mình đã thử nghiệm nhiều lần nhưng đều chia 3 dư 1 hoặc 2 thôi:

 

VD: a8 --> b6 --> d5 --> c3 --> e2 --> d4 --> b5 --> c7 -- > a8 (tính số ngô từ ô b6 đến a8 trong bước đi này thôi, tức tính 1 lần a8) thì tổng số ngô chia 3 dư 1.

 

VD tiếp đi cho chắc: a8 --> c7 --> b5 --> a3 --> c2 --> e3 --> c4 --> d6 --> f7 --> d8 -- > e6 --> g5 --> h3 --> f4 --> d5 --> b6 --> d7 --> c5 --> e6 --> c7 --> a8 thì tổng số ngô chia 3 dư 2.

 

Cho dù có T.h số ngô chia hết cho 3 nhưng vẫn còn T.h chia cho 3 dư 1; 2 như mình đã nêu VD, như vậy là chưa đúng so vs đề là luôn chia hết cho 3!!!

 

1897801_1480367662184977_740563675_n.jpg

Bạn tính chắc phần màu nâu chưa? Minh tính nó vẫn chia hết cho $3$

Còn phần ví dụ sau, có lẻ bạn chưa xem lời giải của mình, mình cũng chỉ rõ $1$ cách đi mà tổng số ngô quân mã ăn được không chia hết cho $3$, đó là khi một ô có thể đi lại nhiều lần. Bạn cũng giống mình ở ví dụ $2$, $C7$ đi lại $2$ lần!


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#30 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-03-2014 - 23:29

Đọc kĩ lại đề thì đề là: đặt số ngô tương ứng từ trái qua phải từ trên xuống dưới

 

Nếu quy luật của bạn Super Fields tức là số hạt ngô ở các ô thẳng theo hàng dọc (VD hàng a, c,...) thì sẽ luôn có số hạt ngô có số lũy thừa của 2 là chẵn. Như vậy thử lấy 2 bước đi VD như mình đã lấy ở bình luận trước thì thấy ngay cả hai T.h đó đều có kết quả số hạt ngô con mã ăn được đã không thỏa mãn đề (không chia hết cho 3)

 

Nếu quy luật như mình đã nói thì nó luôn đúng.

Mình thừa nhận phần màu nâu đúng. Nhưng đề trận này chưa rõ ràng! Có thể thấy không ít bạn đã gửi đáp án ngược, trái chiều, chưa kể nhiều bạn có thể vướng chỗ màu đỏ mà chưa làm được. Có thể vậy! Trận này còn không ghi tên người ra đề !


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#31 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 19-03-2014 - 10:28

Bạn tính chắc phần màu nâu chưa? Minh tính nó vẫn chia hết cho $3$

Còn phần ví dụ sau, có lẻ bạn chưa xem lời giải của mình, mình cũng chỉ rõ $1$ cách đi mà tổng số ngô quân mã ăn được không chia hết cho $3$, đó là khi một ô có thể đi lại nhiều lần. Bạn cũng giống mình ở ví dụ $2$, $C7$ đi lại $2$ lần!

 

Mình tính đi tính lại rồi, chia 3 dư 1 mà -_-

 

Như vậy thì không thỏa mãn đề là luôn chia hết cho 3, tức lời giải đã chỉ sai cách đặt ngô còn gì.

 

Đề nói là 

 

 

 

Sau mỗi lần nó ăn người ta lại đặt số ngô bằng số ngô ban đầu vào trong ô đó. Sau khi con mã đi xong nó quay trở về ô đầu tiên và ăn nốt hạt ngô ở ô đó.

 

tức là nó có thể đi lại ô đó và ăn số ngô có trong ngô chứ không phải là mỗi ô chỉ được đi một lần như một số bạn nghĩ đâu :(



#32 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 19-03-2014 - 11:26

Mình tính đi tính lại rồi, chia 3 dư 1 mà -_-

 

Như vậy thì không thỏa mãn đề là luôn chia hết cho 3, tức lời giải đã chỉ sai cách đặt ngô còn gì.

 

Sao mình tính lúc lại chia hết cho $3$ lúc lại chia $3$ dư $2$ không thấy dư $1$ ở đâu cả?

 

Mà bạn hiểu đề cũng hay thật! Đề là:

...

Trong ô cờ thứ nhất đặt 1 hạt ngô

Trong ô cờ thứ hai đặt 2 hạt ngô

Trong ô cờ thứ ba đặt 4 hạt ngô

...

Trong ô cờ thứ 64 đặt $2^{63}$ hạt ngô.

...

Theo cách của bạn thì ô $1$ và ô $64$ cùng một cột ? Đề đã có khái niệm ô đầu tiên thì cũng phải có ô cuối cùng giống như luật cờ vua : ô $1$ và ô $64$ phải đối nhau.

 

tức là nó có thể đi lại ô đó và ăn số ngô có trong ngô chứ không phải là mỗi ô chỉ được đi một lần như một số bạn nghĩ đâu :(

 

Nếu quy luật như bạn thì đúng! Nhưng vẫn có một số bạn hiểu sai quy luật đặt hạt ngô nên có lẽ nhầm như vậy!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 19-03-2014 - 11:29

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#33 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 19-03-2014 - 11:50

Sao mình tính lúc lại chia hết cho $3$ lúc lại chia $3$ dư $2$ không thấy dư $1$ ở đâu cả?

 

Mà bạn hiểu đề cũng hay thật!

 

Đây là mình tính theo quy luật của bạn, các ô cùng hàng dọc sẽ có số ngô có số mũ của 2 cùng tính chẵn lẻ, cột a, c, e, g chẵn thi thì chia 3 dư 1; còn b, d, f, h thì lẻ nên chia 3 dư 1. Cộng các số dư vào chia 3 dư 1. Chỉ có 1 đáp số thôi chứ sao lúc lại chia hết, lúc lại dư 2 đc. Tính theo quy luật của bạn ra dư 1 còn của mình luôn dư 0 :3.

 

Đây là cách hiểu của mình, trong bài này có nhiều cách hiểu mà. Đáp án chờ 2 tuần nữa đi.







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh